【数学】2020届一轮复习北师大版数列求和问题作业 5页

大题考法——数列求和问题 A组 ‎1．(2018·辽南协作校一模)已知数列{an}满足a1＝1,2an＋1＝an，数列{bn}满足bn＝2－log2a ．‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{bn}的前n项和Tn，求使得2Tn≤4n2＋m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围．‎ 解：(1)由a1＝1，＝，an≠0，‎ ‎∴{an}为首项是1，公比为的等比数列，‎ ‎∴an＝n－1.∴bn＝2－log22n＝2n＋2．‎ ‎(2)Tn＝n2＋3n，‎ ‎∴m≥－2n2＋6n任意正整数n都成立，‎ ‎∵－2n2＋6n＝－22＋，‎ ‎∴当n＝1或2时，Tn的最大值为4，∴m≥4．‎ ‎2．(2018·石家庄一模)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a1＝1，a2·a4＝16．‎ ‎(1)设bn＝log2an，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{an·bn}的前n项和Sn．‎ 解：(1)设数列{an}的公比为q(q＞0)，‎ 由得q4＝16，∴q＝2，∴an＝2n－1．‎ 又bn＝log2an，∴bn＝n－1．‎ ‎(2)由(1)可知an·bn＝(n－1)·2n－1，‎ 则Sn＝0×20＋1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1　①，‎ ‎2Sn＝0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n　②，‎ ‎①－②得，‎ ‎－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－1)·2n ‎＝－(n－1)·2n ‎＝2n(2－n)－2，‎ ‎∴Sn＝2n(n－2)＋2．‎ ‎3．(2018·上饶二模)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1＋n－2．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log2(an－1)，求Tn＝＋＋＋…＋．‎ 解：(1)由 则an＝2n＋1 (n≥2)．‎ 当n＝1时，a1＝S1＝3，‎ 综上an＝2n＋1．‎ ‎(2)由bn＝log2(an－1)＝log22n＝n．‎ Tn＝＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＋…＋＝．‎ ‎4．(2018·百校联盟联考)已知等比数列{an}的公比为q≠1，前n项和为Sn，a1＋a3＝，a1－1，a2－1，a3－1分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝anlgan，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ 解：(1)由a1＋a3＝得，‎ a1＋a1q2＝＝1＋q2，‎ 所以a1＝1，由a1－1，a2－1，a3－1分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，‎ 得a3－1－(a1－1)＝4[(a2－1)－(a1－1)]，‎ 即a3－a1＝4(a2－a1)，‎ 即q2－1＝4(q－1)，即q2－4q＋3＝0，‎ 因为q≠1，所以q＝3，所以an＝3n－1．‎ ‎(2)bn＝anlgan＝(n－1)·3n－1lg 3，‎ 所以Tn＝[0＋3＋2×32＋3×33＋…＋(n－1)×3n－1]lg 3，‎ ‎3Tn＝[0＋32＋2×33＋3×34＋…＋(n－1)×3n]lg 3，‎ 两式相减得， ‎ ‎－2Tn＝[3＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)×3n]lg 3‎ ‎＝－(n－1)·3nlg 3‎ ‎＝－－·3nlg 3，‎ 所以Tn＝＋·3nlg 3．‎ B组 ‎1．(2018·资阳三诊)已知{an}是公差为2的等差数列．数列{bn}满足b1＝，b2＝，且anbn＋1＝nbn＋bn＋1(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜．‎ ‎(1)解：由题意可知，n＝1时，a1b2＝b1＋b2⇒a1＝3，又公差为2，故an＝2n＋1．‎ 从而有(2n＋1)bn＋1＝nbn＋bn＋1⇒2bn＋1＝bn，故数列{bn}是公比为 的等比数列，‎ 又b1＝，所以bn＝n．‎ ‎(2)证明：由(1)知 cn＝＝＝．‎ 故Sn＝＝＝－＜．‎ ‎2．(2018·河南联考)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2)．‎ ‎(1)求证：数列是等差数列；‎ ‎(2)证明：当n≥2时，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＜．‎ 证明：(1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，Sn－1－Sn＝2SnSn－1，‎ －＝2，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)可知，＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴Sn＝，‎ ‎∴当n≥2时，‎ Sn＝＜＝·＝，‎ 从而S1＋S2＋S3＋…＋Sn＜1＋＜－＜．‎ ‎3．(2018·丹东三模)Sn为数列{an}的前n项和，已知3Sn＋2＝4an，bn·loga1an·loga1an＋1＝‎ ‎1．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}的前n项和Tn满足Tn＋k＜0，求实数k的取值范围．‎ 解：(1)由3Sn＋2＝4an，可知3Sn＋1＋2＝4an＋1．‎ 可得3an＋1＝4an＋1－4an，‎ 易知an≠0，于是＝4．‎ 又3a1＋2＝4a1，得a1＝2．‎ 所以{an}是首项为2，公比为4的等比数列，通项公式为an＝22n－1．‎ ‎(2)由an＝22n－1可知 bn＝ ‎＝＝．‎ 于是Tn＝＝．‎ 不等式Tn＋k＜0可化为k＜－．‎ 因为n∈N*，所以－＞－，故k≤－．‎ 因此实数k的取值范围为．‎ ‎4．(2018·长沙三模)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－λ( λ＞0，n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列{an}为等比数列，并求an；‎ ‎(2)若λ＝4，bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎(1)证明：由题意可知S1＝2a1－λ，即a1＝λ；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－λ)－(2an－1－λ)＝2an－2an－1，即an＝2an－1；‎ 所以数列{an}是首项为λ，公比为2的等比数列，‎ 所以an＝λ×2n－1．‎ ‎(2)解：由(1)可知当λ＝4时an＝2n＋1，‎ 从而bn＝ n为偶数时，Tn＝＋ ‎＝＋；‎ n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1‎ ‎＝＋－(n＋2)‎ ‎＝＋－n－2‎ ‎＝＋，‎ 综上，Tn＝