高中数学人教a版必修4课时达标检测（二十四） 平面向量应用举例 word版含解析 3页

课时达标检测（二十四） 平面向量应用举例 一、选择题 1．若向量 1OF  ＝(1,1)， 2OF  ＝(－3，－2)分别表示两个力 F1，F2，则|F1＋F2|为( ) A. 10 B．2 5 C. 5 D. 15 答案：C 2．设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且 a 与 b 不共线，a⊥c， |a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( ) A．以 a，b 为邻边的平行四边形的面积 B．以 b，c 为两边的三角形的面积 C．以 a，b 为两边的三角形的面积 D．以 b，c 为邻边的平行四边形的面积 答案：A 3．两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们夹角为 90°时，合力大小为 20 N，则当它们的 夹角为 120°时，合力大小为( ) A．40 N B．10 2 N C．20 2 N D．10 3 N 答案：B 4．已知△ABC 满足 AB  2＝ AB  · AC  ＋ BA  · BC  ＋CA  ·CB  ，则△ABC 是( ) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 答案：C 5．△ABC 中，D，E，F 分别为 BC，CA，AB 的中点，则 AD  ＋ BE  ＋CF  ＝( ) A．0 B．0 C． AB  D． AC  答案：B 二、填空题 6．平面上有三个点 A(－2，y)，B 0，y 2 ，C(x，y)，若 AB  ⊥ BC  ，则动点 C 的轨迹方 程为________． 答案：y2＝8x 7．已知 A，B 是圆心为 C，半径为 5的圆上的两点，且|AB|＝ 5，则 AC  ·CB  ＝________. 答案：－5 2 8．用两条成 120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为 10 N，则每根绳子的拉 力大小为________ N. 答案：10 三、解答题 9．如图所示，若 D 是△ABC 内的一点，且 AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC. 证明：设 AB  ＝a， AC  ＝b， AD  ＝e， DB  ＝c， DC  ＝d， 则 a＝e＋c，b＝e＋d， 所以 a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知可得 a2－b2＝c2－d2， 所以 c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2， 所以 e·(c－d)＝0. 因为 BC  ＝ BD  ＋ DC  ＝d－c， 所以 AD  · BC  ＝e·(d－c)＝0， 所以 AD  ⊥ BC  ，即 AD⊥BC. 10．如图，用两根分别长 5 2米和 10 米的绳子，将 100 N 的物体吊在水平屋顶 AB 上， 平衡后，G 点距屋顶距离恰好为 5 米，求 A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)． 解：如图，由已知条件可知 AG 与铅直方向成 45°角，BG 与铅直方向成 60°角． 设 A 处所受力为 Fa，B 处所受力为 Fb，物体的重力为 G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°， 则有|Fa|cos 45°＋|Fb|cos 60°＝|G|＝100，① 且|Fa|sin 45°＝|Fb|sin 60°.② 由①②解得|Fa|＝150 2－50 6， ∴A 处所受力的大小为(150 2－50 6) N. 11.如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，AB 的中点，G 为 BE 与 DF 的交点．若 AB  ＝a， AD  ＝b. (1)试以 a，b 为基底表示 BE  ， DF  ； (2)求证：A，G，C 三点共线． 解：(1) BE  ＝ AE  － AB  ＝1 2b－a， DF  ＝ AF  － AD  ＝1 2a－b. (2)证明：D，G，F 三点共线， 则 DG  ＝λ DF  ， AG  ＝ AD  ＋λ DF  ＝1 2λa＋(1－λ)b. B，G，E 三点共线，则 BG  ＝μ BE  ， AG  ＝ AB  ＋μ BE  ＝(1－μ)a＋1 2μb， 由平面向量基本定理知 1 2λ＝1－μ， 1－λ＝1 2μ， 解得λ＝μ＝2 3 ， ∴ AG  ＝1 3(a＋b)＝1 3 AC  ， 所以 A，G，C 三点共线．