福建省厦门市2013届高三3月质量检查文科数学试题 14页

厦门市2013届三月高三质量检测 数学（文科）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分为150分,考试时间120分钟.‎ 参考公式：锥体体积公式 ,其中为底面面积，为高. ‎ 第Ⅰ卷（选择题:共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集，集合，那么等于 ‎ A. B． C. D．‎ ‎2．如图，在边长为2的正方形内随机取一个点，则此点在正方形的内切圆内部的概率为 ‎（第2题图）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若，则“”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．下列命题正确的是 ‎． ． ． 　 ．‎ 开始 输入 输出 结束 是 否 ‎（第7题图）‎ ‎5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，能得到的是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则它的一个对称中心是 A． B. C. D. ‎ ‎7．定义．右图是求的程序框图，则在判断框内应填的条件是 A． B. C. D.‎ ‎8．已知是抛物线的焦点,准线与轴的交点为，点在 抛物线上,且,则等于 A． B． C． D．‎ ‎9．函数的零点个数为 ‎．1 ．2 ．3 ．4‎ ‎10．式子满足，则称为轮换对称式．给出如下三个式子：①；②；‎ ‎③是的内角）．其中，为轮换对称式的个数是 A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎11．如图,在边长为的菱形中 ,，对角线相交于点,是线段的一个三等分点，则 等于 A. B． C. D． ‎ ‎12．对于函数，若存在区间，使时，，则称区间为函数的“倍区间”．已知函数，则的“5倍区间”的个数是 A．0 B．‎1 ‎‎ ‎‎ C．2 D．3‎ 第Ⅱ卷(非选择题:共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13．设为虚数单位，则复数= ．‎ ‎14．焦点在轴上，渐近线方程为的双曲线的离心率为 ．‎ ‎15．已知△的三个内角所对的边分别为，若△的面积为,则 ．‎ ‎16．给出下列命题：‎ ‎①的最小值是2；‎ ‎②；‎ ‎③若不等式对任意恒成立，则的取值范围为．‎ 真命题的序号是 ．(写出所有正确命题的序号)‎ 三、解答题：本大题共６小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83，乙同学成绩的平均分是86分.‎ ‎ （Ⅰ）求和的值； ‎ ‎（Ⅱ）现从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．‎ ‎ 甲 乙 ‎ 6 3 7 8 ‎ ‎ 7 1 8 3 3 ‎ ‎ 2 3 9 0 1 6‎ ‎（第17题图）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求在上的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数，求的值域. ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在三棱锥中，⊥底面，分别是线段的中点.‎ ‎（Ⅰ）若， ，求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）若点在线段上，且，证明：直线∥平面． ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设直线是曲线的一条切线，． ‎ ‎（Ⅰ）求切点坐标及的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，存在，求实数的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程．要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择．据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20﹪改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30﹪改选“音乐欣赏”，用分别表示在第次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．‎ ‎(Ⅰ)若，分别求出第二次,第三次选“音乐欣赏”课的人数；‎ ‎(Ⅱ)（ⅰ）证明数列是等比数列，并用表示；‎ ‎ （ⅱ）若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800，求的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分1４分）‎ 已知圆，椭圆．‎ ‎（Ⅰ）若点在圆上，线段的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点的横坐标；‎ ‎（Ⅱ）现有如下真命题：‎ ‎“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”；‎ ‎“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”．‎ 据此,写出一般结论，并加以证明．‎ 厦门市2013届高三质量检查 数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1—6：BAADDC 7—12： BCCCBD ‎12.提示：先证明函数在R上是增函数，再确定方程有三个不等根，得有三个“5倍区间”．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.‎ ‎13． 14. 15. 16. ②‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．‎ ‎17. 本题主要考查茎叶图，样本的数字特征，古典概型，考查数据处理能力和运算求解能力，考查或然与必然的数学思想．满分12分.‎ 解：（Ⅰ）甲同学成绩的中位数是83，‎ ‎ , ……………………………………………… 3分 ‎ 乙同学的平均分是86分，‎ ‎ ,‎ ‎ . …………………………………………………… 6分 ‎ ‎（Ⅱ）甲同学成绩在［90，100］之间的试卷有二份，分别记为，， ‎ ‎ 乙同学成绩在［90，100］之间的试卷有三份，分别记为，，，‎ ‎ “从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为：‎ ‎， ，，，，，，，，共有10种情况， …………………………………………… 9分 ‎ 记“从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件，则事件包含的基本事件为：‎ ‎ ，，，，，共有6种情况……11分 ‎ 则， ‎ 答：从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，恰抽到一份甲同学试卷的概率为. ……………………………………………………………………12分 ‎18. 本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的基本性质，考查运算求解的能力，化归与转化的思想．满分12分.‎ 解:（Ⅰ），………………………………………2分 ‎， ………………4分 ‎； 　………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，， ………7分 设，当时，，‎ 则， ……………………………………………………9分 由二次函数的单调性可知，，‎ 又, ………………………………………………11分 则函数的值域为． ………………………………………………………12分 ‎19. 本题主要考查直线与平面的位置关系、棱锥体积计算，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分. ‎ 解：（Ⅰ）在中，，‎ 点是线段的中点 AD⊥ ‎ ‎ ， …………………3分 ‎⊥底面，‎ ‎．……6分 ‎（Ⅱ）法一:取CD的中点H,连接FH,EH,‎ ‎∵E为线段PD的中点,∴△PDC中,EH∥PC,‎ ‎∵EH 平面，PC平面 ， ‎ ‎∴EH∥平面,　　　……………………8分 ‎∵,∴△ABC中,FH∥AC,‎ ‎∵FH 平面，AC平面， ‎ ‎∴FH∥平面,　　……………………………10分 ‎ FHEH=H， 平面EHF∥平面 ，………11分 ‎ ＥF平面EHF，∥平面. ………12分 法二:分别取AD，AB的中点M，N，连结EM，MF，DN，‎ 点、M是分别是线段、AD的中点，EM∥PA，‎ EM 平面，PA平面 ，‎ EM∥平面，…………………………………8分 ‎，，点F是线段AN的中点,‎ 在中，AF=FN，AM=MD， MF∥DN,‎ 在中，AN=NB，CD=DB， DN∥AC，MF∥AC，‎ MF平面，AC平面， MF∥平面， …………10分 ‎ EMMF=M ，平面EMF∥平面 ， …………………………11分 ‎ EF平面EMF，∥平面.　　 ………………………………12分 ‎20.本题主要考查函数的单调性,最值,切线,含参数的不等式成立问题，考查运算求解的能力,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法．满分12分.‎ ‎（Ⅰ）解：设直线与曲线相切于点，‎ ‎, ‎ ‎ , 解得或,…………………………………2分 当时，，在曲线上，∴,‎ 当时，，在曲线上，∴,‎ 切点，， ……………………………………………4分 切点， ． ……………………………………………6分 ‎(Ⅱ)解法一：∵，∴，‎ 设，‎ 若存在，则只要， ……………8分 ‎ ‎， ‎ ‎(ⅰ)若即，令，得， ‎ ‎ ，∴在上是增函数，‎ 令，解得，在上是减函数，‎ ‎，,‎ 解得，…………………………………………………………………10分 ‎(ⅱ)若即，令，解得，‎ ‎， ∴在上是增函数，‎ ‎ ，不等式无解，不存在， …………11分 综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数的取值范围为．………………………12分 解法二：由得, ‎ ‎(ⅰ)当时，，设 若存在，则只要， ……8分 ‎，‎ 令 解得在上是增函数，‎ 令，解得 在上是减函数，‎ ‎，， ……………………………10分 ‎（ⅱ）当时，不等式 不成立，‎ ‎∴不存在， ……………………………………………………………11分 综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数的取值范围为． ………………12分 ‎21. 本题主要考查数列的概念，等比数列的定义，数列求和，考查运算求解的能力，应用意识，考查特殊与一般的思想，分类与整合的思想． 满分12分.‎ 解：(Ⅰ)由已知，又，, ……………………1分 ‎ ∴，…………………………………………………2分 ‎∴，‎ ‎ ∴．……………………………………4分 ‎(Ⅱ)（ⅰ）由题意得，‎ ‎ ，……………………5分 ‎ ，---------------------------------6分 ‎ ，，‎ 数列是等比数列，-------------------------------7分 ‎ ，‎ 得-----------------------------8分 ‎ ‎ ‎（ⅱ）前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列的前10项和，‎ ‎ ，…10分 由已知，， ‎ 得，‎ ‎ ，，…………………11分 ‎，∴的取值范围是,且．……12分 ‎22. 本题考查直线，圆，椭圆等基础知识，考查运算求解能力，类比、探究归纳能力，考查数形结合思想，化归与转化思想．满分14分．‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）设点，则， （1）　　 ……………………1分 设线段的垂直平分线与相交于点，则，……2分 椭圆的右焦点， ………………3分 ‎,， ，‎ ‎， （2）…………………………4分 由（1），（2），解得 ，点的横坐标为．…5分 ‎（Ⅱ）一般结论为：‎ ‎“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直．”………………………………6分 证明如下：‎ ‎（ⅰ）当过点与椭圆相切的一条切线的斜率 不存在时，此时切线方程为，‎ 点在圆上 ，，‎ 直线恰好为过点与椭圆相切的另一条切线，‎ 两切线互相垂直．…………………………………………7分 ‎（ⅱ）当过点与椭圆相切的切线的斜率存在时，‎ 可设切线方程为，‎ 由得 ，‎ 整理得，…9分 直线与椭圆相切，‎ ‎，‎ 整理得，………………………11分 ‎， ……………………………………………… 12分 点在圆上，，……13分 ‎，，两切线互相垂直，‎ 综上所述，命题成立．…………………………………………………14分 解法二：‎ ‎（Ⅰ）设点，则， （1）……………………………1分 椭圆的右焦点，………………………………2分 点在线段的垂直平分线上， ，‎ ‎ ， ， （2）……4分 由（1），（2），解得， 点的横坐标为．……………5分 ‎（Ⅱ）同解法一．‎