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- 2021-07-01 发布
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第
11
讲 一元二次方程根的分布
课标要求
考情风向标
结合二次函数的图象,判断
一元二次方程根的存在性
及根的个数,从而了解函数
的零点与方程根的联系
高考试题对该部分内容考查的主
要角度有两种:一种是找函数零点
个数;一种是判断零点的范围
.
另
外备考
中应该特别注意运用导数来
研究函数零点
图
2-11-1
图
2-11-2
⑥方程有两根
(
如图
2113)
:
x
2
>
k
,
x
1
<
k
⇔
af
(
k
)<0
;
图
2-11-3
⑦方程有且只有一根在区间
(
k
1
,
k
2
)
内
⇔
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)<0(
如图
2-11-4)
;
图
2-11-4
图
2-11-5
1.
关于
x
的方程
x
2
+
ax
+
a
-
1
=
0
有异号的两个实根,则
a
的取值范围是
_________.
a
<1
m
>7
2.
若方程
8
x
2
+
(
m
+
1)
x
+
m
-
7
=
0
有两个负根,则实数
m
的取值范围是_________.
3.
关于
x
的方程
x
2
-
ax
+
a
2
-
4
=
0
有两个正根,则实数
a
的取值范围是
_______________.
4.
若集合
A
=
{
x
|
ax
2
-
ax
+
1<0}
=
∅
,则实数
a
的值的集合是
(
D
)
A.{
a
|0<
a
<4}
C.{
a
|0<
a
≤
4}
B.{
a
|0
≤
a
<4}
D.{
a
|0
≤
a
≤
4}
解析:
由题意知
a
=
0
时,满足条件;
考点
1
一元二次方程根的分布
例
1
:
若关于
x
的一元二次方程
(
m
-
1)
x
2
+
2(
m
+
1)
x
-
m
=
0
,
分别满足下列条件时,求
m
的取值范围
.
(1)
一根在
(1,2)
内,另一根在
(
-
1,0)
内;
(2)
一根在
(
-
1,1)
内,另一根不在
(
-
1,1)
内;
(3)
一根小于
1
,另一根大于
2
;
(4)
一根大于-
1
,另一根小于-
1
;
(5)
两根都在区间
(
-
1,3)
内;
(6)
两根都大于
0
;
(7)
两根都小于
1
;
(8)
在
(1,2)
内有解
.
考点
2
一元二次方程根的分布的应用
综上所述,当
a
∈{
-
3}∪(1
,+
∞
)
时,函数
f
(
x
)
与
g
(
x
)
的
图象有且只有一个公共点
.
【
跟踪训练
】
1.
已知抛物线
y
=-
x
2
+
mx
-
1
,线段
AB
以
A
(3,0)
,
B
(0,3)
为端点:
(1)
若抛物线与线段
AB
恰有一个公共点,求实数
m
的取值
范围;
(2)
若抛物线与线段
AB
有两个公共点,求实数
m
的取值
范围
.
解:
(1)线段
AB
方程为
y
=-
x
+3(0
≤
x
≤
3).
代入抛物线方程,得
x
2
-
(
m
+
1)
x
+
4
=
0(0
≤
x
≤
3)
,①
问题归结为方程
x
2
-
(
m
+
1)
x
+
4
=
0
在
[0,3]
内仅有一个实
数解
.
令
f
(
x
)
=
x
2
-
(
m
+
1)
x
+
4
,结合
f
(
x
)
=
x
2
-
(
m
+
1)
x
+
4
在区
间
[0,3]
上
的图象可知:
思想与方法
⊙
运用分类讨论思想判断方程根的分布
例题:
已
知函数
f
(
x
)
=
ax
2
+
x
-
1
+
3
a
(
a
∈
R
)
在区间
[
-
1,1]
上有零点,求实数
a
的取值范围
.
解:
方法一,当
a
=
0
时,
f
(
x
)
=
x
-
1
,令
f
(
x
)
=
0
,得
x
=
1
,
是区间
[
-
1,1]
上的零点
.
当
a
≠0
时,函数
f
(
x
)
在区间
[
-
1,1]
上有零点分为三种情况:
①
方程
f
(
x
)
=
0
在区间
[
-
1,1]
上有重根,
【规律方法】
(1)
函数
f
(
x
)
=
ax
2
+
x
-
1
+
3
a
(
a
∈
R
)
在区间
[
-
1
,1]
上有零点,应该分类讨论:讨论
a
=
0
与
a
≠0
;讨论有
一个零点或有两个零点;如果只有一个零点还要讨论
是否是重
根;
(2)
函数
f
(
x
)
的零点不是“
点
”
,它是一个数,是方程
f
(
x
)
=
0
的
实数根;
(3)
准确理解根的存在性定理:
①
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上连续;
②
f
(
a
)·
f
(
b
)<0
;这是零点存在的一个充分条件,不是必要条件,
并且满足
f
(
a
)·
f
(
b
)<0
时,
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上至少有一个零点;不满
足
f
(
a
)·
f
(
b
)<0
时,
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上未必无零点,也可能有多个零
点
.
【
跟踪训练
】
作出可行域如图
D12
中阴影部分
.
图
D12
显然
A
(
-
1,0)
,
B
(
-
2,0)
,
答案:
D
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