高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用章末检测卷 word版含解析 8页

章末检测卷（一） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．已知曲线 y＝x2＋2x－2 在点 M 处的切线与 x 轴平行，则点 M 的坐标是( ) A．(－1,3) B．(－1，－3) C．(－2，－3) D．(－2,3) 答案 B 解析 ∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1. f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3. ∴M(－1，－3)． 2．函数 y＝x4－2x2＋5 的单调递减区间是( ) A．(－∞，－1)和(0,1) B．(－1,0)和(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)和(1，＋∞) 答案 A 解析 y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令 y′<0 得 x 的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选 A. 3．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在 x＝－3 时取得极值，则 a 等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 D 解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在 x＝－3 时取得极值， 即 f′(－3)＝0，∴27－6a＋3＝0，∴a＝5. 4．函数 y＝ln 1 |x＋1| 的大致图象为( ) 答案 D 解析 函数的图象关于 x＝－1 对称，排除 A、C，当 x>－1 时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故 选 D. 5．一物体在变力 F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与 F(x)成 30°方向作直 线运动，则由 x＝1 运动到 x＝2 时 F(x)作的功为( ) A. 3J B.2 3 3 J C.4 3 3 J D．2 3J 答案 C 解析 由于 F(x)与位移方向成 30°角．如图：F 在位移方向上的分力 F′＝F·cos 30°， W＝ʃ2 1(5－x2)·cos 30°dx ＝ 3 2 ʃ2 1(5－x2)dx ＝ 3 2 (5x－1 3 x3)|2 1＝ 3 2 ×8 3 ＝4 3 3 (J)． 6．二次函数 y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数 y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限 的一条直线，则函数 y＝f(x)的图象的顶点所在象限是( ) A．一 B．二 C．三 D．四 答案 C 解析 ∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数 y＝f(x)的图象必然先下降再上 升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限． 7．已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－x－1 在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数 a 的取值范围是 ( ) A．(－∞，－ 3]∪ 3，＋∞) B．－ 3， 3] C．(－∞，－ 3]∪ 3，＋∞) D．－ 3，3] 答案 B 解析 在 f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0 在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－ 3≤a≤ 3. 8．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝1 2 x＋2，f(1)＋f′(1)的值等 于( ) A．1 B.5 2 C．3 D．0 答案 C 解析 由已知切点在切线上，所以 f(1)＝1 2 ＋2＝5 2 ，切点处的导数为切线斜率，所以 f′(1) ＝1 2 ， 所以 f(1)＋f′(1)＝3. 9．曲线 y＝sin x，y＝cos x 与直线 x＝0，x＝π 2 所围成的平面区域的面积为( ) A． π 2 0 (sin x－cos x)dx B．2 π 4 0 (sin x－cos x)dx C． π 2 0 (cos x－sin x)dx D．2 π 4 0 (cos x－sin x)dx 答案 D 解析 如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于 00)，则 y＝f(x)( ) A．在区间(1 e ，1)，(1，e)内均有零点 B．在区间(1 e ，1)，(1，e)内均无零点 C．在区间(1 e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 D．在区间(1 e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 答案 C 解析 由题意得 f′(x)＝x－3 3x ，令 f′(x)>0 得 x>3；令 f′(x)<0 得 00，f(e)＝e 3 －1<0，f(1 e )＝ 1 3e ＋1>0. 11．方程 2x3－6x2＋7＝0 在(0,2)内根的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B 解析 令 f(x)＝2x3－6x2＋7， ∴f′(x)＝6x2－12x， 由 f′(x)>0 得 x>2 或 x<0；由 f′(x)<0 得 00，f(2)＝－1<0， ∴方程在(0,2)内只有一实根． 12．设曲线 y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则 log2 014x1＋log2 014x2 ＋…＋log2 014x2 015 的值为( ) A．－log2 0142 013 B．－1 C．(log2 0142 013)－1 D．1 答案 B 解析 ∵y′|x＝1＝n＋1， ∴切线方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)， 令 y＝0，得 x＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 ，即 xn＝ n n＋1 . 所以 log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 013 ＝log2 014(x1·x2·…·x2 013) ＝log2 014 1 2 ·2 3 ·…·2 013 2 014 ＝log2 014 1 2 014 ＝－1. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．若曲线 y＝kx＋ln x 在点(1，k)处的切线平行于 x 轴，则 k＝________. 答案 －1 解析 ∵y′＝k＋1 x ，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1. 14．已知函数 f(x)＝－x3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数 a 的取值范围是________． 答案 a≥3 解析 由题意应有 f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则 a≥3x2，x∈(－1,1) 恒成立，故 a≥3. 15．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－10x＋3 上，且在第二象限内，已知曲 线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为________ 答案 (－2,15) 解析 y′＝3x2－10＝2⇒x＝±2，又点 P 在第二象限内，∴x＝－2，得点 P 的坐标为(－2,15) 16．函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，在 x＝1 时有极值 10，那么 a，b 的值分别为________． 答案 4，－11 解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10， 2a＋b＝－3 a2＋a＋b＝9 ，解得 a＝－3 b＝3 ，或 a＝4 b＝－11 ，当 a＝－3 时，x＝1 不是极值点，a，b 的 值分别为 4，－11. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)设函数 f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中 a∈R.已知 f(x)在 x＝3 处取得极值． (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在点 A(1,16)处的切线方程． 解 (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a. ∵f(x)在 x＝3 处取得极值， ∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0， 解得 a＝3. ∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8. (2)A 点在 f(x)上， 由(1)可知 f′(x)＝6x2－24x＋18， f′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切线方程为 y＝16. 18．(12 分)已知 f(x)＝log3 x2＋ax＋b x ，x∈(0，＋∞)，是否存在实数 a、b，使 f(x)同时满足 下列两个条件：(1)f(x)在(0,1)上是减函数，在 1，＋∞)上是增函数；(2)f(x)的最小值是 1， 若存在，求出 a、b，若不存在，说明理由． 解 设 g(x)＝x2＋ax＋b x ，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在 1，＋∞)上是增函数， ∴g(x)在(0,1)上是减函数，在 1，＋∞)上是增函数， ∴ g′1＝0 g1＝3 ，∴ b－1＝0 a＋b＋1＝3 ，解得 a＝1 b＝1 经检验，a＝1，b＝1 时，f(x)满足题设的两个条件． 19．(12 分)设函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)． (1)当 a＝1 时，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在(0,1]上的最大值为1 2 ，求 a 的值． 解 函数 f(x)的定义域为(0,2)， f′(x)＝1 x － 1 2－x ＋a. (1)当 a＝1 时，f′(x)＝－x2＋2 x2－x ， 所以 f(x)的单调递增区间为(0， 2)， 单调递减区间为( 2，2)． (2)当 x∈(0,1]时，f′(x)＝ 2－2x x2－x ＋a>0， 即 f(x)在(0,1]上单调递增，故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)＝a，因此 a＝1 2 . 20．(12 分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品需向总公司 缴纳 a 元(a 为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为 x 元时，产品一年的销售量为k ex(e 为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为 40 元时，该 产品的一年销售量为 500 万件，经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元，最高不 超过 41 元． (1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L(x)最大？并求出 L(x)的最大值． 解 (1)由于年销售量为 Q(x)＝k ex，则 k e40＝500， 所以 k＝500e40，则年售量为 Q(x)＝500e40 ex 万件， 则年利润 L(x)＝(x－a－30)500e40 ex ＝500e40·x－a－30 ex (35≤x≤41)． (2)L′(x)＝500e40·31＋a－x ex . ①当 2≤a≤4 时，33≤a＋31≤35， 当 35≤x≤41 时，L′(x)≤0； 所以 x＝35 时，L(x)取最大值为 500(5－a)e5. ②当 40)， f′(x)＝x－5＋6 x ＝x－2x－3 x . 令 f′(x)＝0，解得 x1＝2，x2＝3. 当 03 时，f′(x)>0， 故 f(x)在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数； 当 20. (1)若 a＝1，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若在区间－1 2 ，1 2 ]上，f(x)>0 恒成立，求 a 的取值范围． 解 (1)当 a＝1 时，f(x)＝x3－3 2 x2＋1，f(2)＝3. f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－3＝6(x－2)，即 y＝6x－9. (2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)． 令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝1 a . 以下分两种情况讨论： ①若 00 等价于 f－1 2>0， f1 2>0， 即 5－a 8 >0 5＋a 8 >0. 解不等式组得－52，则 0<1 a <1 2 . 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－1 2 ，0) 0 (0，1 a ) 1 a (1 a ，1 2 ) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递 减 极小值 单调递 增 当 x∈－1 2 ，1 2 ]时， f(x)>0 等价于 f－1 2>0， f1 a>0， 即 5－a 8 >0 1－ 1 2a2>0 解不等式组得 2 2