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  • 2021-07-01 发布

高中数学第一章导数及其应用1_5定积分的概念学案新人教A版选修2_2

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定积分的概念 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P38~P47的内容,回答下列问题. 观察教材图-2,阴影部分是由抛物线 y=x2 与直线 x=1,y=0 所围成的平面图形. (1)通常称这样的平面图形为什么图形? 提示:曲边梯形. (2)如何求出所给平面图形的面积近似值? 提示:把平面图形分成多个小曲边梯形,求这些小曲边梯形的面积和. (3)如何更精确地求出阴影部分的面积 S? 提示:分割的曲边梯形数目越多,所求得面积越精确. 2.归纳总结,核心必记 (1)连续函数 如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线,那么我们就把它称为 区间 I上的连续函数. (2)曲边梯形的面积 ①曲边梯形:由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边 梯形(如图①). ②求曲边梯形面积的方法与步骤: (ⅰ)分割:把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如 图②); (ⅱ)近似代替:对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形 的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); (ⅲ)求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; (ⅳ)取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定 值,即为曲边梯形的面积. (3)求变速直线运动的位移(路程) 如果物体做变速直线运动,速度函数为 v=v(t),那么我们也可以采用分割、近似代替、 求和、取极限的方法,求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s. (4)定积分 ①定积分的概念 如果函数 f(x)在某个区间[a,b]上连续,用分点 a= 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫 做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 错误!f(x)dx, 其中 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. ②定积分的几何意义 如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分 错误!f(x)dx 表示由直 线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分 错误!f(x)dx 的几何意义. ③定积分的基本性质 (ⅰ)错误!kf(x)dx=k错误!f(x)dx(k 为常数); (ⅱ)错误![f1(x)±f2(x)]dx=错误!f1(x)dx±错误!f2(x)dx; (ⅲ)错误!f(x)dx=错误!f(x)dx+错误!f(x)dx(其中 a<c<b). [问题思考] (1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么? 提示:前者有一边是曲线段,而“直边图形”的所有边都是直线段. (2)求曲边梯形面积时,能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢?怎样才能减小 误差? 提示:不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”,否则误差太大,为了减小近似代替 的误差,需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”,而且分割的曲边梯形数目越多, 得到面积的误差越小. (3)在“近似代替”中,如果取任意ξi∈ i-1 n , i n 处的函数值 f(ξi)作为近似值,求 出的 S有变化吗? 提示:没有变化. (4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点? 提示:求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以 不变代变”的思想方法. (5)错误!f(x)dx 是一个常数还是一个变量?错误!f(x)dx 与积分变量有关系吗? 提示:由定义可得定积分 错误!f(x)dx 是一个常数,它的值仅取决于被积函数与积分上、 下限,而与积分变量没有关系,即 错误!f(x)dx=错误!f(t)dt=错误!f(u)du. (6)在定积分的几何意义中 f(x)≥0,如果 f(x)<0,错误!f(x)dx 表示什么? 提示:如果在区间[a,b]上,函数 f(x)<0,那么曲边梯形位于 x 轴的下方(如图所示), 由于Δxi>0,f(ξi)<0, 故 f(ξi)·Δxi <0,从而定积分 错误!f(x)dx<0,这时它等于图中所示曲边梯形面积的 相反数, 即 错误!f(x)dx=-S 或 S=-错误!f(x)dx. (7)错误! 4-x 2dx 的几何意义是什么? 提示:是由直线 x=0,x=2,y=0 和曲线 y= 4-x 2 所围成的曲边梯形面积,即以原 点为圆心,2 为半径的 1 4 圆的面积即 错误! 4-x 2dx=π. [课前反思] 通过以上预习,必须掌握的几个知识点. (1)连续函数的定义是什么? ; (2)求曲边梯形面积的方法和步骤是什么? ; (3)求变速直线运动的位移(路程)的方法和步骤是什么? ; (4)定积分的概念、几何意义是什么?有哪些基本性质? . . 讲一讲 1.如图所示,求直线 x=0,x=3,y=0 与二次函数 f(x)=-x2+2x+3所围成的曲边 梯形的面积. (提示:12+22+32+…+n2= 1 6 n·(n+1)(2n+1)) [尝试解答] (1)如图,分割,将区间[0,3]n 等分,则每个小区间 3 i-1 n , 3i n (i=1,2,…,n) 的长度为Δx= 3 n .分别过各分点作 x 轴的垂线,把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形. (2)近似代替 以每个小区间的左端点函数值为高作 n个小矩形. 则当 n很大时,用 n个小矩形面积之和 Sn近似代替曲边梯形的面积 S. (3)求和 Sn=错误! 3 i-1 n Δx =错误! - 9 i-1 2 n2 +2× 3 i-1 n +3 × 3 n =- 27 n3 [12+22+…+(n-1)2]+ 18 n2 [1+2+3+…+(n-1)]+9 =- 27 n3 × 1 6 (n-1)n(2n-1)+ 18 n2 × n n-1 2 +9 =-9 1- 1 n 1- 1 2n +9 1- 1 n +9. 所以 S≈Sn=-9 1- 1 n 1- 1 2n +9 1- 1 n +9. (4)取极限 =-9(1-0)(1-0)+9(1-0)+9 =9, 即所求曲边梯形的面积为 9. 求曲边梯形面积的思想和步骤 (1)求曲边梯形面积的思想是“以直代曲”,即用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面 积;“逐步逼近”,即用 n 个小矩形的面积的和 Sn来逼近曲边梯形的面积 S. (2)求曲边梯形面积的步骤:分割、近似代替、求和、取极限. 练一练 1.求由抛物线 y=x 2 与直线 y=4 所围成的曲边梯形的面积. 解:因为 y=x 2 为偶函数,图象关于 y 轴对称,所以所求曲边梯形的面积应为抛物线 y =x 2 (x≥0)与直线 x=0,y=4所围图形面积 S 阴影的 2倍,下面求 S 阴影. 由 y=x 2 x≥0 , y=4 得交点为(2,4), 如图所示,先求由直线 x=2,y=0 和曲线 y=x 2 (x≥0)围成的曲边梯形的面积. (1)分割 将区间[0,2]n 等分,则Δx= 2 n ,取ξi= 2 i-1 n . (2)近似代替求和 Sn=错误! 2 i-1 n 2 · 2 n = 8 n3 [1 2 +2 2 +3 2 +…+(n-1) 2 ]= 8 3 1- 1 n 1- 1 2n . (3)取极限 所以所求平面图形的面积为 S 阴影=2×4- 8 3 = 16 3 . 所以 2S 阴影= 32 3 , 即抛物线 y=x2与直线 y=4 所围成的图形面积为 32 3 . [思考] 求变速直线运动的路程与求曲边梯形的面积有什么相似之处? 名师指津:与求曲边梯形面积类似,将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做 匀速直线运动的路程问题,求得各小区间上路程和的极限即为变速直线运动的路程. 讲一讲 2.已知汽车做变速直线运动,在时刻 t 的速度为 v(t)=-t 2 +2t(单位:km/h),求它 在 1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少? [尝试解答] 将时间区间[1,2]等分成n个小区间,则第i个小区间为 1+ i-1 n ,1+ i n , 在第i个时间段的路程近似为Δsi=v 1+ i n Δt= - 1+ i n 2 +2 1+ i n · 1 n ,i=1,2,…, n. 所以 sn=错误!si=错误! - 1+ i n 2 +2 1+ i n · 1 n =- 1 n3 [(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(2n)2]+ 2 n2 [(n+1)+(n+2)+…+2n] =- 1 n3 2n 2n+1 4n+1 6 - n n+1 2n+1 6 + 2 n2 · n n+1+2n 2 =- 1 3 2+ 1 n 4+ 1 n + 1 6 1+ 1 n 2+ 1 n +3+ 1 n , 所以这段时间行驶的路程为 2 3 km. 求变速直线运动路程的问题,方法和步骤类似于求曲边梯形的面积,用“以直代 曲”“逼近”的思想求解.求解过程为:分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速 直线运动的时间区间. 练一练 2.已知作自由落体运动的物体的运动速度 v=gt,求在时间区间[0,t]内物体下落的 距离. 解:①分割. 将时间区间[0,t]等分成 n 个小区间,其中第 i 个区间为 i-1 n t, it n (i=1,2,…,n), 每个小区间所表示的时间段Δt= it n - i-1 n t= t n ,在各小区间内物体下落的距离,记作Δsi. ②近似代替. 在 i-1 n t, it n 上取ξi= i-1 n t,则 v(ξi)=g· i-1 n t,因此在每个小区间内所经过的 距离可近似表示为Δsi≈g· i-1 n t· t n (i=1,2,…,n). ③求和. 错误!si≈错误!· i-1 n t· t n = gt2 n2 [0+1+2+…+(n-1)]= 1 2 gt 2 1- 1 n . ④取极限. 讲一讲 3.求下列定积分的值: (1)错误!(x+1)dx; (2)错误! 9-x 2dx. [尝试解答] (1)法一:(定义法)f(x)=x+1 在区间[1,2]上连续,将区间[1,2]等分成 n个小区间 1+ i-1 n ,1+ i n (i=1,2,…,n),每个区间的长度为Δx= 1 n , 在 1+ i-1 n ,1+ i n 上取ξi=1+ i-1 n (i=1,2,…,n), ∴f(ξi)=1+1+ i-1 n =2+ i-1 n , ∴错误!(ξi)·Δx=错误! 2+ i-1 n · 1 n =错误! 2 n + i-1 n 2 = 2 n ·n+ 1 n2 [0+1+2+…+(n-1)] =2+ n-1 2n =2+ 1 2 - 1 2n = 5 2 - 1 2n , 法二:(几何意义)错误!(x+1)dx表示如图所示阴影部分的面积.由于梯形的面积S= 1 2 (2 +3)×1= 5 2 ,故错误!(x+1)dx= 5 2 . (2)在平面上 y= 9-x 2 表示的几何图形为以原点为圆心、以 3 为半径的上半圆如图所 示, 其面积为 S= 1 2 ·π·32= 9 2 π.由定积分的几何意义知 错误! 9-x 2dx= 9 2 π. (1)用定义求定积分 错误!f(x)dx 的一般方法是: ①分割:将区间[a,b]n 等分,记第 i个小区间为[xi-1,xi],区间长度Δx=xi-xi-1; ②近似代替、求和:取点ξi∈[xi-1,xi],错误!f(x)dx≈错误!(ξi)Δx; (2)利用几何意义求定积分的方法 利用定积分所表示的几何意义求 错误!f(x)dx 的值的关键是确定由曲线 y=f(x),直线 x=a,直线 x=b及 x轴所围成的平面图形的形状.常见形状是三角形、直角梯形、矩形、 圆等可求面积的平面图形. 练一练 3.求下列定积分的值: (1)错误!2dx;(2)错误!xdx;(3)错误! 1-x 2dx. 解:(1)错误!2dx 表示的是图①中阴影所示长方形的面积,由于这个长方形的面积为 2, 所以 错误!2dx=2. (2)错误!xdx 表示的是图②中阴影所示梯形的面积,由于这个梯形的面积为 3 2 ,所以 错误!xdx= 3 2 . (3)错误! 1-x 2dx 表示的是图③中阴影所示半径为 1的半圆的面积,其值为 π 2 ,所以 错误! 1-x 2dx= π 2 . 讲一讲 4.已知 错误!x3dx= 1 4 ,错误!x3dx= 15 4 ,错误!x2dx= 7 3 ,错误!= 56 3 ,求下列各式的值: (1)错误!(3x3 )dx;(2)错误!(6x2 )dx;(3)错误!(3x2 -2x 3 )dx. [尝试解答] (1)错误!(3x3 )dx=3错误!x3dx=3错误!=3× 1 4 + 15 4 =12. (2)错误!(6x2 )dx=6错误!x2dx=6错误! =6× 7 3 + 56 3 =126. (3)错误!(3x2 -2x 3 )dx=错误!(3x2 )dx-错误!(2x3 )dx =3错误!x2dx-2错误!x3dx=3× 7 3 -2× 15 4 =- 1 2 . (1)定积分性质的推广 ① 错误! [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx = 错误!f1(x)dx±错误!f2(x)dx±…±错误!fn(x)dx; (2)奇、偶函数在区间[-a,a]上的定积分 ①若奇函数 y=f(x)在[-a,a]上连续, ②若偶函数 y=g(x)在[-a,a]上连续, 练一练 4.已知错误![f(x)+g(x)]dx=12,错误!g(x)dx=6,求错误! 解:∵错误!f(x)dx+错误!g(x)dx=错误![f(x)+g(x)]dx, ∴错误!f(x)dx=12-6=6, ∴错误!3f(x)dx=3错误!f(x)dx=3×6=18. ——————————————[课堂归纳·感悟提 升]——————————————— 1.本节课的重点是定积分的几何意义及定积分的性质,难点是定积分的概念. 2.本节课要重点掌握的规律方法 (1)会用定义或定积分的几何意义求定积分,见讲 3; (2)会用定积分的性质求定积分,见讲 4. 3.在利用定积分的几何意义求定积分时,要注意积分上、下限及积分函数 f(x)的符号, 这是本节课的易错点. 课下能力提升(九) [学业水平达标练] 题组 1 求曲边梯形的面积 1.在求直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x2 所围成的曲边梯形的面积时,把区间[0,2] 等分成 n个小区间,则第 i个小区间是( ) 错误! 错误! 错误! 错误! 解析:选 C 将区间[0,2]等分为 n 个小区间后,每个小区间的长度为 2 n ,第 i 个小区间 为 2 i-1 n , 2i n . 2.对于由直线 x=1,y=0和曲线 y=x3 所围成的曲边梯形,把区间 3 等分,则曲边梯 形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) 错误! 错误! 错误! 错误! 解析:选 A 将区间[0,1]三等分为 0, 1 3 , 1 3 , 2 3 , 2 3 ,1 ,各小矩形的面积和为 S=0 3 · 1 3 + 1 3 3 · 1 3 + 2 3 3 · 1 3 = 9 81 = 1 9 . 3.求由直线 x=0,x=1,y=0 和曲线 y=x(x-1)围成的图形的面积. 解:(1)分割 将曲边梯形分割成n个小曲边梯形,在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将区间[0,1] 等分成 n 个小区间: 0, 1 n , 1 n , 2 n ,…, n-1 n ,1 , 记第 i个区间为 i-1 n , i n (i=1,2,…,n),其长度为 Δx= i n - i-1 n = 1 n . 把每个小曲边梯形的面积记为 ΔS1,ΔS2,…,ΔSn. (2)近似代替 根据题意可得第 i 个小曲边梯形的面积 ΔSi= |f i-1 n ·Δx| = | i-1 n · i-1 n -1 · 1 n | = i-1 n2 · 1- i-1 n (i=1,2,…,n). (3)求和 把每个小曲边梯形近似地看作矩形,求出这 n 个小矩形的面积的和 Sn=错误!|f i-1 n ·Δx| =错误! i-1 n2 · 1- i-1 n = 1 6 · 1- 1 n2 , 从而得到所求图形面积的近似值 S≈ 1 6 · 1- 1 n2 . (4)取极限 即直线 x=0,x=1,y=0 和曲线 y=x(x-1)围成的图形的面积为 1 6 . 题组 2 求变速直线运动的路程 4.一物体沿直线运动,其速度 v(t)=t,这个物体在 t=0 到 t=1 这段时间内所走的 路程为( ) 错误! 错误! C. 1 错误! 解析:选 B 曲线 v(t)=t 与直线 t=0,t=1,横轴围成的三角形面积 S= 1 2 即为这段 时间内物体所走的路程. 5.若做变速直线运动的物体 v(t)=t2 在 0≤t≤a 内经过的路程为 9,求 a的值. 解:将区间[0,a]n 等分,记第 i个区间为 a i-1 n , ai n (i=1,2,…,n),此区间长 为 a n , 用小矩形面积 ai n 2 · a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积,则 错误! ai n 2 · a n = a3 n3 ·(1 2 +2 2 +…+n2 )= a3 3 1+ 1 n 1+ 1 2n 近似地等于速度曲线 v(t)=t2 与直线 t=0,t=a,t轴围成 的曲边梯形的面积. ∴ a3 3 =9,解得 a=3. 题组 3 定积分的计算及性质 6.下列等式不成立的是( ) 解析:选 C 利用定积分的性质可判断 A,B,D成立,C 不成立. 例如 错误!xdx=2,错误!2dx=4,错误!2xdx=4,但错误!2xdx≠错误!xdx·错误!2dx. 7.图中阴影部分的面积用定积分表示为( ) 错误!2x dx 错误!(2x -1)dx 错误!(2x +1)dx 错误!(1-2 x )dx 解析:选 B 根据定积分的几何意义,阴影部分的面积为 错误!2xdx-错误!1dx=错误!(2x -1)dx. 8.S1=错误!xdx 与 S2=错误!x2dx 的大小关系是( ) A.S1=S2 B.S 2 1=S2 C.S1>S2 D.S1S2. 9.已知 错误!x2dx= 1 3 ,错误!x2dx= 7 3 ,错误!1dx=2,则错误!(x2+1)dx=________. 解析:由定积分的性质可知 错误!(x2 +1)dx =错误!x2dx+错误!1dx =错误!x2dx+错误!x2dx+2 = 1 3 + 7 3 +2= 14 3 . 答案: 14 3 10.用定积分的几何意义计算下列定积分: 而 S= 5 2 ×5 2 = 25 4 , (2)令 y= 4-x 2 +2,则 y= 4-x 2 +2表示以(0,2)为圆心,2 为半径的圆的上半圆, [能力提升综合练] 1.若 错误!f(x)dx=1,错误!g(x)dx=-3,则错误![2f(x)+g(x)]dx=( ) A.2 B.-3 C.-1 D.4 解析:选 C 错误![2f(x)+g(x)]dx=2错误!f(x)dx+错误!g(x)dx=2×1-3=-1. 2.若 f(x)为偶函数,且 错误!f(x)dx=8,则 等于( ) A.0 B.4 C.8 D.16 解析:选 D ∵被积函数 f(x)为偶函数, ∴在 y轴两侧的函数图象对称,从而对应的曲边梯形面积相等. 3.定积分错误!(-3)dx 等于( ) A.-6 B.6 C.-3 D.3 解析:选 A ∵错误!3dx 表示图中阴影部分的面积 S=3×2=6, ∴错误!(-3)dx=-错误!3dx=-6. 又 y=sin x 与 y=2x 都是奇函数,故所求定积分为 0. 答案:0 解析:由 y= 4-x 2 可知 x 2 +y 2 =4(y≥0),其图象如图. 等于圆心角为 60°的弓形 CD 的面积与矩形 ABCD 的面积之和. S 弓形= 1 2 × π 3 ×22- 1 2 ×2×2sin π 3 = 2π 3 - 3. S 矩形=AB·BC=2 3. 答案: 2π 3 + 3 6.用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积. (1)y=|sin x|,y=0,x=2,x=5; 解:(1)曲线所围成的平面区域如图所示. 设此面积为 S, (2)曲线所围成的平面区域如图所示. 解:如图,