高中数学必修1示范教案（2_2 函数的表示法 第3课时） 9页

第3课时 映射 导入新课 思路1.复习初中常见的对应关系 ‎1.对于任何一个实数a,数轴上都有唯一的点P和它对应.‎ ‎2.对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应.‎ ‎3.对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应.‎ ‎4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的坐位与它对应.‎ ‎5.函数的概念.‎ 我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射(板书课题).‎ 思路2.前面学习了函数的概念是:一般地,设A,B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应.‎ ‎(1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应.‎ ‎(2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应.‎ ‎(3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应.‎ 那么这些对应又有什么特点呢？‎ 这种对应称为映射.引出课题.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎①给出以下对应关系:‎ 图1-2-2-20‎ 这三个对应关系有什么共同特点？‎ ‎②像问题①中的对应我们称为映射,请给出映射的定义？‎ ‎③“都有唯一”是什么意思？‎ ‎④函数与映射有什么关系？‎ 讨论结果：①集合A、B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.‎ ‎②一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f:A→B”.‎ 如果集合A中的元素x对应集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫集合A中的元素x的象.‎ ‎③包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一或多对一.‎ ‎④函数是特殊的映射,映射是函数的推广.‎ 应用示例 思路1‎ ‎1.下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？‎ ‎(1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;‎ ‎(2)A={P|P是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;‎ ‎(3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;‎ ‎(4)A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.‎ 活动：学生思考映射的定义.判断一个对应是否是映射,要紧扣映射的定义.‎ ‎(1)中数轴上的点对应着唯一的实数;‎ ‎(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对;‎ ‎(3)中每一个三角形都有唯一的内切圆;‎ ‎(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生.‎ 解：(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;‎ ‎(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义.‎ 变式训练 ‎1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？‎ 图1-2-2-21‎ 答案：(1)不是;(2)是;(3)是;(4)是.‎ ‎2.在图1-2-2-22中的映射中,A中元素60°的对应的元素是什么？在A中的什么元素与B中元素对应？‎ 图1-2-2-22‎ 答案：A中元素60°的对应的元素是,在A中的元素45°与B中元素对应.‎ 思路2‎ ‎1.下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么？‎ ‎(1)A=R,B={x∈R|x≥0},对应法则是“求平方”;‎ ‎(2)A=R,B={x∈R|x>0},对应法则是“求平方”;‎ ‎(3)A={x∈R|x>0},B=R,对应法则是“求平方根”;‎ ‎(4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.‎ 活动：学生回顾映射的对应,教师适时点拨或提示.判断一个对应是否是映射,关键是确定是否是“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.‎ 解：(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应.‎ ‎(2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应的元素.‎ ‎(3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应.‎ ‎(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应.‎ 点评：本题主要考查映射的概念.给定两集合A、B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”,“一对一”,“一对多”,前两种对应是A到B的映射,而后一种不是A到B的映射.‎ 变式训练 ‎1.设集合A={a,b,c},集合B=R,以下对应关系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是( )‎ A.对集合A中的数开平方 B.对集合A中的数取倒数 C.对集合A中的数取算术平方根 D.对集合A中的数立方 分析:当a<0时,对a开平方或取算术平方根均无意义,则A、C错;当a=0时,对a取倒数无意义,则B错;由于对任何实数都能立方,并且其立方仅有一个,所以对集合A中的数立方能建立映射,故选D.‎ 答案：D ‎2.设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y),求:‎ ‎(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素;‎ ‎(2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应？‎ 分析:这是一个映射的问题,由于A中元素(x,y)对应B中元素为(x-y,x+y),确定了对应法则,转化为解方程组.‎ 解：(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2),‎ 即(-3,1).‎ ‎(2)设A中元素(x,y)与B中元素(-1,2)对应,‎ 则 解得 所以A中元素(,)与B中元素(-1,2)对应.‎ ‎2.2007山东德州二模,理5设映射f:x→-x2+2x是实数集R=M到实数集R=N的映射,‎ 若对于实数p∈N,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是( )‎ A.(1,+∞) B.［1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1］‎ 活动：让学生思考:若对于实数p∈N,在M中不存在原象,与函数f(x)=-x2+2x有什么关系?若对于实数p∈N,在M中不存在原象是指实数p表示函数f(x)=-x2+2x值域中的元素,转化为求函数f(x)=-x2+2x,x∈R的值域.集合M是函数f(x)=-x2+2x的定义域,集合N是函数f(x)=-x2+2x的值域.‎ 解：(方法一)由于集合M,N都是数集,‎ 则映射f:x→-x2+2x就是函数f(x)=-x2+2x,其定义域是M=R,‎ 则有值域Q={y|y≤1}N=R.对于实数p∈N,在M中不存在原象,‎ 则实数p的取值范围是Q=Q={y|y>1},即p的取值范围是(1,+∞);‎ ‎(方法二)当p=0时,方程-x2+2x=0有解x=0,2,‎ 即在M中存在原象0和2,‎ 则p=0不合题意,排除C,D;‎ 当p=1时,方程-x2+2x=1有解x=1,‎ 即在M中存在原象1,‎ 则p=1不合题意,‎ 排除B.‎ 答案：A 点评：本题主要考查映射的概念和函数的值域,以及综合应用知识解决问题的能力.解决本题的关键是转化思想的应用.把映射问题转化为函数的值域问题,进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集.其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度.‎ 变式训练 设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):‎ 表1 映射f的对应法则 原象 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 象 ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ 表2 映射g的对应法则 原象 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 象 ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ 则与f［g(1)］相同的是( )‎ A.g［f(1)］ B.g［f(2)］ C.g［f(3)］ D.g［f(4)］‎ 分析:f(a)表示在对应法则f下a对应的象,g(a)表示在对应法则g下a对应的象.‎ 由表1和表2,得f［g(1)］=f(4)=1,g［f(1)］=g(3)=1,g［f(2)］=g(4)=2,g［f(3)］=g(2)=3,g［f(4)］=g(1)=4,‎ 则有f［g(1)］=g［f(1)］=1,‎ 故选A.‎ 答案：A 知能训练 ‎1.下列对应是从集合S到T的映射的是( )‎ A.S=N,T={-1,1},对应法则是(-1)n,n∈S B.S={0,1,4,9},T={-3,-2,-1,0,1,2,3},对应法则是开平方 C.S={0,1,2,5},T={,},对应法则是取倒数 D.S={x|x∈R},T={y|y∈R},对应法则是x→y=分析:判断映射方法简单地说应考虑A中的元素是否都可以受f作用,作用的结果是否一定在B中,作用的结果是否唯一这三个方面.很明显A符合定义;B是一对多的对应;C命题中的元素0没有象;D命题集合S中的元素1也无象.‎ 答案：A ‎2.已知集合M={x|0≤x≤6},P={y|0≤y≤3},则下列对应关系中不能看作从M到P的映射的是( )‎ A.f:x→y=x B.f:x→y=x C.f:x→y=x D.f:x→y=x 分析:选项C中,集合M中元素6没有象,其他均是映射.‎ 答案：C ‎3.已知集合A=N*,B={a|a=2n-1,n∈Z},映射f:A→B,使A中任一元素a与B中元素2a-1对应,则与B中元素17对应的A中元素是( )‎ A.3 B.5 C.17 D.9‎ 分析:利用对应法则转化为解方程.由题意得2a-1=17,解得a=9.‎ 答案：D ‎4.若映射f:A→B的象的集合是Y,原象的集合是X,则X与A的关系是;Y与B的关系是.‎ 分析:根据映射的定义,可知集合A中的元素必有象且唯一;集合B中的元素在集合A中不一定有原象.故象的集合是B的子集.所以X=A,YB.‎ 答案：X=A YB ‎5.已知集合M={a,b,c,d},P={x,y,z},则从M到P能建立不同映射的个数是.‎ 分析:集合M中有4个元素,集合P中有3个元素,则从M到P能建立34=81个不同的映射.‎ 答案：81‎ ‎6.下列对应哪个是集合M到集合N的映射？哪个不是映射？为什么？‎ ‎(1)设M={矩形},N={实数},对应法则f为矩形到它的面积的对应.‎ ‎(2)设M={实数},N={正实数},对应法则f为x→.‎ ‎(3)设M={x|0≤x≤100},N={x|0≤x≤100},对应法则f为开方再乘10.‎ 解：(1)是M到N的映射,因为它是一对一的对应.‎ ‎(2)不是映射,因为当x=0时,集合M中没有元素与之对应.‎ ‎(3)是映射,因为它是一对一的对应.‎ ‎7.设集合A和B都是自然数集,映射f:A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,则在映射f下,A中的元素_________对应B中的元素3.( )‎ A.1 B.3 C.9 D.11‎ 分析:对应法则为f:n→2n+n,根据选项验证2n+n=3,可得n=1.‎ 答案：A ‎8.已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},且a∈N,k∈N,x∈A,y∈B,映射f:A→B,使B中元素y=3x+1和A中元素x对应,求a及k的值.‎ 分析:先从集合A和对应法则f入手,同时考虑集合中元素的互异性.可以分析出此映射必为一一映射,再由3→10,求得a值,进而求得k值.‎ 解：∵B中元素y=3x+1和A中元素x对应,‎ ‎∴A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,即a4=10或a2+3a=10.‎ ‎∵a∈N,‎ ‎∴由a2+3a=10,得a=2.‎ ‎∵k的象是a4,‎ ‎∴3k+1=16,得k=5.‎ ‎∴a=2,k=5.‎ ‎9.A={(x,y)|x+y<3,x∈N,y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y,这个对应是否为映射？是否为函数？说明理由.‎ 解：是映射,不是函数.由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},显然对于A中的每一个有序实数对,它们的和是0或1或2,则在B中都有唯一一个数与它对应,所以是映射,因为集合A不是数集而是点集,所以不是函数.‎ 拓展提升 问题:集合M中有m个元素,集合N中有n个元素,则从M到N能建立多少个不同的映射？‎ 探究:当m=1,n=1时,从M到N能建立1=11个不同的映射;‎ 当m=2,n=1时,从M到N能建立1=12个不同的映射;‎ 当m=3,n=1时,从M到N能建立1=13个不同的映射;‎ 当m=2,n=2时,从M到N能建立4=22个不同的映射;‎ 当m=2,n=3时,从M到N能建立9=32个不同的映射.‎ 集合M中有m个元素,集合N中有n个元素,则从M到N能建立nm个不同的映射.‎ 课堂小结 本节课学习了:‎ ‎(1)映射的对应是一种特殊的对应,元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”.‎ ‎(2)映射由三个部分组成:集合A,集合B及对应法则f,称为映射的三要素.‎ ‎(3)映射中集合A,B中的元素可以为任意的.‎ 作业 课本P23练习4.‎ 补充作业:‎ 已知下列集合A到B的对应,请判断哪些是A到B的映射,并说明理由.‎ ‎(1)A=N,B=Z,对应法则f为“取相反数”;‎ ‎(2)A={-1,0,2},B={-1,0,},对应法则:“取倒数”;‎ ‎(3)A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则:“求平方根”;‎ ‎(4)A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},对应法则f:a→b=(a-1)2;‎ ‎(5)A=N+,B={0,1},对应法则:除以2所得的余数.‎ 答案：(1)、(2)不是映射,(3)、(4)、(5)是映射.‎ 设计感想 本节教学设计的内容拓展较深,在实际教学中根据学生实际选取例题和练习.本节重点设计了映射的概念,对于映射来说,只需要掌握概念即可,不要求拓展其内容,以免加重学生的负担,也偏离了课标要求和高考的方向.‎ 习题详解 ‎(课本P19练习)‎ ‎1.(1)要使分式有意义,需4x+7≠0,即x≠.所以这个函数的定义域是(-∞,)∪(,+∞);‎ ‎(2)要使根式有意义,需1-x≥0,且x+3≥0,‎ 即-3≤x≤1.‎ 所以这个函数的定义域是［-3,1］.‎ ‎2.(1)f(2)=28,f(-2)=-28,f(2)+f(-2)=0;‎ ‎(2)f(a)=3a3+2a,f(-a)=-3a3-2a,f(a)+f(-a)=0.‎ ‎3.(1)两个函数的对应法则相同,而表示导弹飞行高度与时间关系的函数y=500x-5x2是有实际背景的,这里x≥0;函数y=500x-5x2,x∈R,这两个函数的定义域不同,故这两个函数不相等.‎ ‎(2)函数g(x)=x0=1(x≠0)与函数f(x)=1,x∈R的对应法则相同,但定义域不同,所以不是相等的函数.已知函数解析式求函数值及不同变量的函数值的关系.‎ ‎(课本P23练习)‎ ‎1.设矩形一边长为xcm,则另一边长为=.由题意,得 y=x,x∈(0,50).‎ ‎2.图(A)与事件(2)、图(B)与事件(3)、图(D)与事件(1)吻合得最好.‎ 图(C)可叙述为:我出发后,为了赶时间,加速行驶,走了一段后,发现时间还早,于是放慢了速度.‎ ‎3.解析:由绝对值的知识,有f(x)=‎ 所以,f(x)=|x-2|的图象如下图所示.‎ 图1-2-2-23‎ ‎4.与A中元素60°对应的B中的元素是;与B中元素相对应的A中的元素是45°.‎ ‎(课本P24习题1.2)‎ A组 ‎1.(1)(-∞,4)∪(4,+∞).‎ ‎(2)R.‎ ‎(3)要使分式有意义,只需x2-3x+2≠0,即x≠1,且x≠2,‎ 所以这个函数的定义域是(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞).‎ ‎(4)要使函数有意义,只需即x≤4,且x≠1.所以这个函数的定义域是(-∞,1)∪(1,4］.‎ ‎2.(1)g(x)=-1=x-1,x≠0,该函数虽然与f(x)的对应关系相同,但是定义域不同,所以f(x)与g(x)不相等.‎ ‎(2)g(x)=()4=x2,x≥0,该函数虽然与f(x)的对应关系相同,但是定义域不同,所以f(x)与g(x)‎ 不相等.‎ ‎(3)g(x)==x2,x∈R,该函数与f(x)的对应关系相同,定义域相同,所以f(x)与g(x)相等.‎ ‎3.‎ ‎(1) (2)‎ ‎ ‎ x∈R,y∈R. x∈(-∞,0)∪(0,+∞),‎ ‎ y∈(-∞,0)∪(0,+∞). ‎ 图1-2-2-24 图1-2-2-25‎ ‎(3) (4)‎ ‎ ‎ x∈R,y∈R. x∈R,y∈［-2,+∞).‎ 图1-2-2-26 图1-2-2-27‎ ‎4.f()=8+5,f(-a)=3a2+5a+2,f(a+3)=3a2+13a+14;‎ f(a)+f(3)=3a2-5a+16.‎ ‎5.(1)点(3,14)不在f(x)的图象上;(2)f(4)=-3;(3)x=14.‎ ‎6.解析:由韦达定理知1+3=-b,1×3=c,‎ ‎∴b=-4,c=3.‎ ‎∴f(x)=x2-4x+3.‎ ‎∴f(-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8.‎ 答案：f(-1)=8.‎ ‎7.‎ ‎(1) (2)‎ ‎ ‎ 图1-2-2-28 图1-2-2-29‎ ‎8.y= x∈(0,+∞),y=l-x x∈(0,l),‎ y= x∈(0,d),l=2x+(x>0),l=2.‎ ‎9.由题意,可知容器内溶液高度为x的体积等于注入的溶液的体积,即π()2·x=vt,整理得x=·t.‎ 当容器注满时有π()2h=vt,得t=.‎ 所以该函数的定义域是t∈［0,］,值域是x∈［0,h］.‎ ‎10.共8个映射.‎ 图1-2-2-30‎ B组 ‎1.(1)［-5,0］∪［2,6);(2)［0,+∞);(3)［0,2)∪(5,+∞).‎ ‎2.‎ 图1-2-2-31‎ ‎(1)点(x,0)和(5,y),即纵坐标为0或横坐标为5的点不能在图象上.‎ ‎(2)略.‎ ‎3.略.‎ ‎4.(1)t=,x∈［0,12］;‎ ‎(2)t=≈3小时.‎