高中数学4_1坐标系4_1_3球坐标系与柱坐标系自我小测苏教版选修4-41 4页

4.1.3 球坐标系与柱坐标系 自我小测 1．设点 M 的直角坐标为(－1， 3 ，2)，则它的柱坐标是__________． 2．设点 P 的直角坐标为(－1，－1， 2 )，则它的球坐标为__________． 3．如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为 A1(4,0,5)，C1 π6, ,52      ，则此长方 体的体积为__________． 4．在柱坐标系中，已知 π1, ,02A     ， π1, ,22B     及 O(0,0,0)三点，则△ABO 的面积为 __________． 5．如图，点 M 的球坐标是____________. 6．在球坐标系中，M π π4 4 6      ， ， 与 N π 24 π4 3      ， ， 两点间的距离是__________． 7．设点 A 的柱坐标为 π2, , 64      ，则它的球坐标为__________． 8．将直角坐标系中的点 M(－3， 3 ，3)转化成柱坐标． 参考答案 1 答案： 4π2, ,23      解析：设点 M 的柱坐标为(r，θ，z)，则 tan 3y x    . ∵0≤θ＜2π，x＜0， ∴ 4π 3   ， 2 2( 1) ( 3) 2r      ，z＝2. ∴点 M 的柱坐标为 4π2, ,23      . 2 答案： π 5π2, ,4 4      解析：设 P 点的球坐标为(r，φ，θ)，则有 1tan 11 y x     . ∵0≤θ＜2π，x＜0， ∴ 5π 4   ， 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 2r       . ∴ 22 cos cos 2r     . ∵0≤φ≤π，∴ π 4   . ∴P 点的球坐标为 π 5π2, ,4 4      . 3 答案：120 解析：由长方体的两个顶点分别为 A1(4,0,5)，C1 π6, ,52      ，可知|OA|＝4，|OC|＝6， |OO1|＝5， 故长方体的体积为 4×5×6＝120. 4 答案：1 解析：∵ π1, ,02A     ， π1, ,22B     ，O(0,0,0)， ∴△OAB 为直角三角形． ∴ 1 1| || | 1 2 1.2 2OABS OA AB      5 答案：(R，φ，θ) 解析：抓住球坐标定义，记|OM|＝R，OM 与 z 轴正向所夹的角为φ，设 M 在 Oxy 平面上 的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点 M 的位置就可以 用有序数组(R，φ，θ)表示．故点 M 的球坐标为(R，φ，θ)． 6 答案：4 解析：设点 M π π4 4 6      ， ， 的直角坐标为(x，y，z)，则 π π 2 3= sin cos =4sin cos =4 6,4 6 2 2 π π 2 1= sin sin =4sin sin =4 2,4 6 2 2 π= cos =4cos 2 2.4 x r y r z r                   ∴M 点的直角坐标为( 6 ， 2 ， 2 2 )， 同理，N 点的直角坐标为( 2 ， 6 ， 2 2 )． ∴|MN|＝ 2 2 2( 6 2) ( 2 6) (2 2 2 2)     ＝4. 7 答案： π π2 2, ,6 4      解析：设 A 的直角坐标为(x，y，z)， 则 πcos 2cos 14x r    ， πsin 2cos 14y r    ， 6z  ， ∴点 A 的直角坐标为(1,1， 6 )． 设点 A 的球坐标为(r，φ，θ)． 则有 sin cos 1 sin cos sin sin 1 sin sin cos 6 cos . x r r y r r z r r                      ∴tan θ＝1.又∵0≤θ＜2π，x＞0， ∴ π 4   ， 2 2 2 2 2 21 1 ( 6) 2 2r x y z       . ∴ 6 3cos 22 2    . 又∵0≤φ≤π，∴ π 6   . ∴点 A 的球坐标为 π π2 2, ,6 4      . 8 解：设点 M 的柱坐标为(r，θ，z)， 则由 cos sin , x r y r z z        得 3tan ,3 3. y x z       ∵0≤θ＜2π且 x＜0，∴ 5 π6   ， 2 3r  . ∴M 点的柱坐标为 52 3, π,36      .