湖北省孝感市云梦县普通高中联考协作体2019-2020学年高一下学期线上考试数学试题 Word版含解析 22页

www.ks5u.com 数学试卷 注意事项：‎ ‎1.请考生务必将自己的姓名.准考证号.所在学校填（涂）在试题卷和答题卡上.‎ ‎2.考生答题时，选择题请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.‎ ‎3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.‎ 第Ⅰ卷选择题 一、选择题：每一小题只有一个选项正确 ‎1.若，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质以及特殊值法即可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A，由，所以，故A正确；‎ 对于B，若，，，显然不成立，故B不正确；‎ 对于C，当为负值时，若，则，故C不正确；‎ 对于D，当正值，为负值时，由，则为负值，为正值，故D不正确；‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了不等式的性质，需掌握不等式的性质，属于基础题.‎ ‎2.的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角差的正切公式即可求解.‎ - 22 -‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了两角差的正切公式，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎3.以下四个命题：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一平面的两条直线互相平行；③平行于同一直线的两个平面互相平行；④平行于同一平面的两个平面互相平行.其中，正确的是（ ）‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由空间中点、线、面的位置关系逐一核对四个命题可得答案.‎ ‎【详解】根据平行线间的传递性可知平行于同一直线的两条直线互相平行，故①正确；‎ 平行于同一平面的两条直线有三种可能的位置关系：平行、相交、异面，故②错误；‎ 平行于同一直线的两个平面有两种位置关系：平行、相交，故③错误；‎ 根据面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面互相平行，故④正确；‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了空间中点、线、面之间的位置关系，属于基础题.‎ ‎4.如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线）旋转而成，这个图形是（ ）‎ - 22 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据旋转体的形成过程即可得出选项.‎ ‎【详解】根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状，‎ 而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，‎ 分析四个选项，A项，旋转后圆台；‎ C项，旋转后圆台；D项，球体中挖去一个小球；‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了旋转体的形成过程，掌握旋转体的结构特征是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5.已知中，三边长分别为、、，则的面积是（ ）‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求出三角形中一个内角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求出其正弦值，根据三角形的面积公式即可求解.‎ ‎【详解】由、、，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎6.如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，将此三棱柱沿、、截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下几何体体积的比值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 首先利用相似比求出，再根据棱锥的高与棱柱的高相等，可求出，从而可得棱锥的体积与剩下几何体体积的比值.‎ ‎【详解】、分别为、中点，‎ ‎//，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 剩下几何体体积为，‎ 棱锥的体积与剩下几何体体积的比值是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了棱柱、棱锥的体积公式，需掌握柱体、锥体的体积公式，求三棱锥的体积可采用换顶点法求解，属于基础题.‎ ‎7.下列不等关系中，一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 对于A、B两边平方作差即可判断；直接作差即可判断C、D.‎ ‎【详解】对于A，‎ ‎，显然不成立，故A不正确；‎ 对于B，‎ ‎，显然不成立，故B不正确；‎ 对于C，，‎ 显然成立，故C正确；‎ 对于D，‎ ‎，因为，故D不正确；‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了分析法证明、作差法比较大小，注意不等式变形，属于基础题.‎ ‎8.已知的三边、、所对的角分别为、、，若，则的形状是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用正弦定理的边角互化可得，再由，代入化简可得，从而可得，进而可判断三角形的形状.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 在中，，‎ - 22 -‎ 所以，即，‎ 所以的形状是等腰三角形.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式，利用正弦定理判断三角形的形状，属于基础题.‎ ‎9.一个圆柱的侧面积为，其内切球（与圆柱两底面及每条母线均相切的球）的表面积为，则与的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. 不确定，与内切球的半径有关 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意圆柱的高、底面直径与球的直径相等，根据圆柱的侧面展开图为矩形求出侧面积，再利用球的表面积公式求出球的表面积即可得出比值.‎ ‎【详解】根据题意，设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，球的半径为，‎ 所以，，‎ 故.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了球的内切问题，球的表面积公式，圆柱的侧面积求法，属于基础题.‎ ‎10.已知、都是锐角，，，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数的基本关系可得，，再由，利用两角差的正弦公式展开即可求解.‎ - 22 -‎ ‎【详解】因为、都是锐角，，，‎ 所以，，‎ 所以 ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎11.下图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是（ ）‎ A. B. 与是异面直线 C. 与相交 D. 与、、所成的角均为60°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据展开图还原正方体的直观图，由直观图即可得出选项.‎ ‎【详解】根据展开图得出正方体的直观图，如图所示：‎ 对于A，由于与异面，可知A不正确；‎ 对于B，与是相交直线，故B不正确；‎ 对于C，与是异面，故C不正确；‎ 对于D，连接，则，且为等边三角形，‎ 所以与、、所成的角均为60°，故D正确；‎ - 22 -‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.‎ ‎12.已知正实数，满足，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将式子化为，代入可得，利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当时取等号，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了基本不等式求和的最小值，注意“”的妙用以及验证等号成立的条件，属于基础题.‎ 第Ⅱ卷非选择题 - 22 -‎ 二、填空题：请将正确答案填入相应的位置 ‎13.若，则______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和的余弦公式可得，提取化简即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】本题考查了两角和的余弦公式、齐次式，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎14.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式与二次函数关系，只需即可求解.‎ ‎【详解】关于的不等式的解集为，‎ 的图象在轴上方，‎ 所以，即，解得，‎ 所以实数的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集求参数的取值范围，需掌握一元二次不等式与二次函数的关系，属于基础题.‎ ‎15.将半径为1的半圆形纸片卷成一个圆锥，使半圆圆心为圆锥的顶点，直径的两个端点重合，则圆锥的体积是_____.‎ - 22 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知圆锥的母线长为1，底面周长为半圆的弧长，求出圆锥底面半径，进而求出底面面积，利用底面半径与母线长度求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式即可求解.‎ ‎【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥的高为， ‎ 圆锥底面周长为半圆的弧长，‎ 则，解得，底面面积 ‎ ‎，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.‎ ‎16.如图所示：一架飞机在海拔的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是37°和53°，则这个海岛的宽度大约是_____.（注：）‎ ‎【答案】3500‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由飞机的垂直高度为，在与中求出与即可求解.‎ - 22 -‎ ‎【详解】‎ 由于，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在中，‎ ‎， ‎ 在中，‎ ‎，‎ 故. 故答案为：3500‎ ‎【点睛】本题考查了解三角形在生活中的应用，属于基础题.‎ 三、解答题：每小题请写出必要的解答步骤和计算过程 ‎17.已知关于的不等式.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，利用一元二次不等式的解法即可求解.‎ - 22 -‎ ‎（2）根据不等式的解集确定方程的根，再利用韦达定理即可求解.‎ ‎【详解】解：（1）时，不等式即为，‎ 它等价于，则.‎ 时，原不等式的解集为.‎ ‎（2）不等式的解集为，‎ ‎，且，是关于的方程的根.‎ ‎，.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、由一元二次不等式的解求参数的取值，属于基础题.‎ ‎18.如图，正四棱锥中，，，为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，交于点，连接，证出，利用线面平行的判定定理即可证出.‎ - 22 -‎ ‎（2）由（1）得出故（或其补角）为异面直线与所成的角，由，得出，在中即可求解.‎ ‎【详解】证明：（1）连接，交于点，连接.‎ 四棱锥为正四棱锥，‎ 四边形为正方形，‎ 为中点，‎ 为中点，‎ 为的中位线，‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ 平面.‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 故（或其补角）为异面直线与所成角.‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 由四棱锥为正四棱锥知：.‎ 为中点，‎ ‎，‎ ‎，即.‎ ‎，‎ ‎，‎ 即异面直线与所成角的余弦值为.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、异面直线所成的角，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎19.已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将两边平方，利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式即可求解.‎ ‎（2）由（1）知，结合可得，，利用同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角的余弦公式可得，然后利用两角和的余弦公式即可求解.‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 又，‎ ‎，，‎ ‎，‎ - 22 -‎ 而，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式，掌握公式是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎20.某建筑公司打算在一处工地修建一座简易储物间.该储物间室内地面呈矩形形状，面积为，并且一面紧靠工地现有围墙，另三面用高度一定的矩形彩钢板围成，顶部用防雨布遮盖，其平面图如图所示.已知该型号彩钢板价格为100元/米，整理地面及防雨布总费用为500元，不受地形限制，不考虑彩钢板的厚度，记与墙面平行的彩钢板的长度为米.‎ ‎（1）用表示修建储物间的总造价（单位：元）；‎ ‎（2）如何设计该储物间，可使总造价最低？最低总造价为多少元？‎ ‎【答案】（1）（2）与墙面平行的彩钢板长度为10米，另两边长度为5米，可使储物间总造价最低，最低总造价为2500元 ‎【解析】‎ 分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）首先求出彩钢板的长度，根据总造价彩钢长度整理地面及防雨布总费用，即可求解. ‎ ‎（2）利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】解：（1）由题意，建造储物间所需彩钢板总长度为米，‎ 则 ‎（2），.‎ 当且仅当即时等号成立.‎ 此时，，.‎ 与墙面平行的彩钢板长度为10米，另两边长度为5米，‎ 可使储物间总造价最低，最低总造价为2500元.‎ ‎【点睛】本题考查了函数模型，基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.‎ ‎21.已知中，三边、、所对的角分别为、、，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理公式的变形即可求解.‎ ‎（2）由（1）利用正弦定理可得，，由，利用两角差的正弦公式以及辅助角公式化为，结合三角形的内角取值范围可求解.‎ ‎【详解】解：（1），‎ - 22 -‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2），，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，即.‎ 又，‎ ‎.‎ 即周长的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换，需熟记定理以及两角差的正弦公式、辅助角公式，属于基础题.‎ - 22 -‎ ‎22.如图，正方体的棱长为2，、分别为棱、上的点，且与顶点不重合.‎ ‎（1）若直线与相交于点，求证：、、三点共线；‎ ‎（2）若、分别为、的中点.‎ ‎（ⅰ）求证：几何体为棱台；‎ ‎（ⅱ）求棱台的体积.‎ ‎（附：棱台的体积公式，其中、分别为棱台上下底面积，为棱台的高）‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面，平面，平面平面，根据点在两个不重合的面内，则点在两个面的公共线上即可证出.‎ ‎（2）（ⅰ）连，、分别为棱、的中点，证出四边形为梯形，从而可得与相交，再由（1）可得直线、、交于一点，由平面平面，即可证出.‎ ‎（ⅱ）求出，，以及棱台的高，代入棱台的体积公式即可求解.‎ ‎【详解】证明：（1），‎ - 22 -‎ ‎，，‎ 平面，平面，‎ 平面，平面，‎ 即点为平面与平面的公共点.‎ 又平面平面，‎ ‎，即、、三点共线.‎ ‎（2）（ⅰ）连，‎ ‎、分别为棱、的中点，‎ 为的中位线，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 四边形为平行四边形.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 四边形为梯形，‎ 与相交.‎ 由（1）知：直线、、交于一点，‎ 又平面平面，‎ - 22 -‎ 几何体为三棱台.‎ ‎（ⅱ）由题意：，，，‎ ‎，‎ 即棱台的体积是.‎ ‎【点睛】本题考查了三点共线、棱台的结构特征、棱台的体积公式，属于中档题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎