高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题21等差数列与等比数列 14页

专题 21 等差数列与等比数列 【标题 01】忽略了等比数列定义中的关键词和式子中的隐含条件 【习题 01】下列各组数成等比数列的是 _______。 ①1, 2, 4, 8  ； ② 2, 2, 2 2, 4  ； ③ 2 3 4, , ,x x x x ； ④ 1 2 3 4, , ,a a a a    ； A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【经典错解】观察计算得①②③④都是等比数列，故选择 D . 【详细正解】数列①②显然是等比数列，对于数列③，它不是等比数列，看起来，数列后面一项除以前面 一项是一个常数 x ，但是题目中并没有告诉我们 0x  ，当 0x  时，显然不是等比数列，因为 0 不能作分 母. 所以③不是等比数列.对于选项④，有的同学可能认为和③一样，不是等比数列，因为题目中没有说明 0a  ，题目虽然没有直接说明 0a  ，但是它隐含地告诉我们 0a  了，因为 1n na a   ，所以 0a  .故选择 C . 【习题 01 针对训练】若 x 、 33 x 、 55 x 是等比数列中相邻的三项，则 ________x 。 A． 1 或 9 4  B．1或 9 4 C． 1 D． 9 4  【标题 02】没有弄清等比数列的首项导致代等比数列的通项出现错误 【习题 02】某工厂去年产值为 a ，计划今后 5 年内每一年比上一年增长 %10 ，这 5 年的最后一年产值为 ____ . A． a41.1 B． a51.1 C． a61.1 D． a )1.11( 5 【经典错解】由题得 5 1 4 5 1.1 1.1a a a   ，故选择 A . 【详细正解】由题得第一年的产值为 1 1.1a a ，所以 5 1 4 5 5 1 1.1 1.1 1.1 1.1a a a a      ，故选择 B . 【习题 02 针对训练】在小于100的自然数中，所有被 7 除余 2 的数之和是多少？ 【标题 03】没有弄清等比数列的各项的符号规律 【习题 03】在等比数列{ }na 中， 5 1a  ， 9 81a  ，则 7 _______a  。 A． 9或 9 B．9 C． 27 或 27 D． 27 【经典错解】由等比中项的性质得 2 7 5 9 781 9a a a a      ，所以选择 A . 【详细正解】由等比中项的性质得 2 7 5 9 781 9a a a a      ，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所 以选择 B . 【习题 03 针对训练】如果 9,,,,1  cba 成等比数列，则 _____. A． 9,3  acb B． 9,3  acb C． 9,3  acb D． 9,3  acb 【标题 04】忽略了凸 n 多边形的定义导致多解 【习题 04】一个凸 n 多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为 0120 ，公差为 05 ，那么 _______n  . A．12 B．16 C．9 D．16或9 【经典错解】由题得 0 0 0( 1)( 2)180 120 5 16 92 n nn n n       或 故选择 D . 【详细正解】由题得 0 0 0( 1)( 2)180 120 5 16 92 n nn n n       或 当 16n  时， 0 0 0 0 16 120 (16 1) 5 195 180a       ，所以 16n  舍去.故选择C . 【深度剖析】（1）经典错解错在忽略了凸 n 多边形的定义导致多解. （2）要想是凸 n 多边形，则它的每一 个内角必须小于 0180 . 【习题 04 针对训练】一个凸 n 多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为 0100 ，其它的内角依次增加 010 ， 那么 _______n  . 【标题 05】化简时忽略了等式的性质把方程两边同时除以了 d 导致漏解 【习题 05】在等差数列{ }na 中， 1 3 8a a  ，且 4a 为 2a 和 9a 的等比中项，求数列{ }na 的首项，公差及前 n 项和． 【经典错解】设该数列的公差为 d ，前 n 项和为 nS ，∵ 1 3 8a a  ，且 4a 为 2a 和 9a 的等比中项， ∴ 12 2 8a d  ， 2 1 1 1( 3 ) ( )( 8 )a d a d a d    所以 2 13 4a d d 解得 1 3a  ， 3d  ∴前 n 项和为 23 2n n nS  ． 【详细正解】设该数列的公差为 d ，前 n 项和为 nS ，∵ 1 3 8a a  ，且 4a 为 2a 和 9a 的等比中项， ∴ 12 2 8a d  ， 2 1 1 1( 3 ) ( )( 8 )a d a d a d    所以 2 13 4a d d 解得 1 4, 0a d  或 1 1, 3a d  ∴前 n 项和为 4nS n 或 23 2n n nS  ． 【习题 05 针对训练】已知等差数列{ }na 前三项的和为 3 ，前三项的积为8 ． （1）求等差数列{ }na 的通项公式；（2）若数列{ }na 单调递增，求数列{ }na 的前 n 项和． 【标题 06】对项和公式 1 1 1 2n n n a na s s n- ì =ï= í - ³ïî 理解不透彻 【习题 06】已知等差数列 na 的首项 1 1a  ，公差 0d  ，且 2 5 14, ,a a a 分别是等比数列 nb 的 2b ， 3b ， 4b . （1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）设数列 nc 对任意正整数 n 均有 1 2 1 1 2 n n n cc c ab b b     成立，求 1 2 2014c c c   的值. 【经典错解】（1）∵ 2 5 141 , 1 4 , 1 13a d a d a d      ，且 2 5 14, ,a a a 成等比数列， ∴ 2(1 4 ) (1 )(1 13 )d d d    ，即 2d  ， ∴ 1 ( 1) 2 2 1.na n n      又∵ 2 2 3 53 , 9 ,b a b a    ∴ 1 13 , 1, 3 .n nq b b    （2）∵ 1 2 1 1 2 n n n cc c ab b b    ① ∴ 1 2 1 c ab  ，即 1 1 2 3c b a  ， 又 11 2 1 2 1 ( 2)n n n cc c a nb b b       ② ① ②得 1 2n n n n c a ab    12 2 3n n nc b - = = × (后面利用等比数列的求和公式求和) 【详细正解】（1）∵ 2 5 141 , 1 4 , 1 13a d a d a d      ，且 2 5 14, ,a a a 成等比数列， ∴ 2(1 4 ) (1 )(1 13 )d d d    ，即 2d  ， ∴ 1 ( 1) 2 2 1.na n n      又∵ 2 2 3 53 , 9 ,b a b a    ∴ 1 13 , 1, 3 .n nq b b    （2）∵ 1 2 1 1 2 n n n cc c ab b b    ① ∴ 1 2 1 c ab  ，即 1 1 2 3c b a  ， 又 11 2 1 2 1 ( 2)n n n cc c a nb b b       ② ① ②得 1 2n n n n c a ab    ∴ 12 2 3 ( 2)n n nc b n    ，∴ 1 3 ( 1) 2 3 ( 2)n n nc n     ， 则 1 2 2014 1 1 2 2014 3 2 3 2 3 2 3c c c             1 2 20133 2 (3 3 3 )      2013 20143(1 3 )3 2 3 .1 3     【习题 06 针对训练】各项均为正数的数列 na 中， nSa ,11  是数列 na 的前 n 项和，对任意  Nn ，有 22 2 1n n nS a a   ． （1）求数列 na 的通项公式；（2）记 nn n n Sb 23 4  ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 【标题 07】利用项和公式 1 1 1 2n n n a na s s n- ì =ï= í - ³ïî 求数列通项时没有分类讨论 【习题 07】已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 2log (1 ) 1nS n   ，则 na 的通项公式为__________． 【经典错解】由 2log (1 ) 1nS n   ，得 12 1n nS   1 2n n n na S S    ∴ 2n na  【详细正解】由 2log (1 ) 1nS n   ，得 12 1n nS   . 1n  时， 1 1 3a S  . 2n  时， 1 2n n n na S S    当 1n  时 1 3a  不符合上式，∴ na  3 1 2 2n n n    ， ＝ ， 【习题 07 针对训练】已知数列 na 的首项 1 2a  ，其前 n 项和为 nS ．若 1 2 1n nS S   ，则 na  ． 【标题 08】利用等比数列的前 n 项和公式时没有分类讨论 【习题 08】设等比数列 na 的全 n 项和为 nS .若 963 2SSS  ，求数列的公比 q . 【经典错解】 ,2 963 SSS  q qa q qa q qa     1 )1(21 )1( 1 )1( 9 1 6 1 3 1 ， .012( 363 ）＝整理得  qqq 1q2 4q,0)1q)(1q2(.01qq20q 3 3336  或得方程由 【详细正解】若 1q ，则有 .9,6,3 191613 aSaSaS  但 01 a ， 即得 ,2 963 SSS  与题设矛盾，故 1q . 又依题意 963 S2SS  q qa q qa q qa     1 )1(21 )1( 1 )1( 9 1 6 1 3 1 01qq2(q 363 ）＝ ,即 ,0)1)(12( 33  qq 因为 1q ，所以 ,013 q 所以 .012 3 q 解得 .2 43 q 【习题 08 针对训练】已知等比数列 na 中， 1 31, 3a S= = ,则等比数列的公比 q = . 【标题 09】对等比数列各项的特征没有掌握全面 【习题 09】 x ab 是 a x b， ， 成等比数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【经典错解】x ab= 则 a,x,b 等比. 若 a x b、 、 成等比数列，则 x ab  ，所以不一定有 x ab , 选 A . 【详细正解】x ab a x b ， 、 、 不一定等比， 如 a b x   0 .若 a x b、 、 成等比数列，则 x ab  ， 所以不一定有 x ab ,选 D . 【深度剖析】（1）经典错解错在对等比数列各项的特征没有掌握全面.（2）等比数列的各项都不能为零， 公比也不能为零.这一点在解题时要注意. 【习题 09 针对训练】设等比数列{ }na 的公比为 q ，前 n 项和 0( 1,2,3, )nS n   ，求 q 的取值范围. 【标题 10】对等差数列的项的符号特征分析不到位忽略了等号 【习题 10】等差数列 na 中, 1 24a  ， 17 8S S ,则该数列的前________项之和最大. 【经典错解】由题得 17 8 1 1 1 17 16 8 7 1= 17 8 22 2 12S S a d a d d a + = + = - = -  所以 24 ( 1) ( 2) 2 26na n n= + - - = - + 令 2 26 0 13na n n= - + ³ £ ，所以数列的前13项和最大. 【详细正解】由题得 17 8 1 1 1 17 16 8 7 1= 17 8 22 2 12S S a d a d d a + = + = - = -  所 以 24 ( 1) ( 2) 2 26na n n= + - - = - + 令 2 26 0 13na n n= - + ³ £ ， 所 以 1 2 12, , 0a a a > 13 140, , 0a a= < ，所以数列的前12 或前13项和最大. 【习题 10 针对训练】设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，首项为 25 ，且 9 17S S ， 求：（1）求公差 d ；（2）数列 na 的通项公式；（3）求数列 na 前多少项和最大，并求其最大值． 【标题 11】审题“第九项开始为正”错误 【习题 11】在等差数列 na 中， 1 10a   ，从第9项开始为正数，则公差 d 的取值范围是 . 【经典错解】设数列为 na 公差为 d ，由题意可得： 9 1 8 0a a d   ； 代入可得 9 10 8 0a d    解得 5 4d  故公差 d 的取值范围为 5 +4 ¥（ ， ） 【详细正解】设数列为 na 公差为 d ，由题意可得： 8 1 7 0a a d   ， 9 1 8 0a a d   ； 代入可得 10 7 0d   ， 10 8 0d   解得 5 10 4 7d  ，故公差 d 的取值范围为 5 10( , ]4 7 . 【深度剖析】（1）经典错解错在审题“第九项开始为正”错误.（2）从第9项开始为正数，意思是“第8 项 小于等于零，第 9项大于零”，错解只是理解为“第9项是正数”，忽略了“开始”这个关键词.解题时，要 认真审题，特别是一些关键词，注意等价转换. 【习题 11 针对训练】在等差数列  na 中， 1 1 25a  ，从第 10 项开始比 1大，则公差 d 的取值范围 是 . 【标题 12】解题过程中忽略了 n 的范围导致把数列的性质判断出错 【习题 12】等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a = ， 12n nS a += ，求 nS . 【经典错解】由题得 12n nS a += ， 1 22n nS a+ += ，两式相减 1 2 1 1 2 12 2 2 2n n n n n n nS S a a a a a+ + + + + +- = - = - 2 1 3 2 n n a a + + = 所以数列{ }na 是一个等比数列，所以 31 ( ) 3 32 2(1 ( ) ) 2( ) 23 2 21 2 n n n nS - = = - - = - - 【详细正解】由题得 12n nS a += ， 1 22n nS a+ += ，两式相减 1 2 1 1 2 12 2 2 2n n n n n n nS S a a a a a+ + + + + +- = - = - 2 1 3 2 n n a a + + = 由题得 2 1 2 2 1 1 1 32 2 2 2 aS a a a = = = ¹ 所以数列{ }na 不是一个等比数列，从第 2 项起等 比，所以 1 1 1 1 3[1 ( ) ] 3 32 21 1 (1 ( ) ) ( )3 2 21 2 n n n nS - - - - = + = - - = - 【习题 12 针对训练】已知数列{ }na 与{ }nb ，若 1 3a  且对任意正整数 n 满足 1 2,n na a   数列{ }nb 的前 n 项和 2 n nS n a  ．（1）求数列{ }{ }n na b, 的通项公式；（2）求数列       1 1 nnbb 的前 n 项和 .nT 【标题 13】没有理清 5S 和 5T 的关系直接代入 5S 出错 【习题 13】设 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和，且 1 21a   ， 3 48S   . ①求{ }na 的通项公式； ②求{| |}na 的前 n 项和 nT . 【经典错解】（1）由题得 21 ( 21) ( 21) 2 48 5d d d           所以 21 ( 1) 5 5 26na n n       （2）令 1 2 5 6 7 15 26 0 5 , , , 0, , , , 05n na n n a a a a a a          当 5n  时， 1 2 1 2 ( 1)| | | | | | ( 21 5)2n n n n n nT a a a a a a S n               25 47 2 2n n   当 5n  时， 1 2 1 2 5 6 5 5| | | | | |n n n nT a a a a a a a a S S S             2 2 5 5 47 5 472 ( 21 5 26) 2 [ 5 5] 1102 2 2 2 2n nS S n n n               综上所述， 2 2 5 47 ( 5)2 2 5 47 1102 2 n nn n T nn        （n>5) 【详细正解】（1）由题得 21 ( 21) ( 21) 2 48 5d d d           所以 21 ( 1) 5 5 26na n n       （2）令 1 2 5 6 7 15 26 0 5 , , , 0, , , , 05n na n n a a a a a a          当 5n  时， 1 2 1 2 ( 1)| | | | | | ( 21 5)2n n n n n nT a a a a a a S n               25 47 2 2n n   当 5n  时， 1 2 1 2 5 6 5 5| | | | | |n n n nT a a a a a a a a S S S             2 5 5 5 472 ( 21 5 26) 2 [ ( 21 1)] 1102 2 2 2n nS S n n n             综上所述， 2 2 5 47 ( 5)2 2 5 47 1102 2 n nn n T nn        （n>5) 【点评】（1）经典错解错在没有理清 5S 和 5T 的关系直接代入 5S 出错. (2)数列{ }na 的项是先负后正，所以 5 5T S ，因为数列{| |}na 前 5 项加了绝对值后是正数了，而 5S 是 5 个负数相加，它们刚好是相反数. 所以 结果是错误的. (3)如果数列 { }na 的项是先正后负，则有 5 5T S ，可以直接代第一种情况的结论 25 47 2 2nT n n   .如果不能理解，就老老实实代 5S 好了. 【习题 13 针对训练】已知等比数列{ na }中， 1 64a  ,公比 1q  , 2 3 4, ,a a a 又分别是某等差数列的第 7 项， 第3项，第1项. (1)求 na ；(2)设 2logn nb a ,求数列{| |}nb 的前 n 项和 nT . 【标题 14】忽略了数列是关于自然数的函数导致图像分析错误 【习题 14】若{ }na 是等差数列，首项 1 0a  ， 1007 1008 0a a  ， 1007 1008 0a a  ，则使前 n 项和 0nS  成立 的最大自然数 n 是（ ） A. 2012 B. 2013 C.2014 D.2015 【经典错解】由题得 1007 10080, 0,a a  所以当 1007n  时， max 1007( )nS S ，由于等差数列的前 n 项和是 关于 n 的二次函数，所以二次函数的对称轴是 1007,n  由二次函数的图像得 2014 0S  ，所以使前 n 项和 0nS  成立的最大自然数 n 是 2013，故选 B. 【详细正解】由题得 1007 10080, 0,a a  由题得 2014 1 2014 1007 1008 2014 2014( ) ( ) 02 2S a a a a      ， 由题得 2015 1 2015 1008 1008 2015 2015( ) 2 2015 02 2S a a a a      ， 所以使前 n 项和 0nS  成立的最大自然数 n 是 2014，故选 C. 【习题 14 针对训练】若{ }na 是等差数列,若 13 12 1a a   ，且它们的前 n 项和 nS 有最大值，则使得 0nS  的 n 的最大值是（ ） A. 23 B. 24 C.25 D.13 高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第 21 讲：等差数列与等比数列参考答案 【习题 01 针对训练答案】 D 【习题 01 针对训练解析】由题得 2 2(3 3) (5 5 4 13 9 0x x x x x       ） 所以 91 4x   或- . 当 1x   时， 3 3 0,5 5 0x x    ，所以 1x   舍去. 故选择 D . 【习题 02 针对训练答案】 665 【习题 04 针对训练答案】8 【习题 04 针对训练解析】由题得 0 0 0( 1)( 2)180 100 10 8 92 n nn n n       或 当 9n  时， 0 0 0 9 100 (9 1) 10 180a      ，所以 9n  舍去，所以填 8n  . 【习题 05 针对训练答案】（1） 3 5na n   或 3 7na n  ．(2) (3 11) 2n n nS  ． 【习题 05 针对训练解析】（1）设等差数列{ }na 的公差为 d ，则 2 1a a d  ， 3 1 2a a d  ． 由题意得    1 1 1 1 3 3 3 2 8 a d a a d a d       ，解得 1 2 3 a d     或 1 4 3 a d     ， 所以由等差数列通项公式可得 2 3( 1) 3 5na n n      ，或 4 3( 1) 3 7na n n      ． 故 3 5na n   或 3 7na n  ． （2）由数列{ }na 单调递增得 3 7na n  ．数列{ }na 的前 n 项和 ( 4 3 7) (3 11) 2 2 n n nS n      ． 【习题 06 针对训练答案】(1) 2 1 nan (2) 1( 1) 2 2n nT n     【习题 06 针对训练解析】（1）由 122 2  nnn aaS ① 得 122 1 2 11   nnn aaS ② ②—①，得 )()(22 1 22 11 nnnnn aaaaa   即： 0)())((2 111   nnnnnn aaaaaa 0)122)(( 11   nnnn aaaa 由于数列 na 各项均为正数， 122 1   nn aa 即 2 1 1  nn aa 数列 na 是首项为1，公差为 2 1 的等差数列， 数列 na 的通项公式是 2 1 2 1)1(1  nnan 【习题 07 针对训练答案】 2 2 1 3 2 2n n n a n     【习题 07 针对训练解析】把已知 1 2 1n nS S   中的 n 用 1n  代换得 12 1n nS S   ( 2)n  ，两式相减得 1 2n na a  ，又 1 1 2 12 1nS a a a     ， 2 3a  ，所以数列{ }na 从第二项开始成等比数列，因此其通项公 式为 1 2, 1, 3 2 , 2,n n n a n     ． 【习题 08 针对训练答案】1或 2 . 【习题 08 针对训练解析】当 1q  时，显然满足题意. 当 1q  时， 3 2 21 3 1 3 2 01 q q q q qq - = + + = + - =- 2 1(q q或 舍） = - = 综合得 1q  或 2q   . 【习题 09 针对训练答案】   1,0 0,  【习题 09 针对训练解析】 { }na 是等比数列，且前 n 项和 0( 1,2,3, )nS n   ， 1 1 0a S   ，且 0q  当 1q  时， 1 0nS na  ； 当 1q  时， 1(1 ) 01 n n a qS q   ，即1 0( 1,2,3, )1 nq nq     . 上式等价于 1 0 1 0 nq q       ①或 1 0 1 0 nq q       ②, 由①得 1q  ,由②得 1 1q   ,  q 的取值范围为    1,0 0,  . 【习题 11 针对训练答案】 8 3 75 25d  【习题 11 针对训练解析】依题意可知 10 1 9 125a d   ， 9 1 8 125a d   解得 8 3 75 25d  . 故填 8 3 75 25d  . 【习题 12 针对训练答案】（1） 12  nan ，      2,12 1,4 nn nbn ；（2）  3220 16   n nTn 【习题 12 针对训练解析】（1）由题意知数列{ }na 是公差为 2 的等差数列 又因为 1 3a  所以 2 1na n  当 1n  时， 1 1 4b S  ； 当 2n  时，      22 1 2 1 1 2 1 1 2 1n n nb S S n n n n n               对 1=4b 不成立. 所以，数列{ }nb 的通项公式: 4,( 1) 2n 1,(n 2)n nb     （2） 1n  时， 1 1 2 1 1 20T b b   2n  时， 1 1 1 1 1 1( )(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n nb b n n n n       所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 20 2 5 7 7 9 2 1 2 3 20 10 15 20(2 3)n n nT n n n n                   1n  仍然适合上式综上， 1 1 6 1 20 10 15 20(2 3)n n nT n n      【习题 13 针对训练答案】（1） 1164 ( )2 n na   ；（2） nT = 2 2 13 ( 7),2 2 13 42 ( 7).2 2 n n n n n n         【习题 14 针对训练答案】A 【习题 14 针对训练详细解析】 13 13 12 13 12 12 12 1 1 0 0a a a a a a a        . 因为它们的前 n 项和 nS 有最大值，所以 12 12 130, 0a a a   . 所以 23 1 23 12 12 23 23( ) 2 23 02 2S a a a a      ， 24 1 24 12 13 24 24( ) ( ) 02 2S a a a a      ，故选 A.