高中数学第6章（第5课时）算术平均数与几何平均数（2） 9页

课 题：算术平均数与几何平均数（2）‎ 教学目的：‎ ‎1进一步掌握均值不等式定理；‎ ‎2会应用此定理求某些函数的最值；‎ ‎3能够解决一些简单的实际问题 ‎ 教学重点：均值不等式定理的应用 教学难点：解题中的转化技巧 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．重要不等式：‎ 如果 ‎2．定理：如果a,b是正数，那么 3.我们称的算术平均数，称的几何平均数. 成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数“当且仅当”的含义是充要条件 ‎3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”‎ 以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即 这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立 二、讲解新课：‎ ‎1公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2‎ ‎2． ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；‎ ‎3．定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）‎ 证明：∵‎ ‎∵ ∴上式≥0 从而 指出：这里 若就不能保证（此公式成立的充要条件为）‎ ‎4．推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）‎ ‎ 证明：‎ ‎ 5．关于“平均数”的概念 如果 则：叫做这n个正数的算术平均数；叫做这n个正数的几何平均数 推广： ≥ ‎ 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用 三、讲解范例：‎ 例1 已知为两两不相等的实数，求证：‎ 证明：∵ ‎ 以上三式相加：‎ ‎∴‎ 例2 已知a,b,c,d都是正数，求证：‎ 分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识 证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0‎ 得 ‎ 由不等式的性质定理4的推论1，得 即 点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法 例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？‎ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得 当 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件 我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：‎ ‎(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；‎ ‎(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案 四、课堂练习：‎ ‎1已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小?最小值是多少?‎ 分析：注意到x2＋是和的形式，再看x2·＝81为定值，从而可求和的最小值 解：x≠0x2＞0，＞0,∴x2＋≥2＝18，‎ 当且仅当x2＝，即x＝±3时取“＝”号 故x=±3时，x2+的值最小，其最小值是18‎ ‎2一段长为Ｌ m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?‎ 分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案 解法一：设矩形菜园的宽为x　m，则长为（Ｌ－2x）m，其中0＜x＜，其面积S＝x（Ｌ－2x）＝·2x（Ｌ－2x）≤‎ 当且仅当2x＝Ｌ－2x，即x＝时菜园面积最大，即菜园长m，宽为 m时菜园面积最大为 m2‎ 解法二：设矩形的长为x m，则宽为m，面积 S＝≤（m2）‎ 当且仅当x＝Ｌ－x，即x＝（m）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为m，宽为m时，菜园的面积最大，最大面积为m2‎ ‎3设0＜x＜2，求函数f(x)=的最大值，并求出相应的x值 分析：根据均值不等式：，研究的最值时，一要考虑3x与８－3x是否为正数；二要考查式子［3x＋（８－3x）］是否为定值 解：∵0＜x＜2, ∴3x＞0，８－3x＞0‎ ‎∴f（x）＝≤＝4‎ 当且仅当3x＝８－3x时，即x＝时取“＝”号 故函数f（x）的最大值为4，此时x＝‎ 五、小结 ：本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题 六、课后作业：‎ ‎1解答下列各题：‎ ‎(1)求函数y＝2x2＋（x＞0）的最小值 ‎(2)求函数y＝x2＋（x＞0）的最小值 ‎(3)求函数y＝3x2－2x3（0＜x＜）的最大值 ‎(4)求函数y＝x（1－x2）（0＜x＜1)的最大值 ‎(5)设a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求a的最大值 分析：我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值如，若ab为常数k，则当且仅当a＝b时，a＋b就有最小值2；若a＋b为常数s，则当且仅当a＝b时，就有最大值s（或xy有最大值s2）因此，解决这些问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”‎ 解：(1)∵x＞0 ∴2x2＞0，＞0,∴y＝2x2＋＝2x2＋＋≥3·‎ 当且仅当2x2＝，即x＝时等号成立 故当x＝时，y有最小值3·‎ ‎(2)，‎ 当且仅当即x＝±时，等号成立 故当x＝±时，y有最小值3‎ ‎(3)∵0＜x＜ ∴3－2x＞0‎ ‎∴y＝x2（3－2x）＝x·x·（3－2x）≤（）3＝1‎ 当且仅当x＝3－2x即x＝1时，等号成立 ‎(4)∵0＜x＜1 ∴1－x2＞0‎ ‎∵y2＝x2（1－x2）2＝·2x2（1－x2）（1－x2）≤（）3＝‎ 当且仅当2x2＝1－x2即x＝时，等号成立，‎ ‎∴当x＝时，y2有最大值 由题意可知：y＞0,故当x＝时，y有最大值 ‎(5)∵a＞0，b＞0，且a2＋＝1‎ ‎∴a≤，‎ 当且仅当a＝，即a＝，b＝时取“＝”号 故当a＝，b＝时，a有最大值 评述：用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法如下面的几例均为错误的解法：‎ ‎(1)∵y＝x＋≥2,∴y的最小值为2错误的原因是，当x＜0时，就不能运用公式事实上，当x＜0时，y＜0，故最小值不可能为2‎ ‎(2)∵y＝3x2＋＝2x2＋x2＋≥3，∴y的最小值为3其错误的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x2＝x2＝，显然这样的x不存在，故y没有最小值 ‎(3)∵y＝x（1－x＋x2）≤［］2＝（）2‎ 当且仅当x＝1－x＋x2即x＝1时等号成立∴当x＝1时，y有最大值为1‎ 此种解法的错误在于不是定值显然当x越大时，也越大，故y无最大值 ‎2如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽‎2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计)‎ 分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值 解法一：设y为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y＝，其中k＞0且k是比例系数依题意要使y最小，只需求ab的最大值 由题设得：4b＋2ab＋‎2a＝６0 （a＞0，b＞0）‎ 即a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0)‎ ‎∵a＋2b≥2 ∴2＋ab≤30‎ 当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值 ‎∴当a＝2b时有2＋ab＝30,即b2＋2b－1５＝0‎ 解之得：b1＝3，b2＝－５（舍去)∴a＝2b＝６‎ 故当a＝‎６米，b＝‎3米时经沉淀后流出的水中杂质最少 解法二：设y为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b＋2ab＋‎2a＝６0（a＞0，b＞0）‎ ‎∴a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0）,∴b＝ （0＜a＜30）‎ 由题设：y＝，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值 ‎∴y＝＝‎ ‎≥‎ ‎∴当且仅当a＋2＝时取“＝”号，即a＝６，b＝3时ab有最大值18‎ 故当a＝‎６米，b＝‎3米时经沉淀后流出的水中杂质最少 评述：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”号成立 ‎3如图，在△ABC中，∠Ｃ＝９0°，AC＝3，BＣ＝4，一条直线分△ABＣ的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长 分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设中的等量关系，即S△BＥＦ＝S△ABＣ，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BE＝x，BＦ＝y 解：设BＥ＝x，BＦ＝y(0＜x＜4，0＜y＜５），‎ 则S△BＥＦ＝BＥ·BＦsinB＝xysinB 又S△ABＣ＝BＣ·AＣ＝×3×4＝６‎ 依题意可知：S△BＥＦ＝S△ABＣ ∴xysinB＝×６＝3‎ ‎∵sinB＝，xy＝10 又cosB＝‎ ‎∴在△BＥＦ中，由余弦定理得：‎ ＥＦ2＝BＥ2＋BＦ2－2BＥ·BＦ·cosB＝x2＋y2－2xy·‎ ‎＝x2＋y2－1６≥2xy－1６＝4，‎ 当且仅当x＝y＝时，等号成立 故此时线段EF的长为2‎ 评述：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎