高中数学第四章函数应用4_1_1利用函数性质判定方程解的存在问题导学案北师大版必修11 5页

4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 问题导学 一、求函数的零点 活动与探究 1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出： (1)f(x)＝1＋log3x； (2)f(x)＝4x－16； (3)f(x)＝x2＋4x－12 x－2 . 迁移与应用 1．求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2＋2x＋3；(2)f(x)＝2x－2. 2．若函数 f(x)＝1 x ＋a 的零点是－2，则 a 的值为________． 1．求函数 f(x)的零点，基本方法是解方程 f(x)＝0，方程的根就是零点． 2．解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义，避免增解． 二、函数零点个数的判断 活动与探究 2 判断函数 f(x)＝x2－1 x 的零点的个数． 迁移与应用 1．函数 f(x)＝x－4 x 的零点的个数是( )． A．0 B．1 C．2 D．3 2．求函数 f(x)＝lnx＋2x－6 的零点个数． 判断函数零点的个数常有以下方法： (1)解方程 f(x)＝0，方程根的个数就是函数 f(x)的零点的个数； (2)画出函数 f(x)的图像，该图像与 x 轴交点的个数就是函数 f(x)零点的个数； (3)将方程 f(x)＝0 变形为 g(x)＝h(x)，在同一坐标系中画出函数 g(x)和 h(x)的图像， 两个图像交点的个数就是原函数 f(x)零点的个数． 三、判断方程(函数)在指定区间上是否存在实数解(零点) 活动与探究 3 (1)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一个区间是( )． A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) (2)已知函数 f(x)＝2x－3x2.问方程 f(x)＝0 在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？ 迁移与应用 1．方程 log3x＋x＝3 的解所在的区间为( )． A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 2．试判断方程 x3＝2x 在区间[1,2]内是否有实数解． 判断一个方程 f(x)＝0(函数 f(x))在区间[a，b]上是否存在实数解(零点)，首先看函数 f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，其次再检验是否满足 f(a)·f(b)＜0.若满足，那么 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点，且相应的方程 f(x)＝0 必有实数解． 四、函数零点的综合应用 活动与探究 4 当 a 取何值时，方程 ax2－2x＋1＝0 的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？ 迁移与应用 若函数 f(x)＝x2＋2x－a 的两个零点中一个大于 1，另一个小于 1，那么实数 a 的取值 范围是________． 解决这类问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ与 0 的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点 的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意． 当堂检测 1．函数 f(x)＝x＋1 x2＋1 的零点是( )． A．1 B．－1 C．±1 D．0 2．函数 f(x)＝lnx－1 的零点所在的大致区间为( )． A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 3．函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 f(1)＞0，f(2)＜0，则 f(x)在(1,2)上零点的个数是 ( )． A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有 4．函数 f(x)＝x2－ 1 2 log | |x 的零点的个数是________． 5．若方程 ax2－x－1＝0 在(0,1)内有解，求 a 的取值范围． 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华 部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。 答案： 课前预习导学 【预习导引】 1．(1)交点的横坐标 (2)f(x)＝0 预习交流 1 提示：不正确．函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，即函数零点 的实质是一个实数，而不是几何上的点． 预习交流 2 提示：并不是所有的函数都有零点，例如：y＝1 x 和 y＝x2＋3 等都没有零 点．对于二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，计算Δ＝b2－4ac，则当Δ＞0 时，f(x)有 2 个零点，当Δ＝0 时，f(x)有 1 个零点，当Δ＜0 时，f(x)无零点． 2．至少有一个零点 至少有一个实数解 预习交流 3 (1)提示：函数在(a，b)内有零点，可能只有 1 个，也可能有多个．图① 和②分别是函数 f(x)和 g(x)的图像．由图知，f(x)与 g(x)的图像在(a，b)上连续不断，且 满足 f(a)·f(b)＜0，图①中函数 f(x)在(a，b)内有 2 个零点，图②中函数 g(x)在(a，b) 内有 3 个零点．由此可见，满足题设条件的函数的零点不一定只有 1 个． (2)提示：不一定．例如：函数 f(x)＝x2－1 在区间(－2,2)内有 2 个零点，但却有 f(－ 2)·f(2)＞0. (3)提示：不对．例如：函数 f(x)＝1 x 在闭区间[－2,2]上的图像不连续，虽有 f(－2)·f(2) ＜0，但 f(x)在(－2,2)内没有零点． 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究 1 解：(1)令 1＋log3x＝0， 则 log3x＝－1，解得 x＝1 3 ， 所以函数的零点为 x＝1 3 . (2)令 4x－16＝0，则 4x＝42， 解得 x＝2， 所以函数的零点为 x＝2. (3)因为 f(x)＝x2＋4x－12 x－2 ＝(x＋6)(x－2) x－2 ，令(x＋6)(x－2) x－2 ＝0， 解得 x＝－6，所以函数的零点为 x＝－6. 迁移与应用 1．解：(1)令－x2＋2x＋3＝0， 解得 x＝－1 或 x＝3， 即函数的零点是 x1＝－1，x2＝3. (2)令 2x－2＝0，解得 x＝1， 即函数的零点是 x＝1. 2．1 2 解析：依题意知 f(－2)＝0，即 1 －2 ＋a＝0，所以 a＝1 2 . 活动与探究 2 解：(方法一)令 f(x)＝x2－1 x ＝0，得 x2＝1 x ，即 x3＝1，解得 x＝1，故函 数 f(x)＝x2－1 x 只有一个零点． (方法二)令 f(x)＝x2－1 x ＝0，得 x2＝1 x ，设 g(x)＝x2，h(x)＝1 x ，在同一坐标系中分别画 出函数 g(x)和 h(x)的图像， 由图像可知，两个图像只有一个交点， 故函数只有一个零点． 迁移与应用 1．C 解析：令 f(x)＝0，即 x－4 x ＝0. 解得 x＝±2.所以 f(x)有 2 个零点． 2．解法一：在同一平面直角坐标系中作出 y＝ln x 与 y＝6－2x 的图像，由图知，两个 函数图像只有一个交点，故函数 f(x)的零点个数为 1. 解法二：∵f(2)＝ln2＋2×2－6＝ln2－2＜0， f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3＞0， ∴f(2)·f(3)＜0.∴f(x)在(2,3)上有零点． 又∵f(x)在(0，＋∞)上是增加的， ∴函数 f(x)有且只有一个零点． 活动与探究 3 思路分析：(1)只需分析函数在哪个区间的两个端点的函数值异号即可； (2)要判断方程 f(x)＝0 在区间[－1,0]上有没有实数解，只需看 f(－1)，f(0)是否异号即 可． (1)C 解析：由于 f(－2)＝e－2－2－2＜0，f(－1)＝e－1－1－2＜0，f(0)＝e0＋0－2＝ －1＜0，f(1)＝e＋1－2＝e－1＞0，所以 f(0)·f(1)＜0，因此零点所在的一个区间是 (0,1)．选 C. (2)解：∵f(－1)＝1 2 －3＜0，f(0)＝1＞0，又∵函数 f(x)＝2x－3x2 的图像是连续曲线， ∴f(x)在区间[－1,0]内有零点，即 f(x)＝0 在区间[－1,0]内有实数解． 迁移与应用 1．C 解析：构造函数，转化为求函数的零点所在的区间． 令 f(x)＝log3x＋x－3，则 f(2)＝log32＋2－3＝log3 2 3 ＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0， 又因为函数 f(x)在(0，＋∞)上是连续且单调的函数，所以方程 log3x＋x＝3 的解所在的区 间为(2,3)． 2．解：设函数 f(x)＝x3－2x， ∵f(1)＝1－2＝－1＜0， f(2)＝8－4＝4＞0， ∴f(1)·f(2)＜0. 又∵函数 f(x)＝x3－2x 的图像是连续曲线， ∴函数 f(x)＝x3－2x 在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程 x3＝2x 在区间[1,2]内至少 有一个实数解． 活动与探究 4 思路分析：令函数 f(x)＝ax2－2x＋1，本题的实质是该函数的一个零点 在(0,1)上，另一个在(1,2)上，结合函数的图像列出不等式组，注意对 a＞0，a＝0，a＜0 作出讨论． 解：当 a＝0 时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意． 当 a＞0 时，设 f(x)＝ax2－2x＋1， 因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上， 所以 f(0)>0， f(1)<0， f(2)>0， 即 1>0， a－2＋1<0， 4a－4＋1>0， 解得3 4 ＜a＜1. 当 a＜0 时，设方程的两根为 x1，x2， 则 x1·x2＝1 a ＜0， x1，x2 一正一负，不符合题意． 综上，a 的取值范围为3 4 ＜a＜1. 迁移与应用 a＞3 解析：依题意，由图像可知 f(1)＜0，即 12＋2×1－a＜0，解得 a ＞3. 【当堂检测】 1．B 解析：令 f(x)＝0，得x＋1 x2＋1 ＝0，即 x＋1＝0，所以 x＝－1. 2．B 解析：因为在给出的区间中，只有 f(2)·f(3)＜0，而在其余区间两个端点处的 函数值均同号． 3．C 4．2 解析：令 f(x)＝0，得 x2＝ 1 2 log | |x .设 g(x)＝x2，h(x)＝ 1 2 log | |x .画出 g(x)和 h(x) 的图像，由图像可知，两个函数图像有 2 个交点，所以函数 f(x)有 2 个零点． 5．解：ax2－x－1＝0 在(0,1)内有解， 即函数 f(x)＝ax2－x－1 在(0,1)内有零点， 故 f(0)·f(1)＜0， 即－1×(a－2)＜0，解得 a＞2.