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- 2021-07-01 发布
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2009年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 设U=R，A={x|x>0}，B={x|x>1}，则A∩∁UB=( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|01}
2. “x>0”是“x≠0”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 设复数z＝1+i（i是虚数单位），则2z+z2＝（ ）
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
4. 设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下表述正确的是（ ）
A.若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B.若l // α，α // β，则l⊂β
C.若l⊥α，α // β，则l⊥β D.若l // α，α⊥β，则l⊥β
5. 已知向量a→=(1, 2)，b→=(2, -3)．若向量c→满足(c→+a→) // b→，c→⊥(a→+b→)，则c→=( )
A.(79, 73) B.(-73, -79) C.(73, 79) D.(-79, -73)
6. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若AP→=2PB→，则椭圆的离心率是（ ）
A.32 B.22 C.13 D.12
7. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8. 若函数f(x)=x2+ax(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A.∀a∈R，f(x)在(0, +∞)上是增函数
B.∀a∈R，f(x)在(0, +∞)上是减函数
C.∃a∈R，f(x)是偶函数
D.∃a∈R，f(x)是奇函数
9. 已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点的个数最多为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
10. 已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
10 / 10
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11. 设等比数列{an}的公比q=12，前n项和为Sn，则S4a4=________．
12. 若某个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是________cm3．
13. 若实数x，y满足不等式组x+y≥22x-y≤4x-y≥0 ，则2x+3y的最小值是________．
14. 某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4, 5)上的数据的频数为________．
15. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图：
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
（单位：千瓦时）
高峰电价（单位：元/千瓦时）
低谷月用电量
（单位：千瓦时）
低谷电价（单位：
元/千瓦时）
50及以下的部分
0.568
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.598
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.668
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元（用数字作答）
16. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，T16T12成等比数列．
17. 有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k+1，其中k=0,1,2,⋯,19．从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10）不小于14”为A，则PA=________．
三、解答题（共5小题，满分72分）
18. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cosA2=255，AB→⋅AC→=3．
（1）求△ABC的面积；
（2）若c=1，求a的值．
10 / 10
19. 如图，DC⊥平面ABC，EB // DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120∘，P，Q分别为AE、AB的中点．
（1）证明：PQ // 平面ACD；
（2）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；
（3）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
20. 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=kn2+n，n∈N*，其中k是常数．
(I)求a1及an；
(II)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
21. 已知函数f(x)=x3+(1-a) x2-a(a+2)x+b(a, b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间(-1, 1)上不单调，求a的取值范围．
22. 已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点的距离为174．
（1）求p与m的值；
（2）设抛物线C上一点p的横坐标为t(t>0)，过p的直线交C于另一点Q，交x轴于M点，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．
10 / 10
参考答案与试题解析
2009年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.
【答案】
B
【解答】
解：对于∁UB={x|x≤1}，
因此A∩∁UB={x|00”⇒“x≠0”；
反之不一定成立，
因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件，
3.
【答案】
D
【解答】
对于2z+z2=21+i+(1+i)2=1-i+2i=1+i，
4.
【答案】
C
【解答】
解：l⊥α，α⊥β⇒l⊂β或l // β，A错；
l // α，α // β⇒l // β或l⊂β，B错；
l⊥α，α // β⇒l⊥β，C正确；
若l // α，α⊥β，则l与β的位置关系不确定，D错．
故选C．
5.
【答案】
D
【解答】
设c→=(x, y)，则c→+a→=(x+1, y+2)，a→+b→=(3, -1)．
∵ (c→+a→) // b→，c→⊥(a→+b→)，
∴ 2(y+2)＝-3(x+1)，3x-y＝0．
∴ x=-79，y=-73，
6.
【答案】
D
【解答】
解：如图所示，
由于BF⊥x轴，故xB=-c，yB=b2a，即B(-c, b2a)，
设P(0, t)，
10 / 10
∵ AP→=2PB→，
∴ (-a, t)=2(-c, b2a-t)．
∴ a=2c，
∴ e=ca=12.
故选D．
7.
【答案】
A
【解答】
解：初始值，k=0，S=0，
第一次循环，S=1，k=1；
第二次循环，S=3，k=2；
第三次循环，S=11，k=3；
第四次循环，S=11+211>100，k=4；
此时不满足循环条件，退出循环输出k=4．
故选A．
8.
【答案】
C
【解答】
解析：∵ f'(x)=2x-ax2，
故只有当a≤0时，f(x)在(0, +∞)上才是增函数，
因此A，B不对，
当a=0时，f(x)=x2是偶函数，因此C对，D不对．
故选C.
9.
【答案】
B
【解答】
解：对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，
此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，
能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．
故选B．
10.
【答案】
D
【解答】
解：对于振幅大于1时，
三角函数的周期为：T=2π|a|，
∵ |a|>1，
∴ T<2π，
而D符合要求，它的振幅大于1，但周期小于2π，
对于选项A，a<1，T>2π，满足函数与图象的对应关系.
故选D．
10 / 10
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11.
【答案】
15
【解答】
解：对于S4=a1(1-q4)1-q，a4=a1q3，
∴ S4a4=1-q4q3(1-q)=15.
故答案为：15.
12.
【答案】
18
【解答】
解：由图可知，底下的长方体底面长为3，宽为1，底面积为3×1=3，高为3，因此体积为3×3=9；
上面的长方体底面是个正方形，边长为3，高为1，易知与下面的长方体体积相等，
因此易得该几何体的体积为9×2=18．
13.
【答案】
4
【解答】
如图即为满足不等式组x+y≥22x-y≤4x-y≥0 的可行域，
由图易得：当x＝2，y＝0时，2x+3y＝4；
当x＝1，y＝1时，2x+3y＝5；
当x＝4，y＝4时，2x+3y＝20，
因此，当x＝2，y＝0时，2x+3y有最小值4．
14.
【答案】
30
【解答】
解：根据题意，
在区间[4, 5)的频率为：0.3，
而总数为100，因此频数为100×0.3=30．
故答案为：30．
15.
【答案】
148.4
【解答】
解：高峰时间段用电的电费为 50×0.568+150×0.598=28.4+89.7=118.1 (元)，
低谷时间段用电的电费为 50×0.288+50×0.318=14.4+15.9=30.3(元)，
本月的总电费为 118.1+30.3=148.4 (元).
故答案为：148.4．
16.
【答案】
T8T4,T12T8
【解答】
解：设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，
则T4=b14q6，T8=b18q1+2++7=b18q28，
T12=b112q1+2++11=b112q66，
∴ T8T4=b14q22，T12T8=b14q38，
10 / 10
即(T8T4)2=T12T8⋅T4，故T4，T8T4，T12T8成等比数列．
故答案为：T8T4T12T8
17.
【答案】
14
【解答】
解：从这20张卡片中任取1张，所有的基本事件有20个，而事件A包含的基本事件有7,8，8,9，16,17，17,18，18,19，共5个，因此PA=14．
故答案为：14．
三、解答题（共5小题，满分72分）
18.
【答案】
解：（1）∵ cosA2=255，
∴ cosA=2cos2A2-1=35，
∴ sinA=1-cos2A=45，
∵ AB→⋅AC→=bccosA=3，
∴ bc=5，
∴ △ABC的面积S=12bcsinA=2；
（2）∵ c=1，bc=5，
∴ b=5，
∴ a=b2+c2-2bccosA=1+25-6=25．
【解答】
解：（1）∵ cosA2=255，
∴ cosA=2cos2A2-1=35，
∴ sinA=1-cos2A=45，
∵ AB→⋅AC→=bccosA=3，
∴ bc=5，
∴ △ABC的面积S=12bcsinA=2；
（2）∵ c=1，bc=5，
∴ b=5，
∴ a=b2+c2-2bccosA=1+25-6=25．
19.
【答案】
解：（1）证明：由已知：P、Q分别是AE、AB的中点，
所以，PQ // BE，PQ=12BE，
又DC // BE，DC=12BE
所以，PQ // DC
所以，PQ // 平面ACD
（2）取BE的中点F，连接QF，DF，DQ，可以推出QF // AE且QF=12AE，
易证∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角
易知CQ=1，AB=23，AE=4，QF=2，DF=BC=2，DQ=2
由余弦定理：可得cos∠DFQ=34
（3）由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB，
再利用DC⊥平面ABC，可得CQ⊥平面ABE，进而推出DP⊥平面ABE
10 / 10
所以∠DAP就是AD与平面ABE所成的角
DP=CQ=1，AD=5⇒sin∠DAP=55
所以AD与平面ABE所成角的正弦值为55．
【解答】
解：（1）证明：由已知：P、Q分别是AE、AB的中点，
所以，PQ // BE，PQ=12BE，
又DC // BE，DC=12BE
所以，PQ // DC
所以，PQ // 平面ACD
（2）取BE的中点F，连接QF，DF，DQ，可以推出QF // AE且QF=12AE，
易证∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角
易知CQ=1，AB=23，AE=4，QF=2，DF=BC=2，DQ=2
由余弦定理：可得cos∠DFQ=34
（3）由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB，
再利用DC⊥平面ABC，可得CQ⊥平面ABE，进而推出DP⊥平面ABE
所以∠DAP就是AD与平面ABE所成的角
DP=CQ=1，AD=5⇒sin∠DAP=55
所以AD与平面ABE所成角的正弦值为55．
20.
【答案】
解析：(1)当n=1，a1=S1=k+1，
n≥2，an=Sn-Sn-1=kn2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1(*)．
经检验，n=1(*)式成立，
∴ an=2kn-k+1．
(2)∵ am，a2m，a4m成等比数列，
∴ a2m2=ama4m，
即(4km-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1)，
整理得：mk(k-1)=0，对任意的m∈N*成立，
∴ k=0或k=1．
【解答】
解析：(1)当n=1，a1=S1=k+1，
n≥2，an=Sn-Sn-1=kn2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1(*)．
经检验，n=1(*)式成立，
∴ an=2kn-k+1．
(2)∵ am，a2m，a4m成等比数列，
∴ a2m2=ama4m，
即(4km-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1)，
整理得：mk(k-1)=0，对任意的m∈N*成立，
∴ k=0或k=1．
21.
【答案】
解：(1)由题意得f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2),
又f(0)=b=0，f'(0)=-a(a+2)=-3，
解得b=0，a=-3或a=1.
(2)函数f(x)在区间(-1, 1)不单调，等价于导函数f'(x)，在(-1，1)有实数根但无重根．
10 / 10
∵ f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)]，
令f'(x)=0得两根分别为x=a与x=-a+23
若a=-a+23即a=-12时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，
当两者不相等时即a≠-12时，
有a∈(-1, 1)或者-a+23∈(-1, 1)，
解得a∈(-5, 1)且a≠-12，
综上得参数a的取值范围是(-5, -12)∪(-12, 1).
【解答】
解：(1)由题意得f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2),
又f(0)=b=0，f'(0)=-a(a+2)=-3，
解得b=0，a=-3或a=1.
(2)函数f(x)在区间(-1, 1)不单调，等价于导函数f'(x)，在(-1，1)有实数根但无重根．
∵ f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)]，
令f'(x)=0得两根分别为x=a与x=-a+23
若a=-a+23即a=-12时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，
当两者不相等时即a≠-12时，
有a∈(-1, 1)或者-a+23∈(-1, 1)，
解得a∈(-5, 1)且a≠-12，
综上得参数a的取值范围是(-5, -12)∪(-12, 1).
22.
【答案】
解：（1）由抛物线方程得其准线方程：
y=-p2，根据抛物线定义
点A(m, 4)到焦点的距离等于它到准线的距离，
即4+p2=174，解得p=12
∴ 抛物线方程为：x2=y，将A(m, 4)代入抛物线方程，解得m=±2
（2）由题意知，过点P(t, t2)的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k．
则lPQ:y-t2=k(x-t)，
当y=0,x=-t2+ktk，
则M(-t2+ktk，0)．
联立方程y-t2=k(x-t)x2=y，
整理得：x2-kx+t(k-t)=0
即：(x-t)[x-(k-t)]=0，
解得x=t，或x=k-t∴ Q(k-t,(k-t)2)，
而QN⊥QP，∴ 直线NQ斜率为-1k
∴ lNQ：y-(k-t)2=-1k[x-(k-t)]，
联立方程y-(k-t)2=-1k[x-(k-t)]x2=y
整理得：x2+1kx-1k(k-t)-(k-t)2=0，
即：kx2+x-(k-t)[k(k-t)+1]=0[kx+k(k-t)+1][x-(k-t)]=0，
10 / 10
解得：x=-k(k-t)+1k，
或x=k-t∴ N(-k(k-t)+1k，[k(k-t)+1]2k2)，
∴ KNM=[k(k-t)+1]2k2-k(k-t)+1k--t2+ktk=(k2-kt+1)2k(t2-k2-1)
而抛物线在点N处切线斜率：k切=y'|x=k(k-t)+1k=-k(k-t)+1k
∵ MN是抛物线的切线，
∴ (k2-kt+1)2k(t2-k2-1)=-2k(k-t)-2k，
整理得k2+tk+1-2t2=0
∵ △=t2-4(1-2t2)≥0，
解得t≤-23（舍去），或t≥23，∴ tmin=23
【解答】
解：（1）由抛物线方程得其准线方程：
y=-p2，根据抛物线定义
点A(m, 4)到焦点的距离等于它到准线的距离，
即4+p2=174，解得p=12
∴ 抛物线方程为：x2=y，将A(m, 4)代入抛物线方程，解得m=±2
（2）由题意知，过点P(t, t2)的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k．
则lPQ:y-t2=k(x-t)，
当y=0,x=-t2+ktk，
则M(-t2+ktk，0)．
联立方程y-t2=k(x-t)x2=y，
整理得：x2-kx+t(k-t)=0
即：(x-t)[x-(k-t)]=0，
解得x=t，或x=k-t∴ Q(k-t,(k-t)2)，
而QN⊥QP，∴ 直线NQ斜率为-1k
∴ lNQ：y-(k-t)2=-1k[x-(k-t)]，
联立方程y-(k-t)2=-1k[x-(k-t)]x2=y
整理得：x2+1kx-1k(k-t)-(k-t)2=0，
即：kx2+x-(k-t)[k(k-t)+1]=0[kx+k(k-t)+1][x-(k-t)]=0，
解得：x=-k(k-t)+1k，
或x=k-t∴ N(-k(k-t)+1k，[k(k-t)+1]2k2)，
∴ KNM=[k(k-t)+1]2k2-k(k-t)+1k--t2+ktk=(k2-kt+1)2k(t2-k2-1)
而抛物线在点N处切线斜率：k切=y'|x=k(k-t)+1k=-k(k-t)+1k
∵ MN是抛物线的切线，
∴ (k2-kt+1)2k(t2-k2-1)=-2k(k-t)-2k，
整理得k2+tk+1-2t2=0
∵ △=t2-4(1-2t2)≥0，
解得t≤-23（舍去），或t≥23，∴ tmin=23
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