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- 2021-07-01 发布
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专题50椭圆及其性质
最新考纲
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
基础知识融会贯通
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a1.
重点难点突破
【题型一】椭圆的定义及应用
【典型例题】
如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．
∴|MP|＝|PF|，
∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），
又显然|MO|＞|FO|，
∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．
故选：A．
【再练一题】
已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点M满足|MF1|+|MF2|＝5，则点M的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．线段 D．不存在
【解答】解：∵F1（﹣3，0），F2（3，0），
∴|F1F2|＝6，
又|MF1|+|MF2|＝5＜6，
∴点M的轨迹不存在．
故选：D．
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
【题型二】椭圆的标准方程
命题点1 利用定义法求椭圆的标准方程
【典型例题】
已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（ ）
A．1 B．1
C．1 D．1
【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），
∴|F1F2|＝2，
∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，
即|PF1|+|PF2|＝4，
∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，
∵2a＝4，a＝2
c＝1
∴b2＝3，
∴椭圆的方程是
故选：C．
【再练一题】
已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|＝10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．
【解答】解：（1）由椭圆定义及条件，可得
2a＝|F1B|+|F2B|＝10，得a＝5．
又∵c＝4，∴b3．
因此可得该椭圆方程为．
（2）∵点B（4，yB）在椭圆上，
∴将x＝4，代入椭圆方程求得yB，可得|F2B|＝|yB|．
∵椭圆右准线方程为x，即x，离心率e．
根据圆锥曲线统一定义，得
|F2A|（x1），|F2C|（x2）．
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得2|F2B|＝|F2A|+|F2C|
即（x1）（x2）＝2，由此解得x1+x2＝8．
设弦AC的中点为P（x0，y0），
可得中点横坐标为则x0（x1+x2）＝4．
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
【典型例题】
椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为（ ）
A．1
B．1
C．1或1
D．1或1
【解答】解：∵椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，
∴，解得a＝5，b2＝25﹣16＝9，
∴当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为，
当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为．
故选：D．
【再练一题】
已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线的焦点可得：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），
点F关于直线y＝x的对称点为（0，1），
故b＝1，c＝1，
因此，
∴椭圆方程为：．
（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．
当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2＝1 ①
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：②
联立①②得，，∴定点M（0，1）．
证明：设直线l：，代入，
有．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
，．
则，（x2，y2﹣1）；
（1+k2）x1x2
k0，
在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点．
思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
【题型三】椭圆的几何性质
【典型例题】
已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，
可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有，
，
可得2，
即有2，
即有e，
故选：B．
【再练一题】
已知AB是椭圆的长轴，若把线段AB五等份，过每个分点作AB的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C，D，E，G四点，设F是椭圆的左焦点，则|FC|+|FD|+|FE|+|FG|的值是（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
【解答】解：椭圆的a＝5，b，c＝2，e，
左准线方程为x，
由题意可得xC＝﹣3，xD＝﹣1，xE＝1，xG＝3，
由椭圆的第二定义可得，
可得|FC|＝5xC，
同理可得|FD|＝5xD，|FE|＝5xE，|FG|＝5xG，
可得|FC|+|FD|+|FE|+|FG|＝20（﹣3﹣1+1+3）＝20．
故选：D．
思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．
基础知识训练
1．【山东省聊城市2019届高三三模】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题得，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以.
故选：D
2．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】“”是“方程表示椭圆”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
方程表示椭圆，即且
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件
故选C
3．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，若，则（ ）
A．4 B．23 C．2 D．
【答案】A
【解析】
据题意，得，，所以有，所以，故选A.
4．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】已知椭圆：，直线过的一个焦点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
椭圆：，直线过椭圆的一个焦点，可得，
则，所以椭圆的离心率为：．
故选：．
5．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试】已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（ ）.
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【解析】
椭圆的离心率：
椭圆上一点到两焦点距离之和为，即：
可得：，
则椭圆短轴长：
本题正确选项：
6．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】已知圆锥曲线：与：的公共焦点为，．点为，的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
：，：．
设，，，，
由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，
解得，，
由，运用勾股定理，可得
，
即为，
由离心率的公式可得，，
∵，∴，则．
故选：B．
7．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)】嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如下图，F为月球的球心，月球半径为：×3476＝1738，
依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，
｜BF｜＝400＋1738＝2138.
2a＝1838＋2138，
a＝1988，
a＋c＝2138，
c＝2138－1988＝150，
椭圆的离心率为：，
选B.
8．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知点F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P的延长线上，且||=||，若||的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为的最小值为1，最大值为9，
∴|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1，∴a=5，c=4．∴椭圆的离心率为e=，
故选：C．
9．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知椭圆：的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，
由题意可得，，则2b2＝c2，
即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2，
∴，即e．
故选：D．
10．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的右顶点和右焦点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，若三点共线，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】
如图
设,
又，
,
三点共线,
,
即,
,
,
,故选A.
11．【广东省揭阳市2019届高三高考二模】设是椭圆的右焦点，是椭圆的左顶点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，设直线与轴的交点为，
因为由椭圆性质可知，，
由题意可知解得，故选B.
12．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试】已知，是椭圆的左右焦点，点M的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，是椭圆的左右焦点，
，
轴，
，，
点关于的角平分线对称的点在线段的延长线上，
又，，
，线段的中点，
的角平分线的斜率．故选A．
13．【江苏省高三泰州中学、宜兴中学、梁丰2019届高三第二学期联合调研测试】椭圆：的两个顶点，，过，分别作的垂线交椭圆于，（不同于顶点），若，则椭圆的离心率为_____．
【答案】
【解析】
依题意可得，
因为过，分别作的垂线交椭圆于，（不同于顶点），
所以直线：，直线：．
由，
所以.
由，
所以，.
因为，，
由可得，所以，
椭圆的离心率，故答案为：。
14．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)】已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）
【答案】②④
【解析】
设点P的坐标为：P（x，y），
依题意，有：，
整理，得：，
对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，
椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；
对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，
椭圆方程为：，则，解得：，符合；
对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；
对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，
不可能成为焦点在y轴上的双曲线，
所以，不存在满足题意的实数a，正确.
所以，正确命题的序号是②④.
15．【河北省保定市2019年高三第二次模拟考试】已知点在以为焦点的椭圆上，点为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件：①；②，则该椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】
依据题意作出图形如下：
因为为的中点，所以
又，所以与原点重合.
设，则，
由椭圆定义可得：
所以，
在及中，由余弦定理可得：
整理得：
所以
16．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．
【答案】
【解析】
如图，圆锥面与其内切球，分别相切与B,A，连接则，，过作垂直于，连接， 交于点C
设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为
在中， ，
解得
即
则椭圆的离心率
17．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】已知椭圆的左顶点为，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
(1) 由题意可得：，，得，则.
所以椭圆的方程:
(2) 当直线与轴重合，不妨取，此时
当直线与轴不重合，设直线的方程为：,设，
联立得，
显然，，.
所以
当时，取最大值.
此时直线方程为，不妨取，所以.
又,所以的面积
18．【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（一)】已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
解：（I）由题设：，
解得
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）.设
1.当ABx轴时，
2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为
由已知，得
把代入椭圆方程消去y，
整理得,
有
,
,
,
,
当且仅当，即时等号成立.
当时，
综上所述，从而△AOB面积的最大值为
19．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试】已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，是否存在常数，使恒成立，并说明理由.
【答案】（1）；（2）存在.
【解析】
（1）由题意知，.
又因为解得，.
所以椭圆方程为.
（2）存在常数，使恒成立.
证明如下：
由得，且.
设，，则 ,
又因为，，
,
所以.
因为线段的中点为，所以，
所以.
所以存在常数，使恒成立.
20．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知椭圆：
的短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上位于轴上方的两点，且，记直线、的斜率分别为、，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由题意，得，,
又 ，，
椭圆的方程为
（2）由（1）可知：，，，
由题意，设直线的方程为
记直线与椭圆的另一交点为，设，
，根据对称性，得
联立得：
，
由得：
即
解得：
直线的方程为，即：.
21．【天津市滨海新区2019届高三毕业班质量监测】已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，分别为椭圆的左，右焦点，分别为椭圆的左，右顶点，设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点，直线的斜率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若三角形的面积等于四边形的面积，求的值；
（Ⅲ）设点为的中点，射线（为原点）与椭圆交于点，满足，求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
解：（Ⅰ）由已知得，，故，椭圆方程为：，
（Ⅱ）设直线方程为∴
∴∴
∴，令∴
∴
∴
∵∴
（Ⅲ）由（II）和中点坐标公式，得，设所在直线方程为，则
，∴∴，
到直线的距离：，，
∴
即，
，化简得，
∵，∴.
22．【天津市河北区2019届高三一模】已知椭圆C：过点，且离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=0或y=
【解析】
（Ⅰ）由题解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4 直线与y轴的交点（0，满足题意；
当的斜率k0时，设直线与椭圆联立得=8,,设P（）,则Q（）,,又PQ的垂直平分线方程为由，解得,,, ∵为等边三角形即解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=
综上可知，直线的方程为y=0或y=
能力提升训练
1．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研测试】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第二象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，
设|PF2|＝t，则|QF2|＝ ，
由椭圆的定义可得|PF1|＝2a﹣t，
则t＝2（2﹣）a，
在直角三角形PF1F2中，
可得t2+（2a﹣t）2＝4c2，
4（6﹣4）a2+（12﹣8）a2＝4c2，
化为c2＝（9﹣6）a2，
可得e＝＝ ．
故选A.
2．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研测试】已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
∵双曲线和椭圆有相同的焦点，
∴
∴
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为3
故选：B
3．【安徽省皖南八校2019届高三第三次联考】已知是椭圆：的右焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|+|PF′|＝；
又F′（﹣1，0），|AF′|，
∴|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，根据图形可以看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，
∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|﹣|PF′|最大，为|AF′|，
∴|PA|+|PF|的最大值为，
故选：D．
4．【河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一(B卷))】已知椭圆
，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设A（，），B（，），又的中点为，则
又因为A、B在椭圆上
所以
两式相减，得：
∵,
∴，∴，平方可得, ∴=,，
故选A.
5．【河北省衡水市2019届高三四月大联考】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆的一个交点为，右焦点关于直线的对称点为，若为正三角形，且其面积为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设正的边长为，则，
∴．
又由椭圆的定义可知，
∴，解得，
又由题可知，
∴，
∴．
故选C．
6．【湖北省八市（黄石市.仙桃市.天门市.潜江市.随州市.鄂州市.咸宁市.黄冈市)2019届高三3月联合考试】设椭圆与双曲线在第一象限的交点为为其共同的左右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，
∴ ，
，
解得
.
故选：D．
7．【上海市七宝中学2019届高三下学期开学考试】已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
解：，
因为且函数在上单调递增，
所以，
故．
故答案为：．
8．【上海市虹口区2019届高三二模】已知、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，，若为线段的中点，则线段的长为________
【答案】2
【解析】
F1、F2是椭圆的两个焦点，可得F1（﹣3，0），F2（3，0）．a＝6．
点P为椭圆C上的点，|PF1|＝8，则|PF2|＝4，
M为线段PF1的中点，则线段OM的长为：|PF2|＝2．
故答案为：2．
9．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是
，其中，则椭圆的离心率的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
的最大值为
由题意知
故椭圆的离心率的取值范围
本题正确结果：
10．【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三第一次模拟考试】已知椭圆=1的左、右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点M，设M的坐标为，若，则下列结论序号正确的有______．
①+＜1②+＞1③+＜1 ④
【答案】①③④
【解析】
，因为，，
所以即，
在圆上，它在椭圆的内部，故，故①正确，②错误；
到直线的距离为，在直线的下方，
故圆在其下方即，故③正确；
，但不同时成立，
故，故④成立，综上，填①③④．
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