高中数学第一章导数及其应用1_5定积分的概念学案新人教A版选修2_2 15页

定积分的概念 [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P38～P47的内容，回答下列问题． 观察教材图－2，阴影部分是由抛物线 y＝x2 与直线 x＝1，y＝0 所围成的平面图形． (1)通常称这样的平面图形为什么图形？ 提示：曲边梯形． (2)如何求出所给平面图形的面积近似值？ 提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和． (3)如何更精确地求出阴影部分的面积 S? 提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确． 2．归纳总结，核心必记 (1)连续函数 如果函数 y＝f(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为 区间 I上的连续函数． (2)曲边梯形的面积 ①曲边梯形：由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的图形称为曲边 梯形(如图①)． ②求曲边梯形面积的方法与步骤： (ⅰ)分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如 图②)； (ⅱ)近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形 的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； (ⅲ)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； (ⅳ)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定 值，即为曲边梯形的面积． (3)求变速直线运动的位移(路程) 如果物体做变速直线运动，速度函数为 v＝v(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、 求和、取极限的方法，求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s. (4)定积分 ①定积分的概念 如果函数 f(x)在某个区间[a，b]上连续，用分点 a= 当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫 做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 错误!f(x)dx， 其中 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做 被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式． ②定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分 错误!f(x)dx 表示由直 线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分 错误!f(x)dx 的几何意义． ③定积分的基本性质 (ⅰ)错误!kf(x)dx＝k错误!f(x)dx(k 为常数)； (ⅱ)错误![f1(x)±f2(x)]dx＝错误!f1(x)dx±错误!f2(x)dx； (ⅲ)错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx(其中 a＜c＜b)． [问题思考] (1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？ 提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段． (2)求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小 误差？ 提示：不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大，为了减小近似代替 的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多， 得到面积的误差越小． (3)在“近似代替”中，如果取任意ξi∈ i－1 n ， i n 处的函数值 f(ξi)作为近似值，求 出的 S有变化吗？ 提示：没有变化． (4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点？ 提示：求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以 不变代变”的思想方法． (5)错误!f(x)dx 是一个常数还是一个变量？错误!f(x)dx 与积分变量有关系吗？ 提示：由定义可得定积分 错误!f(x)dx 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量没有关系，即 错误!f(x)dx＝错误!f(t)dt＝错误!f(u)du. (6)在定积分的几何意义中 f(x)≥0，如果 f(x)<0，错误!f(x)dx 表示什么？ 提示：如果在区间[a，b]上，函数 f(x)<0，那么曲边梯形位于 x 轴的下方(如图所示)， 由于Δxi>0，f(ξi)<0， 故 f(ξi)·Δxi <0，从而定积分 错误!f(x)dx<0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的 相反数， 即 错误!f(x)dx＝－S 或 S＝－错误!f(x)dx. (7)错误! 4－x 2dx 的几何意义是什么？ 提示：是由直线 x＝0，x＝2，y＝0 和曲线 y＝ 4－x 2 所围成的曲边梯形面积，即以原 点为圆心，2 为半径的 1 4 圆的面积即 错误! 4－x 2dx＝π. [课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)连续函数的定义是什么？ ； (2)求曲边梯形面积的方法和步骤是什么？ ； (3)求变速直线运动的位移(路程)的方法和步骤是什么？ ； (4)定积分的概念、几何意义是什么？有哪些基本性质？ ． . 讲一讲 1．如图所示，求直线 x＝0，x＝3，y＝0 与二次函数 f(x)＝－x2＋2x＋3所围成的曲边 梯形的面积． (提示：12＋22＋32＋…＋n2＝ 1 6 n·(n＋1)(2n＋1)) [尝试解答] (1)如图，分割，将区间[0,3]n 等分，则每个小区间 3 i－1 n ， 3i n (i＝1,2，…，n) 的长度为Δx＝ 3 n .分别过各分点作 x 轴的垂线，把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形． (2)近似代替 以每个小区间的左端点函数值为高作 n个小矩形． 则当 n很大时，用 n个小矩形面积之和 Sn近似代替曲边梯形的面积 S. (3)求和 Sn＝错误! 3 i－1 n Δx ＝错误! － 9 i－1 2 n2 ＋2× 3 i－1 n ＋3 × 3 n ＝－ 27 n3 [12＋22＋…＋(n－1)2]＋ 18 n2 [1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋9 ＝－ 27 n3 × 1 6 (n－1)n(2n－1)＋ 18 n2 × n n－1 2 ＋9 ＝－9 1－ 1 n 1－ 1 2n ＋9 1－ 1 n ＋9. 所以 S≈Sn＝－9 1－ 1 n 1－ 1 2n ＋9 1－ 1 n ＋9. (4)取极限 ＝－9(1－0)(1－0)＋9(1－0)＋9 ＝9， 即所求曲边梯形的面积为 9. 求曲边梯形面积的思想和步骤 (1)求曲边梯形面积的思想是“以直代曲”，即用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面 积；“逐步逼近”，即用 n 个小矩形的面积的和 Sn来逼近曲边梯形的面积 S. (2)求曲边梯形面积的步骤：分割、近似代替、求和、取极限． 练一练 1．求由抛物线 y＝x 2 与直线 y＝4 所围成的曲边梯形的面积． 解：因为 y＝x 2 为偶函数，图象关于 y 轴对称，所以所求曲边梯形的面积应为抛物线 y ＝x 2 (x≥0)与直线 x＝0，y＝4所围图形面积 S 阴影的 2倍，下面求 S 阴影． 由 y＝x 2 x≥0 ， y＝4 得交点为(2,4)， 如图所示，先求由直线 x＝2，y＝0 和曲线 y＝x 2 (x≥0)围成的曲边梯形的面积． (1)分割 将区间[0,2]n 等分，则Δx＝ 2 n ，取ξi＝ 2 i－1 n . (2)近似代替求和 Sn＝错误! 2 i－1 n 2 · 2 n ＝ 8 n3 [1 2 ＋2 2 ＋3 2 ＋…＋(n－1) 2 ]＝ 8 3 1－ 1 n 1－ 1 2n . (3)取极限 所以所求平面图形的面积为 S 阴影＝2×4－ 8 3 ＝ 16 3 . 所以 2S 阴影＝ 32 3 ， 即抛物线 y＝x2与直线 y＝4 所围成的图形面积为 32 3 . [思考] 求变速直线运动的路程与求曲边梯形的面积有什么相似之处？ 名师指津：与求曲边梯形面积类似，将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做 匀速直线运动的路程问题，求得各小区间上路程和的极限即为变速直线运动的路程． 讲一讲 2．已知汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度为 v(t)＝－t 2 ＋2t(单位：km/h)，求它 在 1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？ [尝试解答] 将时间区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为 1＋ i－1 n ，1＋ i n ， 在第i个时间段的路程近似为Δsi＝v 1＋ i n Δt＝ － 1＋ i n 2 ＋2 1＋ i n · 1 n ，i＝1,2，…， n. 所以 sn＝错误!si＝错误! － 1＋ i n 2 ＋2 1＋ i n · 1 n ＝－ 1 n3 [(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋ 2 n2 [(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n] ＝－ 1 n3 2n 2n＋1 4n＋1 6 － n n＋1 2n＋1 6 ＋ 2 n2 · n n＋1＋2n 2 ＝－ 1 3 2＋ 1 n 4＋ 1 n ＋ 1 6 1＋ 1 n 2＋ 1 n ＋3＋ 1 n ， 所以这段时间行驶的路程为 2 3 km. 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代 曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速 直线运动的时间区间． 练一练 2．已知作自由落体运动的物体的运动速度 v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的 距离． 解：①分割． 将时间区间[0，t]等分成 n 个小区间，其中第 i 个区间为 i－1 n t， it n (i＝1,2，…，n)， 每个小区间所表示的时间段Δt＝ it n － i－1 n t＝ t n ，在各小区间内物体下落的距离，记作Δsi. ②近似代替． 在 i－1 n t， it n 上取ξi＝ i－1 n t，则 v(ξi)＝g· i－1 n t，因此在每个小区间内所经过的 距离可近似表示为Δsi≈g· i－1 n t· t n (i＝1,2，…，n)． ③求和． 错误!si≈错误!· i－1 n t· t n ＝ gt2 n2 [0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝ 1 2 gt 2 1－ 1 n . ④取极限． 讲一讲 3．求下列定积分的值： (1)错误!(x＋1)dx； (2)错误! 9－x 2dx. [尝试解答] (1)法一：(定义法)f(x)＝x＋1 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成 n个小区间 1＋ i－1 n ，1＋ i n (i＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx＝ 1 n ， 在 1＋ i－1 n ，1＋ i n 上取ξi＝1＋ i－1 n (i＝1,2，…，n)， ∴f(ξi)＝1＋1＋ i－1 n ＝2＋ i－1 n ， ∴错误!(ξi)·Δx＝错误! 2＋ i－1 n · 1 n ＝错误! 2 n ＋ i－1 n 2 ＝ 2 n ·n＋ 1 n2 [0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝2＋ n－1 2n ＝2＋ 1 2 － 1 2n ＝ 5 2 － 1 2n ， 法二：(几何意义)错误!(x＋1)dx表示如图所示阴影部分的面积．由于梯形的面积S＝ 1 2 (2 ＋3)×1＝ 5 2 ，故错误!(x＋1)dx＝ 5 2 . (2)在平面上 y＝ 9－x 2 表示的几何图形为以原点为圆心、以 3 为半径的上半圆如图所 示， 其面积为 S＝ 1 2 ·π·32＝ 9 2 π.由定积分的几何意义知 错误! 9－x 2dx＝ 9 2 π. (1)用定义求定积分 错误!f(x)dx 的一般方法是： ①分割：将区间[a，b]n 等分，记第 i个小区间为[xi－1，xi]，区间长度Δx＝xi－xi－1； ②近似代替、求和：取点ξi∈[xi－1，xi]，错误!f(x)dx≈错误!(ξi)Δx； (2)利用几何意义求定积分的方法 利用定积分所表示的几何意义求 错误!f(x)dx 的值的关键是确定由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，直线 x＝b及 x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、 圆等可求面积的平面图形． 练一练 3．求下列定积分的值： (1)错误!2dx；(2)错误!xdx；(3)错误! 1－x 2dx. 解：(1)错误!2dx 表示的是图①中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为 2， 所以 错误!2dx＝2. (2)错误!xdx 表示的是图②中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为 3 2 ，所以 错误!xdx＝ 3 2 . (3)错误! 1－x 2dx 表示的是图③中阴影所示半径为 1的半圆的面积，其值为 π 2 ，所以 错误! 1－x 2dx＝ π 2 . 讲一讲 4．已知 错误!x3dx＝ 1 4 ，错误!x3dx＝ 15 4 ，错误!x2dx＝ 7 3 ，错误!＝ 56 3 ，求下列各式的值： (1)错误!(3x3 )dx；(2)错误!(6x2 )dx；(3)错误!(3x2 －2x 3 )dx. [尝试解答] (1)错误!(3x3 )dx＝3错误!x3dx＝3错误!＝3× 1 4 ＋ 15 4 ＝12. (2)错误!(6x2 )dx＝6错误!x2dx＝6错误! ＝6× 7 3 ＋ 56 3 ＝126. (3)错误!(3x2 －2x 3 )dx＝错误!(3x2 )dx－错误!(2x3 )dx ＝3错误!x2dx－2错误!x3dx＝3× 7 3 －2× 15 4 ＝－ 1 2 . (1)定积分性质的推广 ① 错误! [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx ＝ 错误!f1(x)dx±错误!f2(x)dx±…±错误!fn(x)dx； (2)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分 ①若奇函数 y＝f(x)在[－a，a]上连续， ②若偶函数 y＝g(x)在[－a，a]上连续， 练一练 4．已知错误![f(x)＋g(x)]dx＝12，错误!g(x)dx＝6，求错误! 解：∵错误!f(x)dx＋错误!g(x)dx＝错误![f(x)＋g(x)]dx， ∴错误!f(x)dx＝12－6＝6， ∴错误!3f(x)dx＝3错误!f(x)dx＝3×6＝18. ——————————————[课堂归纳·感悟提 升]——————————————— 1．本节课的重点是定积分的几何意义及定积分的性质，难点是定积分的概念． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)会用定义或定积分的几何意义求定积分，见讲 3； (2)会用定积分的性质求定积分，见讲 4. 3．在利用定积分的几何意义求定积分时，要注意积分上、下限及积分函数 f(x)的符号， 这是本节课的易错点． 课下能力提升(九) [学业水平达标练] 题组 1 求曲边梯形的面积 1．在求直线 x＝0，x＝2，y＝0 与曲线 y＝x2 所围成的曲边梯形的面积时，把区间[0,2] 等分成 n个小区间，则第 i个小区间是( ) 错误! 错误! 错误! 错误! 解析：选 C 将区间[0,2]等分为 n 个小区间后，每个小区间的长度为 2 n ，第 i 个小区间 为 2 i－1 n ， 2i n . 2．对于由直线 x＝1，y＝0和曲线 y＝x3 所围成的曲边梯形，把区间 3 等分，则曲边梯 形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) 错误! 错误! 错误! 错误! 解析：选 A 将区间[0,1]三等分为 0， 1 3 ， 1 3 ， 2 3 ， 2 3 ，1 ，各小矩形的面积和为 S＝0 3 · 1 3 ＋ 1 3 3 · 1 3 ＋ 2 3 3 · 1 3 ＝ 9 81 ＝ 1 9 . 3．求由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1)围成的图形的面积． 解：(1)分割 将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0,1] 等分成 n 个小区间： 0， 1 n ， 1 n ， 2 n ，…， n－1 n ，1 ， 记第 i个区间为 i－1 n ， i n (i＝1,2，…，n)，其长度为 Δx＝ i n － i－1 n ＝ 1 n . 把每个小曲边梯形的面积记为 ΔS1，ΔS2，…，ΔSn. (2)近似代替 根据题意可得第 i 个小曲边梯形的面积 ΔSi＝ |f i－1 n ·Δx| ＝ | i－1 n · i－1 n －1 · 1 n | ＝ i－1 n2 · 1－ i－1 n (i＝1,2，…，n)． (3)求和 把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这 n 个小矩形的面积的和 Sn＝错误!|f i－1 n ·Δx| ＝错误! i－1 n2 · 1－ i－1 n ＝ 1 6 · 1－ 1 n2 ， 从而得到所求图形面积的近似值 S≈ 1 6 · 1－ 1 n2 . (4)取极限 即直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1)围成的图形的面积为 1 6 . 题组 2 求变速直线运动的路程 4．一物体沿直线运动，其速度 v(t)＝t，这个物体在 t＝0 到 t＝1 这段时间内所走的 路程为( ) 错误! 错误! C. 1 错误! 解析：选 B 曲线 v(t)＝t 与直线 t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积 S＝ 1 2 即为这段 时间内物体所走的路程． 5．若做变速直线运动的物体 v(t)＝t2 在 0≤t≤a 内经过的路程为 9，求 a的值． 解：将区间[0，a]n 等分，记第 i个区间为 a i－1 n ， ai n (i＝1,2，…，n)，此区间长 为 a n ， 用小矩形面积 ai n 2 · a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则 错误! ai n 2 · a n ＝ a3 n3 ·(1 2 ＋2 2 ＋…＋n2 )＝ a3 3 1＋ 1 n 1＋ 1 2n 近似地等于速度曲线 v(t)＝t2 与直线 t＝0，t＝a，t轴围成 的曲边梯形的面积． ∴ a3 3 ＝9，解得 a＝3. 题组 3 定积分的计算及性质 6．下列等式不成立的是( ) 解析：选 C 利用定积分的性质可判断 A，B，D成立，C 不成立． 例如 错误!xdx＝2，错误!2dx＝4，错误!2xdx＝4，但错误!2xdx≠错误!xdx·错误!2dx. 7．图中阴影部分的面积用定积分表示为( ) 错误!2x dx 错误!(2x －1)dx 错误!(2x ＋1)dx 错误!(1－2 x )dx 解析：选 B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为 错误!2xdx－错误!1dx＝错误!(2x －1)dx. 8．S1＝错误!xdx 与 S2＝错误!x2dx 的大小关系是( ) A．S1＝S2 B．S 2 1＝S2 C．S1>S2 D．S1S2. 9．已知 错误!x2dx＝ 1 3 ，错误!x2dx＝ 7 3 ，错误!1dx＝2，则错误!(x2＋1)dx＝________. 解析：由定积分的性质可知 错误!(x2 ＋1)dx ＝错误!x2dx＋错误!1dx ＝错误!x2dx＋错误!x2dx＋2 ＝ 1 3 ＋ 7 3 ＋2＝ 14 3 . 答案： 14 3 10．用定积分的几何意义计算下列定积分： 而 S＝ 5 2 ×5 2 ＝ 25 4 ， (2)令 y＝ 4－x 2 ＋2，则 y＝ 4－x 2 ＋2表示以(0,2)为圆心，2 为半径的圆的上半圆， [能力提升综合练] 1．若 错误!f(x)dx＝1，错误!g(x)dx＝－3，则错误![2f(x)＋g(x)]dx＝( ) A．2 B．－3 C．－1 D．4 解析：选 C 错误![2f(x)＋g(x)]dx＝2错误!f(x)dx＋错误!g(x)dx＝2×1－3＝－1. 2．若 f(x)为偶函数，且 错误!f(x)dx＝8，则 等于( ) A．0 B．4 C．8 D．16 解析：选 D ∵被积函数 f(x)为偶函数， ∴在 y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等． 3．定积分错误!(－3)dx 等于( ) A．－6 B．6 C．－3 D．3 解析：选 A ∵错误!3dx 表示图中阴影部分的面积 S＝3×2＝6， ∴错误!(－3)dx＝－错误!3dx＝－6. 又 y＝sin x 与 y＝2x 都是奇函数，故所求定积分为 0. 答案：0 解析：由 y＝ 4－x 2 可知 x 2 ＋y 2 ＝4(y≥0)，其图象如图． 等于圆心角为 60°的弓形 CD 的面积与矩形 ABCD 的面积之和． S 弓形＝ 1 2 × π 3 ×22－ 1 2 ×2×2sin π 3 ＝ 2π 3 － 3. S 矩形＝AB·BC＝2 3. 答案： 2π 3 ＋ 3 6．用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y＝|sin x|，y＝0，x＝2，x＝5； 解：(1)曲线所围成的平面区域如图所示． 设此面积为 S， (2)曲线所围成的平面区域如图所示． 解：如图，