河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测数学（理）试题 12页

河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试题卷 本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.‎ 第I卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合 题目要求.‎ ‎1. 复数z1=3+i，z2 =1-i则z=的共轭复数在复平面内的对应点位于 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2. 若-，，则角θ的终边所在的直线为 A. 7x+24y=0 B. 7x-24y=0‎ C. 24x+7y=0 D.24x-7y=0‎ ‎3_在数列{an}中，an+1=can(c;为非零常数），前n项和为Sn= 3n+k,则实数k为 ‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ ‎4. 设a,β分别为两个不同的平面，直线la，则“l丄β”是“a丄β成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5. 若，则a，b，c的大小关系为 A. c>b>a B. b>c>a C. a>b>c D. b>a>c ‎6. 已知函数f(x)的导函数为,且满足,则 =‎ A. 1 B. —‎1 ‎C. –e-1 D. —e ‎7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 ‎8. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的 项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎9. 如图所示,F‎1 F2是双曲线（a>0,b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支 的两个交点分别为A，B,且ΔF2AB是等边三角形，则双曲线的 离心率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10. 函数f(x)=axm(1-x)2在区间[0，1]上的图象 如图所示，则m的值可能是 A. 1 B.2‎ C. 3 D.4‎ ‎11. 设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的工都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组’则m2+n2的取值范围是 A. (3,7) B. (9,25) C. (13,49) D. (9,49)‎ ‎12. 已知函数，则方程所有根的和为 A. 0 B. C . D. ‎ 第II卷 本卷包括必考題和选考題两部分.第13题〜第21題为必考题，第22题〜24题为选考 題.考生根据要求作答.‎ 二、填空題:本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.等差数列{an}的前7项和等于前2项和，若a1=1,ak+a4=0，则k=______.‎ ‎14. 已知O为坐标原点，点M(3,2),若N(x,y)满足不等式组则的最大值为______.‎ ‎15.已知不等式，若对任意x∈[l,2],且y∈[2,3],该不等式恒成立,则 实数a的取值范围是______.‎ ‎16.过点M(2，-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B,若线段AB的中 点纵坐标为6,则p的值是______.‎ 三、解答题:解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分12分）‎ 如图所示,一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以‎50 公里/小时的速度勻速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方 向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公 里，距离公路线的垂直距离为‎3公里的M点的地方有一个 人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车 的人至少以多大的速度勻速行驶才能实现他的愿望，此时 他驾驶摩托车行驶了多少公里？‎ ‎18. (本小题满分12分）‎ 每年的三月十二日，是中国的植树节.林管部门在植树前，为 保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批 树苗中各抽测了 10株树苗的高度，规定高于‎128厘米的为“良种 树苗”,测得高度如下(单位:厘米）‎ 甲：137，121,131，120,129，119,132，123,125,133‎ 乙：110,130,147,127,146,114，126,110,144，146‎ ‎(I)根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写 的茎叶图，对甲、乙两批树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度 的统计结论；‎ ‎(II)设抽测的10株甲种树苗髙度平均值为将这10株树 苗的高度依次输人按程序框图进行运算，（如图）问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；‎ ‎(III)若小王在甲批树苗中随机领取了 5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布， 求小王领取到的“良种树苗”株数x的分布列.‎ ‎19. (本小题满分12分）‎ 如图，正三棱柱ABC-A1B‎1C1的所有棱长都为2，‎ ‎(I)当λ=时,求证AB1丄平面A1BD;‎ ‎(II)当二面角A—A1D—B的大小为-时,求实数λ的值.‎ ‎20. (本小题满分12分）‎ 已知椭圆C: 的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切.‎ ‎(I)求曲线D的方程；‎ ‎(II)设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的ΔAPM?①点M在椭圆C上;②点O为ΔAPM的重心.若存在，求出点P的坐标；若不存在,说明理由.（若三角形 ABC的三点坐标为A(x1，y1),B(x2,y2),C(x3，y3)，则其重心G的坐标为，))‎ ‎21. (本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)=lnx与g(x)=kx+b(k,b∈R)的图象交于P，Q两点，曲线y=f(x)在P，Q两点处的切线交于点A.‎ ‎(I)当k = e，b=-3时,求f(x) — g(x)的最大值(e为自然常数）‎ ‎(II)若|，求实数k，b的值.‎ 选做题(本小题满分10分，请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用铅笔在对应 方框中涂黑）‎ ‎22.选修4—1:几何证明选讲 如图，已知0和M相交于A、B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C,点G为弧BD中点，连结 AG分别交0、BD于点E、F，连结CE.‎ ‎(I）求证:AG·EF=CE·GD；‎ ‎(II)求证：‎ ‎23. 选修4一4:坐标系与参数方程 已知直线C1: ’（t为参数），曲线C2: (θ为参数).‎ ‎(I)当a=时,求C1与C2的交点坐标；‎ ‎(II)过坐标原点0作C1的垂线,垂足为A,P为OA中点，当a变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.‎ ‎24. 选修4一5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x—a|‎ ‎(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；‎ ‎(II)在（I)的条件下,若f(x)+f(x + 5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎2013年高中毕业年级第二次质量预测 数学（理科） 参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ DDAA BCCD BACC 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎ 13．6；14．12；15．；16．1或2．‎ 三、解答题 ‎17．解:作垂直公路所在直线于点,则,‎ ‎ ――――2分 设骑摩托车的人的速度为公里/小时,追上汽车的时间为小时 由余弦定理: ――――6分 ‎-――――8分 当时,的最小值为,其行驶距离为公里――――11分 故骑摩托车的人至少以公里/时的速度行驶才能实现他的愿望, 他驾驶摩托车行驶了公里. ――――12分 ‎18．解: （Ⅰ）茎叶图略. ―――2分 统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ‎ ‎②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;‎ ‎③甲种树苗的中位数为，乙种树苗的中位数为;‎ ‎④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，‎ 乙种树苗的高度分布较为分散. ―――4分（每写出一个统计结论得1分）‎ ‎（Ⅱ）――――6分 表示株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.‎ 值越小，表示长得越整齐，值越大，表示长得越参差不齐．――――8分 ‎（Ⅲ）由题意，领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为，则―――10分 ‎ ‎ 所以随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ ――――12分 ‎19.解：（Ⅰ）取的中点为，连结 在正三棱柱中面面，‎ ‎ 为正三角形，所以，‎ ‎ 故平面．‎ ‎ 以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，――――2分 ‎ 则，，，，．‎ ‎ 所以，，，‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，又，‎ ‎ 所以平面． ――――－6分 ‎ （Ⅱ）由⑴得，所以，，，‎ ‎ 设平面的法向量，平面的法向量，‎ ‎ 由得平面的一个法向量为，‎ ‎ 同理可得平面的一个法向量，‎ ‎ 由，解得，为所求．――――12分 ‎20．解：（Ⅰ）设，由题知，所以以为直径的圆的圆心，‎ ‎ 则，‎ ‎ 整理得，为所求． ――――4分 ‎（Ⅱ）不存在，理由如下： ――――5分 若这样的三角形存在，由题可设，由条件①知，‎ 由条件②得，又因为点，‎ 所以即，故，――――9分 解之得或（舍），‎ 当时，解得不合题意，‎ 所以同时满足两个条件的三角形不存在． ――――12分 ‎21、解：（Ⅰ）设，‎ ‎ 则， ――――1分 ‎ 当时，，此时函数为增函数；‎ ‎ 当时，，此时函数为减函数．‎ ‎ 所以，为所求． ――――4分 ‎（Ⅱ）设过点的直线与函数切于点，则其斜率，‎ ‎ 故切线， ‎ 将点代入直线方程得：‎ ‎ ，即，――――7分 ‎ 设，则，‎ ‎ 当时，，函数为增函数；‎ 当时，，函数为减函数．‎ 故方程至多有两个实根， ――――10分 又，所以方程的两个实根为和，‎ 故，所以为所求．――――12分 ‎22．证明：（Ⅰ）连结AB、AC，∵AD为⊙M的直径，‎ ‎∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠CEF＝∠AGD=90°. ――――2分 ‎∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GAB=∠ECF. ――――4分 ‎∴△CEF∽△AGD ∴， ∴AG·EF = CE·GD ――――6分 ‎（Ⅱ）由⑴知∠DAG=∠GAB=∠FDG，∠G=∠G，‎ ‎∴△DFG∽△AGD， ∴DG2=AG·GF. ――――8分 由⑴知，∴ ――――10分 ‎23．解：（Ⅰ）当时，C1的普通方程为，C2的普通方程为，‎ 联立方程组，解得C1与C2的交点坐标为（1，0），．――――5分 ‎（Ⅱ）C1的普通方程为，A点坐标为，‎ 故当变化时，P点轨迹的参数方程为（为参数）‎ P点轨迹的普通方程为．‎ 故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．――――10‎ ‎24．解：（Ⅰ）由得，解得．‎ 又已知不等式的解集为，所以，解得.――――4分 ‎（Ⅱ）当时，，设，‎ 于是 ‎　　　　　　　　　　　　　――――6分 所以当时，； 当时，； 当时，．‎ 综上可得，的最小值为5．――――9分 从而若，即对一切实数恒成立，‎ 则的取值范围为（-∞，5]．――――10分