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  • 2021-07-01 发布

2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学(理)试题(解析版)

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‎2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学(理)试题 一、单选题 ‎1.复数的模为( )‎ A.1 B. C. D.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】对复数进行计算化简,然后根据复数的模长公式,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,‎ ‎,‎ 所以.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的四则运算,求复数的模长,属于简单题.‎ ‎2.集合,,则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】对集合进行化简,然后根据集合的补集运算,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎,‎ 因为集合 所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解对数不等式,一元二次不等式,集合的补集运算,属于简单题.‎ ‎3.已知向量,则实数是的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】先求出,然后分别判断由能否得到,和由能否得到,从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为向量,所以 因为,所以可得,‎ 所以是的充分条件.‎ 因为,所以 即.‎ 所以是的不必要条件.‎ 综上所述,实数是的充分而不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据向量的坐标求向量的模长,判断充分而不必要条件,属于简单题.‎ ‎4.已知函数,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】按和,分别解不等式,从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,,‎ 由不等式 得或 所以或.‎ 即 所以不等式的解集为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解分段函数不等式,解对数不等式,属于简单题.‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ ‎ ‎ 正视图 侧视图 ‎ ‎ 俯视图 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三视图还原出几何体的直观图,将几何体分为三棱锥和三棱锥两部分,根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高,求出几何体的体积.‎ ‎【详解】‎ 该几何体的直观图如下图,‎ 平面平面,平面,‎ 与均是边长为的等边三角形,,‎ 点在平面上的射影落在的平分线上,‎ 所以平面,‎ 所以,‎ ‎,‎ 所以几何体的体积为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图还原结合体,根据三视图求几何体的体积,属于中档题.‎ ‎6.函数的图象在点处的切线与函数的图象围成的封闭图形的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】对求导,利用导数的几何意义,求出切线方程,然后求出切线与的交点坐标,利用定积分求出围成的封闭图形的面积,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,,‎ ‎,‎ 所以切线方程为,‎ 与的交点横坐标为,.‎ 故封闭图形的面积 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程,定积分求封闭图形的面积,属于中档题.‎ ‎7.已知数列满足,,设数列的前n项和为,若,则与最接近的整数是( )‎ A.5 B.4 C.2 D.1‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据递推关系式,得到,得到的通项,从而得到的通项和前项和,从而求出,再得到,从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,,‎ 所以,‎ 所以为以为首项,为公比的等比数列,‎ 所以,‎ 因此,‎ 数列的前n项和为,‎ ‎,‎ 所以.‎ 所以与最接近的整数是.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查构造法求数列的通项,等差数列前项和公式,裂项相消法求数列的和,属于中档题.‎ ‎8.已知函数,若函数有两个零点,则实数m的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出的图像,然后得到的图像和的图像有两个交点,从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 根据函数,‎ 画出的图象如图所示,‎ 函数有两个零点 则函数的图象与的图象有2个交点,‎ 所以,‎ 所以实数的取值范围为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查画分段函数的图像,函数与方程,属于简单题.‎ ‎9.如果函数的单调递增区间为,则的最小值为( )‎ A. B.2 C.1 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由单调递增区间为,得到对称轴方程,即,再根据基本不等式求出的最小值,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的单调递增区间为 所以对称轴为:,即,‎ 所以 ‎,‎ 当且仅当时,等号成立.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系,基本不等式求和的最小值,属于简单题.‎ ‎10.已知 则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用倍角公式,结合函数名的转换求解.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的给值求值问题,首先从角入手,寻求已知角和所求角的关系,再利用三角恒等变换公式求解.‎ ‎11.如图,在三角形中,上有一点满足,将沿折起使得,若平面分别交边,,,于点,,,,且平面,平面则当四边形对角线的平方和取最小值时,( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】易得,,设,易得,,得,从而得到,,平行四边形中,,从而得到最小时的值,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 平面,平面,‎ 平面平面,‎ 所以,同理 设,‎ 平面,平面,‎ 平面平面,‎ 所以,同理 所以,‎ 因为,‎ 所以,,‎ 在平行四边形中,‎ ‎,‎ 又,‎ 当时,取得最小值.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行证明线线平行,平行四边形对角线的性质,二次函数求最值,属于中档题.‎ ‎12.定义在上的函数满足,,任意的,函数在区间上存在极值点,则实数m的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据得到周期为,再求得,得到,求导得到,判断出的两根一正一负,则在区间上存在极值点,且,得到在上有且只有一个根,从而得到关于的不等式组,再根据二次函数保号性,得到关于不等式组,解得的范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意知,,‎ ‎,‎ 所以是以4为周期的函数,‎ ‎,‎ 所以,‎ 求导得,‎ 令,,‎ ‎,‎ 由,‎ 知有一正一负的两个实根.‎ 又,‎ 根据在上存在极值点,‎ 得到在上有且只有一个正实根.‎ 从而有,即恒成立,‎ 又对任意,上述不等式组恒成立,‎ 进一步得到 所以 故满足要求的的取值范围为:.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的周期性的应用,根据函数的极值点求参数的范围,二次函数根的分布和保号性,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,,,,,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将转化为,从而得到的坐标,然后根据向量数量积的坐标运算,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量线性运算的坐标表示,数量积的坐标表示,属于简单题.‎ ‎14.已知x,y满足不等式组,则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据约束条件,画出可行域,将目标函数看成点与点两点连线的斜率,从而得到斜率的最小值,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为已知x,y满足不等式组,‎ 画出可行域,如图所示,‎ 表示点与点两点连线的斜率, ‎ 所以可得当直线过点时,最小,‎ 由得 所以的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值,属于简单题.‎ ‎15.如图,底面为正方形,四边形为直角梯形,,平面,,,则异面直线与所成的角为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正方形的中心为,可得,得到直线与所成角为(或其补角),根据余弦定理,可得的值,从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图,‎ 设正方形的中心为,连接,,‎ 则 因为,‎ 所以,‎ 所以为平行四边形,‎ 所以,‎ 所以直线与所成角等于与所成的角,即(或其补角),‎ 因为,‎ 在三角形中,根据余弦定理,可知,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求异面直线所成的角的大小,属于简单题.‎ ‎16.已知函数在区间上有最小值,无最大值,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先对进行整理,得到,根据最小值,得到,然后根据在区间无最大值,得到周期的范围,从而得到的范围,确定出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 依题意,则,‎ 所以.‎ 因为在区间上有最小值,无最大值,‎ 所以,即,‎ 令,得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式,辅助角公式化简,根据正弦型函数的最值和周期求参数的值,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知递增的等比数列的前n项和为,,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)根据等比数列,解出和的值,从而得到公比,得到的通项公式;(2)根据(1)得到,再利用错位相减法和分组求和的方法求出的前n项和.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,‎ 解得或;‎ 而等比数列递增,所以,‎ 故公比,所以.‎ ‎(2)由(1)得到…,‎ 所以,‎ ‎……,‎ 设…,‎ ‎…,‎ 两式相减可得,…‎ 故,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项基本量的计算,分组求和的方法,错位相减法求数列的前项的和,属于简单题.‎ ‎18.已知函数在区间上为单调递减函数.‎ ‎(1)求的最大值;‎ ‎(2)当时,方程有三个实根,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)先求得,根据在区间上为减函数,得到在区间上恒成立,从而得到关于,的约束条件,画出可行域,利用线性规划,得到的最大值;(2)根据,得到的范围,设,求导得到,令得到或,从而得到的极值点,根据有个零点,得到的不等式组,解得的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1),‎ 因为在区间上为减函数,‎ 所以在区间上恒成立 即,‎ 画出可行域如图所示:‎ 设,所以,‎ 表示直线,在纵轴上的截距.‎ 当直线经过点时,最大,‎ 由 所以,‎ 故的最大值为.‎ ‎(2)由得 代入 可得,‎ 令 ‎,‎ 故由,‎ 得或,‎ 所以得到和随x的变化情况如下表:‎ 极大值 极小值 要使有三个零点,‎ 故需 即 解得,‎ 而 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点,根据函数的单调性求参数的取值范围,根据函数零点个数求参数的取值范围,属于中档题.‎ ‎19.已知的内角,,所对的边分别为, ,满足,且边上一点使得.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,,求的面积.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】根据正弦定理,将边化成角,然后整理化简,得到的值,从而得到的值;(2)根据条件得到为等边三角形,从而得到,根据正弦定理,得到的值,根据余弦定理,得到的长,根据三角形面积公式,得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为 在,由正弦定理 所以得.‎ 所以.‎ 即 所以,‎ 因为,所以 ‎(2)由(1)知,而 为等边三角形.‎ 由于是的外角,‎ 所以.‎ 在中,由正弦定理得,‎ 即,所以.‎ 所以由余弦定理得,,‎ 即,‎ 所以,‎ 故,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理的边角互化,正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面积公式,属于简单题.‎ ‎20.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,且为的中点,延长交 于点,且在底内的射影恰为的中点,为的中点,为上任意一点.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)‎ ‎【解析】(1)根据平面ABCD,得到,由平面几何知识得到,从而得到平面,所以所以平面平面;(2)以为原点建立空间直角坐标系,得到平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式,得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,E为CD的中点,‎ 因为平面ABCD,平面ABCD,‎ 所以,又因为,‎ ‎,,‎ 所以垂直平分,‎ 所以 又因,‎ 所以为正方形,‎ 所以 因为为的中点,‎ 所以 而,所以,‎ 又,所以平面,‎ 又平面,‎ 所以平面平面.‎ ‎(2)因为在底面ABCD内的射影恰为OA的中点H,‎ 所以.‎ 因为,所以过点O分别作AD,AB的平行线(如图),‎ 并以它们分别为x,y轴,‎ 以过O点且垂直于平面的直线为z轴,‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 所以,,,,,‎ 所以,,‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则,所以 令,则,‎ 由(1)知,平面,所以平面,‎ 所以为平面的一个法向量,‎ 则.‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的判定和性质,面面垂直的判定,利用空间向量求二面角的余弦值,属于中档题.‎ ‎21.已知函数与满足的函数具有相同的对称中心.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)当,期中,是常数时,函数是否存在最小值若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)若,求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)(3)‎ ‎【解析】(1)根据关于对称,从而得到,整理化简,得到的值;(2)判断出的单调性,得到当时,单调递减,从而得到最小值;(3)由得到,关系,然后将代入到,利用基本不等式,得到其最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为,所以,‎ 所以图象关于对称,‎ 所以 所以 解得,‎ 所以.‎ ‎(2)的定义域为,‎ ‎,‎ 当且时,为减函数,‎ 所以当时,单调递减,‎ 所以当时,.‎ ‎(3)由,‎ 得 解得,‎ 所以 令,则,‎ 当且仅当时,等号成立,‎ 即当,时,的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的对称性求参数的值,根据函数的单调性求最值,基本不等式求和的最小值,属于中档题.‎ ‎22.已知函数,函数的图象经过,其导函数的图象是斜率为,过定点的一条直线.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当时,不等式恒成立,求整数的最小值.‎ ‎【答案】(1)当时,在上为减函数;‎ 当时,在上为减函数,在上为增函数.‎ ‎(2)2‎ ‎【解析】对求导,得到,按和进行分类讨论,利用导函数的正负,得到的单调性;(2)根据题意先得到,然后得到的解析式,设,按和分别讨论,利用得到的单调性和最大值,然后研究其最大值恒小于等于时,整数的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数的定义域是,,‎ 当时,,所以在上为减函数,‎ 当时,令,则,‎ 当时,,为减函数,‎ 当时,,为增函数,‎ 综上,当时,在上为减函数;‎ 当时,在上为减函数,在上为增函数.‎ ‎(2)根据题意,,‎ 设,代入,可得,‎ 令,‎ 所以.‎ 当时,因为,所以.‎ 所以在上是单调递增函数,‎ 又因为,‎ 所以关于x的不等式不能恒成立.‎ 当时,,‎ 令,得.‎ 所以当时,;‎ 当时,,‎ 因此函数在上是增函数,在上是减函数.‎ 故函数的最大值为.‎ 令,因为,‎ 又因为在上是减函数.‎ 所以当时,.‎ 所以整数的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程的应用,利用导数研究函数的单调区间、极值和最值,根据导函数的解析式求原函数的解析式,利用导数研究不等式恒成立问题,涉及分类讨论的思想,题目比较综合,属于难题.‎