2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-4 13页

第二课时　导数与函数零点 内容索引 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 思想方法　化归与转化思想在函数零点 ( 方程的根 ) 中的应用  【 典例 】 设 f(x)=x- -2ln x. (1) 求证 : 当 x≥1 时 ,f(x)≥0 恒成立 . (2) 讨论关于 x 的方程 x- -f(x)=x 3 -2ex 2 +tx 根的个数 . 【 解析 】 (1)f(x)=x- -2ln x 的定义域为 (0,+∞). 因为 f′(x)=1+ 　 所以 f(x) 在 [1,+∞) 上是单调递增函数 , 所以 f(x)≥f(1)=1-1-2ln 1=0 对于 x∈[1,+∞) 恒成立 . 故当 x≥1 时 ,f(x)≥0 恒成立 . (2) 化简方程得 2ln x=x 3 -2ex 2 +tx. 由题知 x>0, 则方程可变为 　　 =x 2 -2ex+t. 令 L(x)= 　　 ,H(x)=x 2 -2ex+t, 则 L′(x)= 　 当 x∈(0,e) 时 ,L′(x)>0, 所以 L(x) 在 (0,e) 上为单调递增函数 ; 当 x∈(e,+∞) 时 ,L′(x)<0, 所以 L(x) 在 (e,+∞) 上为单调递减函数 . 所以当 x=e 时 ,L(x) max =L(e)= . 函数 L(x)= 　 ,H(x)=(x-e) 2 +t-e 2 在同一坐标系内的大致图象如图所示 . 由图象可知 ,① 当 t-e 2 > , 即 t>e 2 + 时 , 方程无实数根 ; ② 当 t-e 2 = , 即 t=e 2 + 时 , 方程有一个实数根 ; ③ 当 t-e 2 < , 即 t0. 因为函数 f(x) 在区间 [1,2) 上单调递增 , 所以 f′(x)≥0 在区间 [1,2) 上恒成立 . 即 a≤x 2 +x 在区间 [1,2) 上恒成立 . 易得当 1≤x<2 时 ,2≤x 2 +x<6, 所以 a≤2. 故实数 a 的取值范围为 (-∞,2]. (3) 因为 g(x)=f′(x)-x, 所以 g(x)=1- -x, x>0. 令 g(x)=0 得 a=-x 3 +x 2 +x, 令 h(x)=-x 3 +x 2 +x,x>0, 则 h′(x)=-3x 2 +2x+1=-(3x+1)(x-1). 当 x∈(0,1) 时 ,h′(x)>0,h(x) 在 (0,1) 上单调递增 ; 当 x∈(1,+∞) 时 ,h′(x)<0, h(x) 在 (1,+∞) 上单调递减 . 画出函数 h(x) 的草图 , 易得 h(x)≤h(1)=1, 并且图象无限靠近于原点 , 且当 x→+∞ 时 ,h(x)→-∞, 故当 a>1 时 , 函数 g(x) 无零点 ; 当 a=1 或 a≤0 时 , 函数 g(x) 有一个零点 ; 当 0