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  • 2021-07-01 发布

2009年浙江省高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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‎2009年浙江省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1. 设U=R,A={x|x>0}‎,B={x|x>1}‎,则A∩‎∁‎UB=(‎ ‎‎)‎ A.‎{x|0≤x<1}‎ B.‎{x|01}‎ ‎2. “x>0‎”是“x≠0‎”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. 设复数z=‎1+i(i是虚数单位),则‎2‎z‎+‎z‎2‎=( )‎ A.‎-1-i B.‎-1+i C.‎1-i D.‎‎1+i ‎4. 设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下表述正确的是(        )‎ A.若l⊥α,α⊥β,则l⊂β B.若l // α,α // β,则l⊂β C.若l⊥α,α // β,则l⊥β D.若l // α,α⊥β,则l⊥β ‎5. 已知向量a‎→‎‎=(1, 2)‎,b‎→‎‎=(2, -3)‎.若向量c‎→‎满足‎(c‎→‎+a‎→‎) // ‎b‎→‎,c‎→‎‎⊥(a‎→‎+b‎→‎)‎,则c‎→‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎(‎7‎‎9‎, ‎7‎‎3‎)‎ B.‎(-‎7‎‎3‎, -‎7‎‎9‎)‎ C.‎(‎7‎‎3‎, ‎7‎‎9‎)‎ D.‎‎(-‎7‎‎9‎, -‎7‎‎3‎)‎ ‎6. 已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若AP‎→‎‎=2‎PB‎→‎,则椭圆的离心率是( )‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎7. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是(        )‎ A.‎4‎ B.‎5‎ C.‎6‎ D.‎‎7‎ ‎8. 若函数f(x)=x‎2‎+ax(a∈R)‎,则下列结论正确的是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎∀a∈R,f(x)‎在‎(0, +∞)‎上是增函数 B.‎∀a∈R,f(x)‎在‎(0, +∞)‎上是减函数 C.‎∃a∈R,f(x)‎是偶函数 D.‎∃a∈R,f(x)‎是奇函数 ‎9. 已知三角形的三边长分别为‎3‎,‎4‎,‎5‎,则它的边与半径为‎1‎的圆的公共点的个数最多为( )‎ A.‎3‎ B.‎4‎ C.‎5‎ D.‎‎6‎ ‎10. 已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是‎(‎        ‎‎)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎ 10 / 10‎ 二、填空题(共7小题,每小题4分,满分28分)‎ ‎11. 设等比数列‎{an}‎的公比q=‎‎1‎‎2‎,前n项和为Sn,则S‎4‎a‎4‎‎=‎________.‎ ‎12. 若某个几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是________cm‎3‎.‎ ‎13. 若实数x,y满足不等式组x+y≥2‎‎2x-y≤4‎x-y≥0‎‎ ‎,则‎2x+3y的最小值是________.‎ ‎14. 某个容量为‎100‎的样本的频率分布直方图如下,则在区间‎[4, 5)‎上的数据的频数为________.‎ ‎15. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如图:‎ 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 ‎(单位:千瓦时)‎ 高峰电价(单位:元/千瓦时)‎ 低谷月用电量 ‎(单位:千瓦时)‎ 低谷电价(单位:‎ 元/千瓦时)‎ ‎50‎及以下的部分 ‎0.568‎ ‎50‎及以下的部分 ‎0.288‎ 超过‎50‎至‎200‎的部分 ‎0.598‎ 超过‎50‎至‎200‎的部分 ‎0.318‎ 超过‎200‎的部分 ‎0.668‎ 超过‎200‎的部分 ‎0.388‎ 若某家庭‎5‎月份的高峰时间段用电量为‎200‎千瓦时,低谷时间段用电量为‎100‎千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)‎ ‎16. 设等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn,则S‎4‎,S‎8‎‎-‎S‎4‎,S‎12‎‎-‎S‎8‎,S‎16‎‎-‎S‎12‎成等差数列.类比以上结论有:设等比数列‎{bn}‎的前n项积为Tn,则T‎4‎,________,________,T‎16‎T‎12‎成等比数列.‎ ‎17. 有‎20‎张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k+1‎,其中k=0,1,2,⋯,19‎.从这‎20‎张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有‎9‎,‎10‎的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为‎9+1+0=10‎)不小于‎14‎”为A,则PA=‎________.‎ 三、解答题(共5小题,满分72分)‎ ‎18. 在‎△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,且满足cosA‎2‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,AB‎→‎‎⋅AC‎→‎=3‎.‎ ‎(1)求‎△ABC的面积;‎ ‎(2)若c=1‎,求a的值.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎19. 如图,DC⊥‎平面ABC,EB // DC,AC=BC=EB=2DC=2‎,‎∠ACB=‎‎120‎‎∘‎,P,Q分别为AE、AB的中点.‎ ‎(1)证明:PQ // ‎平面ACD;‎ ‎(2)求异面直线AE与BC所成角的余弦值;‎ ‎(3)求AD与平面ABE所成角的正弦值.‎ ‎20. 设Sn为数列‎{an}‎的前n项和,Sn‎=kn‎2‎+n,n∈‎N‎*‎,其中k是常数.‎ ‎(I)‎求a‎1‎及an;‎ ‎(II)‎若对于任意的m∈‎N‎*‎,am,a‎2m,a‎4m成等比数列,求k的值.‎ ‎21. 已知函数f(x)=x‎3‎+(1-a)‎ x‎2‎‎-a(a+2)x+b(a, b∈R)‎.‎ ‎(1)‎若函数f(x)‎的图象过原点,且在原点处的切线斜率是‎-3‎,求a,b的值;‎ ‎(2)‎若函数f(x)‎在区间‎(-1, 1)‎上不单调,求a的取值范围.‎ ‎22. 已知抛物线C:x‎2‎=2py(p>0)‎上一点A(m, 4)‎到其焦点的距离为‎17‎‎4‎.‎ ‎(1)求p与m的值;‎ ‎(2)设抛物线C上一点p的横坐标为t(t>0)‎,过p的直线交C于另一点Q,交x轴于M点,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线,求t的最小值.‎ ‎ 10 / 10‎ 参考答案与试题解析 ‎2009年浙江省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解:对于‎∁‎UB={x|x≤1}‎,‎ 因此A∩‎∁‎UB={x|00‎”‎⇒‎“x≠0‎”;‎ 反之不一定成立,‎ 因此“x>0‎”是“x≠0‎”的充分而不必要条件,‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 对于‎2‎z‎+z‎2‎=‎2‎‎1+i+(1+i‎)‎‎2‎=1-i+2i=1+i,‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解:l⊥α,α⊥β⇒l⊂β或l // β,A错;‎ l // α‎,α // β⇒l // β或l⊂β,B错;‎ l⊥α‎,α // β⇒l⊥β,C正确;‎ 若l // α,α⊥β,则l与β的位置关系不确定,D错.‎ 故选C.‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 设c‎→‎‎=(x, y)‎,则c‎→‎‎+a‎→‎=(x+1, y+2)‎,a‎→‎‎+b‎→‎=(3, -1)‎.‎ ‎∵ ‎(c‎→‎+a‎→‎) // ‎b‎→‎,c‎→‎‎⊥(a‎→‎+b‎→‎)‎,‎ ‎∴ ‎2(y+2)‎=‎-3(x+1)‎,‎3x-y=‎0‎.‎ ‎∴ x=-‎‎7‎‎9‎,y=-‎‎7‎‎3‎,‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解:如图所示,‎ 由于BF⊥x轴,故xB‎=-c,yB‎=‎b‎2‎a,即B(-c, b‎2‎a)‎,‎ 设P(0, t)‎,‎ ‎ 10 / 10‎ ‎∵ AP‎→‎‎=2‎PB‎→‎,‎ ‎∴ ‎(-a, t)=2(-c, b‎2‎a-t)‎.‎ ‎∴ a=2c,‎ ‎∴ e=ca=‎‎1‎‎2‎.‎ 故选D.‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解:初始值,k=0,S=0‎,‎ 第一次循环,S=1,k=1‎;‎ 第二次循环,S=3,k=2‎;‎ 第三次循环,S=11,k=3‎;‎ 第四次循环,S=11+‎2‎‎11‎>100,k=4‎;‎ 此时不满足循环条件,退出循环输出k=4‎.‎ 故选A.‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解析:∵ f'(x)=2x-‎ax‎2‎,‎ 故只有当a≤0‎时,f(x)‎在‎(0, +∞)‎上才是增函数,‎ 因此A,B不对,‎ 当a=0‎时,f(x)=‎x‎2‎是偶函数,因此C对,D不对.‎ 故选C.‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解:对于半径为‎1‎的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,‎ 此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,‎ 能实现‎4‎个交点的情况,但‎5‎个以上的交点不能实现.‎ 故选B.‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解:对于振幅大于‎1‎时,‎ 三角函数的周期为:T=‎‎2π‎|a|‎,‎ ‎∵ ‎|a|>1‎,‎ ‎∴ T<2π,‎ 而D符合要求,它的振幅大于‎1‎,但周期小于‎2π,‎ 对于选项A,a<1‎,T>2π,满足函数与图象的对应关系.‎ 故选D.‎ ‎ 10 / 10‎ 二、填空题(共7小题,每小题4分,满分28分)‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ ‎15‎ ‎【解答】‎ 解:对于S‎4‎‎=a‎1‎‎(1-q‎4‎)‎‎1-q,a‎4‎=‎a‎1‎q‎3‎,‎ ‎∴ S‎4‎a‎4‎‎=‎1-‎q‎4‎q‎3‎‎(1-q)‎=15‎.‎ 故答案为:‎15‎.‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ ‎18‎ ‎【解答】‎ 解:由图可知,底下的长方体底面长为‎3‎,宽为‎1‎,底面积为‎3×1=3‎,高为‎3‎,因此体积为‎3×3=9‎;‎ 上面的长方体底面是个正方形,边长为‎3‎,高为‎1‎,易知与下面的长方体体积相等,‎ 因此易得该几何体的体积为‎9×2=18‎.‎ ‎13.‎ ‎【答案】‎ ‎4‎ ‎【解答】‎ 如图即为满足不等式组x+y≥2‎‎2x-y≤4‎x-y≥0‎‎ ‎的可行域,‎ 由图易得:当x=‎2‎,y=‎0‎时,‎2x+3y=‎4‎;‎ 当x=‎1‎,y=‎1‎时,‎2x+3y=‎5‎;‎ 当x=‎4‎,y=‎4‎时,‎2x+3y=‎20‎,‎ 因此,当x=‎2‎,y=‎0‎时,‎2x+3y有最小值‎4‎.‎ ‎14.‎ ‎【答案】‎ ‎30‎ ‎【解答】‎ 解:根据题意,‎ 在区间‎[4, 5)‎的频率为:‎0.3‎,‎ 而总数为‎100‎,因此频数为‎100×0.3=30‎.‎ 故答案为:‎30‎.‎ ‎15.‎ ‎【答案】‎ ‎148.4‎ ‎【解答】‎ 解:高峰时间段用电的电费为 ‎50×0.568+150×0.598=28.4+89.7=118.1 ‎(元),‎ 低谷时间段用电的电费为 ‎50×0.288+50×0.318=14.4+15.9=30.3‎(元),‎ 本月的总电费为 ‎118.1+30.3=148.4 ‎(元).‎ 故答案为:‎148.4‎.‎ ‎16.‎ ‎【答案】‎ T‎8‎T‎4‎‎,‎T‎12‎T‎8‎ ‎【解答】‎ 解:设等比数列‎{bn}‎的公比为q,首项为b‎1‎,‎ 则T‎4‎‎=‎b‎1‎‎4‎q‎6‎,T‎8‎‎=b‎1‎‎8‎q‎1+2++7‎=‎b‎1‎‎8‎q‎28‎,‎ T‎12‎‎=b‎1‎‎12‎q‎1+2++11‎=‎b‎1‎‎12‎q‎66‎‎,‎ ‎∴ T‎8‎T‎4‎‎=‎b‎1‎‎4‎q‎22‎,T‎12‎T‎8‎‎=‎b‎1‎‎4‎q‎38‎,‎ ‎ 10 / 10‎ 即‎(T‎8‎T‎4‎‎)‎‎2‎=T‎12‎T‎8‎⋅‎T‎4‎,故T‎4‎,T‎8‎T‎4‎,T‎12‎T‎8‎成等比数列.‎ 故答案为:‎T‎8‎T‎4‎T‎12‎T‎8‎ ‎17.‎ ‎【答案】‎ ‎1‎‎4‎ ‎【解答】‎ 解:从这‎20‎张卡片中任取‎1‎张,所有的基本事件有‎20‎个,而事件A包含的基本事件有‎7,8‎,‎8,9‎,‎16,17‎,‎17,18‎,‎18,19‎,共‎5‎个,因此PA=‎‎1‎‎4‎.‎ 故答案为:‎1‎‎4‎.‎ 三、解答题(共5小题,满分72分)‎ ‎18.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵ cosA‎2‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,‎ ‎∴ cosA=2cos‎2‎A‎2‎-1=‎‎3‎‎5‎,‎ ‎∴ sinA=‎1-cos‎2‎A=‎‎4‎‎5‎,‎ ‎∵ AB‎→‎‎⋅AC‎→‎=bccosA=3‎,‎ ‎∴ bc=5‎,‎ ‎∴ ‎△ABC的面积S=‎1‎‎2‎bcsinA=2‎;‎ ‎(2)∵ c=1‎,bc=5‎,‎ ‎∴ b=5‎,‎ ‎∴ a=b‎2‎‎+c‎2‎-2bccosA=‎1+25-6‎=2‎‎5‎.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)∵ cosA‎2‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,‎ ‎∴ cosA=2cos‎2‎A‎2‎-1=‎‎3‎‎5‎,‎ ‎∴ sinA=‎1-cos‎2‎A=‎‎4‎‎5‎,‎ ‎∵ AB‎→‎‎⋅AC‎→‎=bccosA=3‎,‎ ‎∴ bc=5‎,‎ ‎∴ ‎△ABC的面积S=‎1‎‎2‎bcsinA=2‎;‎ ‎(2)∵ c=1‎,bc=5‎,‎ ‎∴ b=5‎,‎ ‎∴ a=b‎2‎‎+c‎2‎-2bccosA=‎1+25-6‎=2‎‎5‎.‎ ‎19.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)证明:由已知:P、Q分别是AE、AB的中点,‎ 所以,PQ // BE,PQ=‎1‎‎2‎BE,‎ 又DC // BE,‎DC=‎1‎‎2‎BE 所以,‎PQ // DC 所以,PQ // ‎平面ACD ‎(2)取BE的中点F,连接QF,DF,DQ,可以推出QF // AE且QF=‎1‎‎2‎AE,‎ 易证‎∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角 易知CQ=1‎,AB=2‎‎3‎,AE=4‎,QF=2‎,DF=BC=2‎,‎DQ=‎‎2‎ 由余弦定理:可得cos∠DFQ=‎‎3‎‎4‎ ‎(3)由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB,‎ 再利用DC⊥‎平面ABC,可得CQ⊥‎平面ABE,进而推出DP⊥‎平面ABE ‎ 10 / 10‎ 所以‎∠DAP就是AD与平面ABE所成的角 DP=CQ=1‎‎,‎AD=‎5‎⇒sin∠DAP=‎‎5‎‎5‎ 所以AD与平面ABE所成角的正弦值为‎5‎‎5‎.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)证明:由已知:P、Q分别是AE、AB的中点,‎ 所以,PQ // BE,PQ=‎1‎‎2‎BE,‎ 又DC // BE,‎DC=‎1‎‎2‎BE 所以,‎PQ // DC 所以,PQ // ‎平面ACD ‎(2)取BE的中点F,连接QF,DF,DQ,可以推出QF // AE且QF=‎1‎‎2‎AE,‎ 易证‎∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角 易知CQ=1‎,AB=2‎‎3‎,AE=4‎,QF=2‎,DF=BC=2‎,‎DQ=‎‎2‎ 由余弦定理:可得cos∠DFQ=‎‎3‎‎4‎ ‎(3)由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB,‎ 再利用DC⊥‎平面ABC,可得CQ⊥‎平面ABE,进而推出DP⊥‎平面ABE 所以‎∠DAP就是AD与平面ABE所成的角 DP=CQ=1‎‎,‎AD=‎5‎⇒sin∠DAP=‎‎5‎‎5‎ 所以AD与平面ABE所成角的正弦值为‎5‎‎5‎.‎ ‎20.‎ ‎【答案】‎ 解析:‎(1)‎当n=1‎,a‎1‎‎=S‎1‎=k+1‎,‎ n≥2‎‎,an‎=Sn-Sn-1‎=kn‎2‎+n-[k(n-1‎)‎‎2‎+(n-1)]=2kn-k+1(*)‎.‎ 经检验,n=1(*)‎式成立,‎ ‎∴ an‎=2kn-k+1‎.‎ ‎(2)‎‎∵ am,a‎2m,a‎4m成等比数列,‎ ‎∴ a‎2m‎2‎‎=‎ama‎4m,‎ 即‎(4km-k+1‎)‎‎2‎=(2km-k+1)(8km-k+1)‎,‎ 整理得:mk(k-1)=0‎,对任意的m∈‎N‎*‎成立,‎ ‎∴ k=0‎或k=1‎.‎ ‎【解答】‎ 解析:‎(1)‎当n=1‎,a‎1‎‎=S‎1‎=k+1‎,‎ n≥2‎‎,an‎=Sn-Sn-1‎=kn‎2‎+n-[k(n-1‎)‎‎2‎+(n-1)]=2kn-k+1(*)‎.‎ 经检验,n=1(*)‎式成立,‎ ‎∴ an‎=2kn-k+1‎.‎ ‎(2)‎‎∵ am,a‎2m,a‎4m成等比数列,‎ ‎∴ a‎2m‎2‎‎=‎ama‎4m,‎ 即‎(4km-k+1‎)‎‎2‎=(2km-k+1)(8km-k+1)‎,‎ 整理得:mk(k-1)=0‎,对任意的m∈‎N‎*‎成立,‎ ‎∴ k=0‎或k=1‎.‎ ‎21.‎ ‎【答案】‎ 解:‎(1)‎由题意得f'(x)=3x‎2‎+2(1-a)x-a(a+2)‎,‎ 又f(0)=b=0,‎f'(0)=-a(a+2)=-3,‎ 解得b=0‎,a=-3‎或a=1‎.‎ ‎(2)‎函数f(x)‎在区间‎(-1, 1)‎不单调,等价于导函数f'(x)‎,在‎(-1,1)‎有实数根但无重根.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎∵ f'(x)=3x‎2‎+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)]‎,‎ 令f'(x)=0‎得两根分别为x=a与x=-‎a+2‎‎3‎ 若a=-‎a+2‎‎3‎即a=-‎‎1‎‎2‎时,此时导数恒大于等于‎0‎,不符合题意,‎ 当两者不相等时即a≠-‎‎1‎‎2‎时,‎ 有a∈(-1, 1)‎或者‎-a+2‎‎3‎∈(-1, 1)‎,‎ 解得a∈(-5, 1)‎且a≠-‎‎1‎‎2‎,‎ 综上得参数a的取值范围是‎(-5, -‎1‎‎2‎)∪(-‎1‎‎2‎, 1)‎.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎由题意得f'(x)=3x‎2‎+2(1-a)x-a(a+2)‎,‎ 又f(0)=b=0,‎f'(0)=-a(a+2)=-3,‎ 解得b=0‎,a=-3‎或a=1‎.‎ ‎(2)‎函数f(x)‎在区间‎(-1, 1)‎不单调,等价于导函数f'(x)‎,在‎(-1,1)‎有实数根但无重根.‎ ‎∵ f'(x)=3x‎2‎+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)]‎,‎ 令f'(x)=0‎得两根分别为x=a与x=-‎a+2‎‎3‎ 若a=-‎a+2‎‎3‎即a=-‎‎1‎‎2‎时,此时导数恒大于等于‎0‎,不符合题意,‎ 当两者不相等时即a≠-‎‎1‎‎2‎时,‎ 有a∈(-1, 1)‎或者‎-a+2‎‎3‎∈(-1, 1)‎,‎ 解得a∈(-5, 1)‎且a≠-‎‎1‎‎2‎,‎ 综上得参数a的取值范围是‎(-5, -‎1‎‎2‎)∪(-‎1‎‎2‎, 1)‎.‎ ‎22.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)由抛物线方程得其准线方程:‎ y=-‎p‎2‎‎,根据抛物线定义 点A(m, 4)‎到焦点的距离等于它到准线的距离,‎ 即‎4+p‎2‎=‎‎17‎‎4‎,解得p=‎‎1‎‎2‎ ‎∴ 抛物线方程为:x‎2‎‎=y,将A(m, 4)‎代入抛物线方程,解得m=±2‎ ‎(2)由题意知,过点P(t, t‎2‎)‎的直线PQ斜率存在且不为‎0‎,设其为k.‎ 则lPQ‎:y-t‎2‎=k(x-t)‎,‎ 当y=0,x=‎‎-t‎2‎+ktk,‎ 则M(‎-t‎2‎+ktk,0)‎.‎ 联立方程y-t‎2‎=k(x-t)‎x‎2‎‎=y,‎ 整理得:‎x‎2‎‎-kx+t(k-t)=0‎ 即:‎(x-t)[x-(k-t)]=0‎,‎ 解得x=t,或x=k-t∴ Q(k-t,‎(k-t‎)‎‎2‎)‎,‎ 而QN⊥QP,∴ 直线NQ斜率为‎-‎‎1‎k ‎∴ lNQ‎:y-(k-t‎)‎‎2‎=-‎1‎k[x-(k-t)]‎,‎ 联立方程y-(k-t‎)‎‎2‎=-‎1‎k[x-(k-t)]‎x‎2‎‎=y 整理得:x‎2‎‎+‎1‎kx-‎1‎k(k-t)-(k-t‎)‎‎2‎=0‎,‎ 即:kx‎2‎+x-(k-t)[k(k-t)+1]=0[kx+k(k-t)+1][x-(k-t)]=0‎,‎ ‎ 10 / 10‎ 解得:x=-‎k(k-t)+1‎k,‎ 或x=k-t∴ N(-k(k-t)+1‎k,‎[k(k-t)+1‎‎]‎‎2‎k‎2‎)‎,‎ ‎∴ ‎KNM‎=‎[k(k-t)+1‎‎]‎‎2‎k‎2‎‎-k(k-t)+1‎k-‎‎-t‎2‎+ktk=‎‎(k‎2‎-kt+1‎‎)‎‎2‎k(t‎2‎-k‎2‎-1)‎ 而抛物线在点N处切线斜率:‎k切‎=y'‎|‎x=‎k(k-t)+1‎k=-‎k(k-t)+1‎k ‎∵ MN是抛物线的切线,‎ ‎∴ ‎(k‎2‎-kt+1‎‎)‎‎2‎k(t‎2‎-k‎2‎-1)‎‎=‎‎-2k(k-t)-2‎k,‎ 整理得k‎2‎‎+tk+1-2t‎2‎=0‎ ‎∵ ‎△=t‎2‎-4(1-2t‎2‎)≥0‎,‎ 解得t≤-‎‎2‎‎3‎(舍去),或t≥‎‎2‎‎3‎,∴ ‎tmin‎=‎‎2‎‎3‎ ‎【解答】‎ 解:(1)由抛物线方程得其准线方程:‎ y=-‎p‎2‎‎,根据抛物线定义 点A(m, 4)‎到焦点的距离等于它到准线的距离,‎ 即‎4+p‎2‎=‎‎17‎‎4‎,解得p=‎‎1‎‎2‎ ‎∴ 抛物线方程为:x‎2‎‎=y,将A(m, 4)‎代入抛物线方程,解得m=±2‎ ‎(2)由题意知,过点P(t, t‎2‎)‎的直线PQ斜率存在且不为‎0‎,设其为k.‎ 则lPQ‎:y-t‎2‎=k(x-t)‎,‎ 当y=0,x=‎‎-t‎2‎+ktk,‎ 则M(‎-t‎2‎+ktk,0)‎.‎ 联立方程y-t‎2‎=k(x-t)‎x‎2‎‎=y,‎ 整理得:‎x‎2‎‎-kx+t(k-t)=0‎ 即:‎(x-t)[x-(k-t)]=0‎,‎ 解得x=t,或x=k-t∴ Q(k-t,‎(k-t‎)‎‎2‎)‎,‎ 而QN⊥QP,∴ 直线NQ斜率为‎-‎‎1‎k ‎∴ lNQ‎:y-(k-t‎)‎‎2‎=-‎1‎k[x-(k-t)]‎,‎ 联立方程y-(k-t‎)‎‎2‎=-‎1‎k[x-(k-t)]‎x‎2‎‎=y 整理得:x‎2‎‎+‎1‎kx-‎1‎k(k-t)-(k-t‎)‎‎2‎=0‎,‎ 即:kx‎2‎+x-(k-t)[k(k-t)+1]=0[kx+k(k-t)+1][x-(k-t)]=0‎,‎ 解得:x=-‎k(k-t)+1‎k,‎ 或x=k-t∴ N(-k(k-t)+1‎k,‎[k(k-t)+1‎‎]‎‎2‎k‎2‎)‎,‎ ‎∴ ‎KNM‎=‎[k(k-t)+1‎‎]‎‎2‎k‎2‎‎-k(k-t)+1‎k-‎‎-t‎2‎+ktk=‎‎(k‎2‎-kt+1‎‎)‎‎2‎k(t‎2‎-k‎2‎-1)‎ 而抛物线在点N处切线斜率:‎k切‎=y'‎|‎x=‎k(k-t)+1‎k=-‎k(k-t)+1‎k ‎∵ MN是抛物线的切线,‎ ‎∴ ‎(k‎2‎-kt+1‎‎)‎‎2‎k(t‎2‎-k‎2‎-1)‎‎=‎‎-2k(k-t)-2‎k,‎ 整理得k‎2‎‎+tk+1-2t‎2‎=0‎ ‎∵ ‎△=t‎2‎-4(1-2t‎2‎)≥0‎,‎ 解得t≤-‎‎2‎‎3‎(舍去),或t≥‎‎2‎‎3‎,∴ ‎tmin‎=‎‎2‎‎3‎ ‎ 10 / 10‎