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- 2021-07-01 发布
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2020届北京市西城区第四中学高三上学期10月月考数学试题
一、单选题
1.的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析:因,故应选C.
【考点】诱导公式及运用.
2.设数列{an}是等差数列,若a3+a4+a5=12,则a1+a2+…+a7=( )
A.14 B.21 C.28 D.35
【答案】C
【解析】根据等差数列性质得到,再计算得到答案.
【详解】
数列{an}是等差数列,则;
故选:
【点睛】
本题考查了等差数列的性质,意在考查学生对于数列性质的灵活运用.
3.设,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 ,得 成立;若 ,得
【详解】
若 ,得 成立;反之,若
,得
故选:C.
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件,属基础题.易错点是“”推出“”.
4.定义:,若复数z满足,则z等于( )
A.1+i B.1﹣i C.3+i D.3﹣i
【答案】B
【解析】根据定义得到,代入数据化简得到答案.
【详解】
根据题意知:
故选:
【点睛】
本题考查了复数的计算,意在考查学生的计算能力.
5.已知集合,则等于( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解绝对值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得。
【详解】
集合
解绝对值不等式,可得
集合
解分式不等式,可得
则
故选:B
【点睛】
本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题。
6.在同一坐标系内,函数的图象关于( )
A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y=x对称
【答案】C
【解析】因为,所以两个函数的图象关于y轴对称,故选C。
7.函数在点P(2,k)处的切线是( )
A.x﹣2y=0 B.x﹣y﹣1=0 C.x﹣2y﹣1=0 D.2x﹣2y﹣3=0
【答案】C
【解析】求导得到,当时,,计算得到切线方程.
【详解】
,当时,
故切线方程为:
故选:
【点睛】
本题考查了求函数的切线方程,意在考查学生的计算能力.
8.函数在定义域内可导,若,且当时,,设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解:x∈(-∞,1)时,x-1<0,由(x-1)•f'(x)<0,知f'(x)>0,
所以(-∞,1)上f(x)是增函数.
∵f(x)=f(2-x),
∴f(3)=f(2-3)=f(-1)
所以f(-1)<(0)<,
因此c<a<b.
故选B.
9.已知是定义在上的周期为的奇函数,当时,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数的周期性和奇函数的性质可得出,代入解析式可得出的值.
【详解】
由于函数定义在上的周期为的奇函数,且当时,,
,故选A.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性与周期性求值,对于自变量绝对值较大的函数值的求解,一般先利用周期性将自变量的绝对值变小,然后利用函数奇偶性求解,考查分析问题和运算求解能力,属于中等题.
10.设函数f(x)sin,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞) B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)
C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
【答案】C
【解析】求导得到,计算得到,代入式子化简得到
,取或时计算得到答案.
【详解】
,则
故
当或时得:或
故选:
【点睛】
本题考查了极值,存在性问题,意在考查学生对于导数的应用能力.
二、填空题
11.函数f(x)的定义域是_____.
【答案】(,0)∪(0,+∞).
【解析】根据定义域定义得到计算得到答案.
【详解】
函数的定义域满足:
故答案为:
【点睛】
本题考查了函数的定义域,意在考查学生的计算能力.
12.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .
【答案】
【解析】解析:依题意得y′=ex,因此曲线y=ex在点A(2,e2)处的切线的斜率等于e2,相应的切线方程是y-e2=e2(x-2),当x=0时,y=-e2即y=0时,x=1,∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为:
13.已知等比数列的公比为2,前n项和为,则=______.
【答案】
【解析】由等比数列的定义,S4=a1+a2+a3+a4=+a2+a2q+a2q2,
得+1+q+q2=.
14.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,则A,B两点的距离
为 m
【答案】
【解析】由正弦定理得
15.已知函数,且是函数的极值点。给出以下几个命题:
①;
②;
③;
④
其中正确的命题是__________.(填出所有正确命题的序号)
【答案】①③.
【解析】试题分析:的定义域为,,所以有,所以有即即,所以有;因为,所以有。
【考点】导数在求函数极值中的应用
16.设函数f(x),
①若a=1,则f(x)的最小值为_____;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是_____.
【答案】﹣1 a<1,或a≥2.
【解析】①分别计算和的最小值,比较得到答案.
②设h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a),讨论有一个零点和没有零点两种情况,计算得到答案.
【详解】
①当a=1时,f(x),
当x<1时,f(x)=2x﹣1为增函数,f(x)>﹣1,
当x1时,f(x)=4(x﹣1)(x﹣2)=4(x2﹣3x+2)=4(x)2﹣1,
当1<x时,函数单调递减,当x时,函数单调递增,
故当x时,f(x)min=f()=﹣1,故最小值为
②设h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)
若在x<1时,h(x)与x轴有一个交点,
所以a>0,并且当x=1时,h(1)=2﹣a>0,所以0<a<2,
而函数g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有一个交点,所以2a≥1,且a<1,所以a<1,
若函数h(x)=2x﹣a在x<1时,与x轴没有交点,
则函数g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有两个交点,
当a≤0时,h(x)与x轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去),
当h(1)=2﹣a≤0时,即a≥2时,g(x)的两个交点满足x1=a,x2=2a,满足题意的
综上所述:a的取值范围是a<1,或a≥2.
故答案为:-1;a<1,或a≥2.
【点睛】
本题考查了函数的最值和函数的零点问题,意在考查学生对于函数知识的综合应用.
三、解答题
17.已知:{an}是公比大于1的等比数列,Sn为其前n项和,S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=log2a3n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】(1)an=2n﹣1,n∈N(2)Tn=(n2+n)
【解析】(1)直接利用等比数列公式和等差中项公式计算得到答案.
(2)计算得到,直接利用等差数列求和公式得到答案.
【详解】
(1){an}是公比q大于1的等比数列,Sn为其前n项和,S3=7,可得a1(1+q+q2)=7,①
a1+3,3a2,a3+4构成等差数列,可得6a2=a1+3+a3+4,即6a1q=a1+a1q2+7,②
由①②可得a1=1,q=2,则an=2n﹣1,n∈N;
(2),
数列{bn}的前n项和Tn=3(1+2+…+n)=3n(n+1)(n2+n).
【点睛】
本题考查了等比数列通项公式,等差数列求和,意在考查学生对于数列公式的综合应用.
18.设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间;
(3)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.
【答案】(1);(2);(3)图象见解析.
【解析】解:(I)∵,∴.
∵,∴.…………4分
(II).由
得函数的单调增区间为.…………8分
(Ⅲ)由知
0
0
1
0
故函数在区间上的图象如图所示.
…………12分
19.已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的极值.
【答案】(1) x+y-2=0;(2) 当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a无极大
【解析】解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.
(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,
f′(x)=1-(x>0),
因而f(1)=1,f′(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)由f′(x)=1-=,x>0知:
①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a,
又当x∈(0,a)时,f′(x)<0;
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
20.(本小题满分12分)
在中,内角对边分别是,若
(1)当求角的度数;(2)求面积的最大值。
【答案】(1)(2)3.
【解析】第一问利用正弦定理得到
第二问中
得
解:(1)
。。。。。。。。。。。5分
(2)
得
所以面积的最大值为。。。。。。。。。。。。。12分
21.某制药厂准备投入适当的广告费,对产品进行宣传,在一年内,预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元,若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(注:投入包括“年固定投入”与“后期再投入”).
(1)试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数,并判断当年广告费投入100万元时,企业亏损还是盈利?
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?
【答案】(1)w,企业亏损(2)当年广告费投入7万元时,企业年利润最大
【解析】(1)先计算售价为,再计算利润为,化简得到答案.
(2)化简得到,利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
(1)由题意,每件售价为150%50%,
则 ,
则当x=100时,w0,故企业亏损.
(2)
(当且仅当x=7时等号成立).
故当年广告费投入7万元时,企业年利润最大.
【点睛】
本题考查了函数和均值不等式的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.
22.已知:函数f(x)=2lnx﹣ax2+3x,其中a∈R.
(1)若f(1)=2,求函数f(x)的最大值;
(2)若a=﹣1,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)=0,证明:.
【答案】(1)f(x)max=2ln2+2(2)证明见解析
【解析】(1)计算得到,求导得到函数的单调区间,再计算最大值得到答案.
(2)代入数据得到,得到,设得到函数的最小值得到不等式(x1+x2)2+3(x1+x2)≥2,计算得到答案.
【详解】
(1)∵f(1)=2,∴﹣a+3=2,∴a=1,∴f(x)=2lnx﹣x2+3x,
∴f'(x)2x+3,
由f'(x)>0得,0<x<2,有f'(x)<0得,x>2,
∴f(x)在(0,2)为增函数,在(2,+∞)为减函数,
∴f(x)max=f(2)=2ln2+2;
(2)证明:当a=﹣1,f(x)=2lnx+x2+3x,
∵f(x1)+f(x2)=2lnx1+x12+3x1+2lnx2+x22+3x2=0,
∴(x1+x2)2+3(x1+x2)=2(x1x2﹣lnx1x2),
令h(t)=t﹣lnt,∴h'(t)=1,
由h'(x)>0得,t>1,由h'(x)<0得,0<t<1,
∴h(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,
∴h(x)min=h(1)=1,∴(x1+x2)2+3(x1+x2)≥2,
∴(x1+x2)2+3(x1+x2)﹣2≥0,
解得:.
【点睛】
本题考查了函数的最值,利用导数证明不等式,构造函数是解题的关键.
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