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- 2021-07-01 发布
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2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学(理)试题
一、单选题
1.复数的模为( )
A.1 B. C. D.5
【答案】C
【解析】对复数进行计算化简,然后根据复数的模长公式,得到答案.
【详解】
根据题意,
,
所以.
故选:C.
【点睛】
本题考查复数的四则运算,求复数的模长,属于简单题.
2.集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对集合进行化简,然后根据集合的补集运算,得到答案.
【详解】
因为
,
因为集合
所以.
故选:B.
【点睛】
本题考查解对数不等式,一元二次不等式,集合的补集运算,属于简单题.
3.已知向量,则实数是的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】先求出,然后分别判断由能否得到,和由能否得到,从而得到答案.
【详解】
因为向量,所以
因为,所以可得,
所以是的充分条件.
因为,所以
即.
所以是的不必要条件.
综上所述,实数是的充分而不必要条件.
故选:A.
【点睛】
本题考查根据向量的坐标求向量的模长,判断充分而不必要条件,属于简单题.
4.已知函数,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】按和,分别解不等式,从而得到答案.
【详解】
根据题意,,
由不等式
得或
所以或.
即
所以不等式的解集为.
故选:C.
【点睛】
本题考查解分段函数不等式,解对数不等式,属于简单题.
5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
正视图 侧视图
俯视图
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据三视图还原出几何体的直观图,将几何体分为三棱锥和三棱锥两部分,根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高,求出几何体的体积.
【详解】
该几何体的直观图如下图,
平面平面,平面,
与均是边长为的等边三角形,,
点在平面上的射影落在的平分线上,
所以平面,
所以,
,
所以几何体的体积为.
故选:C.
【点睛】
本题考查三视图还原结合体,根据三视图求几何体的体积,属于中档题.
6.函数的图象在点处的切线与函数的图象围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对求导,利用导数的几何意义,求出切线方程,然后求出切线与的交点坐标,利用定积分求出围成的封闭图形的面积,得到答案.
【详解】
由题意,,
,
所以切线方程为,
与的交点横坐标为,.
故封闭图形的面积
故选:D.
【点睛】
本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程,定积分求封闭图形的面积,属于中档题.
7.已知数列满足,,设数列的前n项和为,若,则与最接近的整数是( )
A.5 B.4 C.2 D.1
【答案】C
【解析】根据递推关系式,得到,得到的通项,从而得到的通项和前项和,从而求出,再得到,从而得到答案.
【详解】
由题意,,
所以,
所以为以为首项,为公比的等比数列,
所以,
因此,
数列的前n项和为,
,
所以.
所以与最接近的整数是.
故选:C.
【点睛】
本题考查构造法求数列的通项,等差数列前项和公式,裂项相消法求数列的和,属于中档题.
8.已知函数,若函数有两个零点,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画出的图像,然后得到的图像和的图像有两个交点,从而得到的取值范围.
【详解】
根据函数,
画出的图象如图所示,
函数有两个零点
则函数的图象与的图象有2个交点,
所以,
所以实数的取值范围为.
故选:D.
【点睛】
本题考查画分段函数的图像,函数与方程,属于简单题.
9.如果函数的单调递增区间为,则的最小值为( )
A. B.2 C.1 D.
【答案】A
【解析】由单调递增区间为,得到对称轴方程,即,再根据基本不等式求出的最小值,得到答案.
【详解】
因为函数的单调递增区间为
所以对称轴为:,即,
所以
,
当且仅当时,等号成立.
故选:A.
【点睛】
本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系,基本不等式求和的最小值,属于简单题.
10.已知 则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用倍角公式,结合函数名的转换求解.
【详解】
,
,故选C.
【点睛】
本题主要考查三角函数的给值求值问题,首先从角入手,寻求已知角和所求角的关系,再利用三角恒等变换公式求解.
11.如图,在三角形中,上有一点满足,将沿折起使得,若平面分别交边,,,于点,,,,且平面,平面则当四边形对角线的平方和取最小值时,( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易得,,设,易得,,得,从而得到,,平行四边形中,,从而得到最小时的值,得到答案.
【详解】
平面,平面,
平面平面,
所以,同理
设,
平面,平面,
平面平面,
所以,同理
所以,
因为,
所以,,
在平行四边形中,
,
又,
当时,取得最小值.
故选:B.
【点睛】
本题考查线面平行证明线线平行,平行四边形对角线的性质,二次函数求最值,属于中档题.
12.定义在上的函数满足,,任意的,函数在区间上存在极值点,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据得到周期为,再求得,得到,求导得到,判断出的两根一正一负,则在区间上存在极值点,且,得到在上有且只有一个根,从而得到关于的不等式组,再根据二次函数保号性,得到关于不等式组,解得的范围.
【详解】
由题意知,,
,
所以是以4为周期的函数,
,
所以,
求导得,
令,,
,
由,
知有一正一负的两个实根.
又,
根据在上存在极值点,
得到在上有且只有一个正实根.
从而有,即恒成立,
又对任意,上述不等式组恒成立,
进一步得到
所以
故满足要求的的取值范围为:.
故选:C.
【点睛】
本题考查函数的周期性的应用,根据函数的极值点求参数的范围,二次函数根的分布和保号性,属于中档题.
二、填空题
13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,,,,,则________.
【答案】
【解析】将转化为,从而得到的坐标,然后根据向量数量积的坐标运算,得到答案.
【详解】
因为,所以,
所以,
所以.
故答案为:.
【点睛】
本题考查向量线性运算的坐标表示,数量积的坐标表示,属于简单题.
14.已知x,y满足不等式组,则的最小值为________.
【答案】
【解析】根据约束条件,画出可行域,将目标函数看成点与点两点连线的斜率,从而得到斜率的最小值,得到答案.
【详解】
因为已知x,y满足不等式组,
画出可行域,如图所示,
表示点与点两点连线的斜率,
所以可得当直线过点时,最小,
由得
所以的最小值为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值,属于简单题.
15.如图,底面为正方形,四边形为直角梯形,,平面,,,则异面直线与所成的角为________.
【答案】
【解析】设正方形的中心为,可得,得到直线与所成角为(或其补角),根据余弦定理,可得的值,从而得到答案.
【详解】
如图,
设正方形的中心为,连接,,
则
因为,
所以,
所以为平行四边形,
所以,
所以直线与所成角等于与所成的角,即(或其补角),
因为,
在三角形中,根据余弦定理,可知,
所以.
故答案为:.
【点睛】
本题考查求异面直线所成的角的大小,属于简单题.
16.已知函数在区间上有最小值,无最大值,则________.
【答案】
【解析】先对进行整理,得到,根据最小值,得到,然后根据在区间无最大值,得到周期的范围,从而得到的范围,确定出的值.
【详解】
,
依题意,则,
所以.
因为在区间上有最小值,无最大值,
所以,即,
令,得.
故答案为:.
【点睛】
本题考查二倍角公式,辅助角公式化简,根据正弦型函数的最值和周期求参数的值,属于中档题.
三、解答题
17.已知递增的等比数列的前n项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)根据等比数列,解出和的值,从而得到公比,得到的通项公式;(2)根据(1)得到,再利用错位相减法和分组求和的方法求出的前n项和.
【详解】
(1)由题意,
解得或;
而等比数列递增,所以,
故公比,所以.
(2)由(1)得到…,
所以,
……,
设…,
…,
两式相减可得,…
故,
所以.
【点睛】
本题考查等比数列通项基本量的计算,分组求和的方法,错位相减法求数列的前项的和,属于简单题.
18.已知函数在区间上为单调递减函数.
(1)求的最大值;
(2)当时,方程有三个实根,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)先求得,根据在区间上为减函数,得到在区间上恒成立,从而得到关于,的约束条件,画出可行域,利用线性规划,得到的最大值;(2)根据,得到的范围,设,求导得到,令得到或,从而得到的极值点,根据有个零点,得到的不等式组,解得的范围.
【详解】
(1),
因为在区间上为减函数,
所以在区间上恒成立
即,
画出可行域如图所示:
设,所以,
表示直线,在纵轴上的截距.
当直线经过点时,最大,
由
所以,
故的最大值为.
(2)由得
代入
可得,
令
,
故由,
得或,
所以得到和随x的变化情况如下表:
极大值
极小值
要使有三个零点,
故需
即
解得,
而
所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点,根据函数的单调性求参数的取值范围,根据函数零点个数求参数的取值范围,属于中档题.
19.已知的内角,,所对的边分别为, ,满足,且边上一点使得.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的面积.
【答案】(1);(2)
【解析】根据正弦定理,将边化成角,然后整理化简,得到的值,从而得到的值;(2)根据条件得到为等边三角形,从而得到,根据正弦定理,得到的值,根据余弦定理,得到的长,根据三角形面积公式,得到答案.
【详解】
(1)因为
在,由正弦定理
所以得.
所以.
即
所以,
因为,所以
(2)由(1)知,而
为等边三角形.
由于是的外角,
所以.
在中,由正弦定理得,
即,所以.
所以由余弦定理得,,
即,
所以,
故,,
所以.
【点睛】
本题考查正弦定理的边角互化,正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面积公式,属于简单题.
20.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,且为的中点,延长交
于点,且在底内的射影恰为的中点,为的中点,为上任意一点.
(1)证明:平面平面;
(2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)根据平面ABCD,得到,由平面几何知识得到,从而得到平面,所以所以平面平面;(2)以为原点建立空间直角坐标系,得到平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式,得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值.
【详解】
(1)由题意,E为CD的中点,
因为平面ABCD,平面ABCD,
所以,又因为,
,,
所以垂直平分,
所以
又因,
所以为正方形,
所以
因为为的中点,
所以
而,所以,
又,所以平面,
又平面,
所以平面平面.
(2)因为在底面ABCD内的射影恰为OA的中点H,
所以.
因为,所以过点O分别作AD,AB的平行线(如图),
并以它们分别为x,y轴,
以过O点且垂直于平面的直线为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,,,,,
所以,,
设平面的一个法向量为,
则,所以
令,则,
由(1)知,平面,所以平面,
所以为平面的一个法向量,
则.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定和性质,面面垂直的判定,利用空间向量求二面角的余弦值,属于中档题.
21.已知函数与满足的函数具有相同的对称中心.
(1)求的解析式;
(2)当,期中,是常数时,函数是否存在最小值若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由;
(3)若,求的最小值.
【答案】(1);(2)(3)
【解析】(1)根据关于对称,从而得到,整理化简,得到的值;(2)判断出的单调性,得到当时,单调递减,从而得到最小值;(3)由得到,关系,然后将代入到,利用基本不等式,得到其最小值.
【详解】
(1)因为,所以,
所以图象关于对称,
所以
所以
解得,
所以.
(2)的定义域为,
,
当且时,为减函数,
所以当时,单调递减,
所以当时,.
(3)由,
得
解得,
所以
令,则,
当且仅当时,等号成立,
即当,时,的最小值为.
【点睛】
本题考查根据函数的对称性求参数的值,根据函数的单调性求最值,基本不等式求和的最小值,属于中档题.
22.已知函数,函数的图象经过,其导函数的图象是斜率为,过定点的一条直线.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,不等式恒成立,求整数的最小值.
【答案】(1)当时,在上为减函数;
当时,在上为减函数,在上为增函数.
(2)2
【解析】对求导,得到,按和进行分类讨论,利用导函数的正负,得到的单调性;(2)根据题意先得到,然后得到的解析式,设,按和分别讨论,利用得到的单调性和最大值,然后研究其最大值恒小于等于时,整数的最小值.
【详解】
(1)函数的定义域是,,
当时,,所以在上为减函数,
当时,令,则,
当时,,为减函数,
当时,,为增函数,
综上,当时,在上为减函数;
当时,在上为减函数,在上为增函数.
(2)根据题意,,
设,代入,可得,
令,
所以.
当时,因为,所以.
所以在上是单调递增函数,
又因为,
所以关于x的不等式不能恒成立.
当时,,
令,得.
所以当时,;
当时,,
因此函数在上是增函数,在上是减函数.
故函数的最大值为.
令,因为,
又因为在上是减函数.
所以当时,.
所以整数的最小值为.
【点睛】
本题考查函数与方程的应用,利用导数研究函数的单调区间、极值和最值,根据导函数的解析式求原函数的解析式,利用导数研究不等式恒成立问题,涉及分类讨论的思想,题目比较综合,属于难题.
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