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  • 2021-07-01 发布

2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第11讲一元二次方程根的分布课件

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第 11 讲 一元二次方程根的分布 课标要求 考情风向标 结合二次函数的图象,判断 一元二次方程根的存在性 及根的个数,从而了解函数 的零点与方程根的联系 高考试题对该部分内容考查的主 要角度有两种:一种是找函数零点 个数;一种是判断零点的范围 . 另 外备考 中应该特别注意运用导数来 研究函数零点 图 2-11-1 图 2-11-2 ⑥方程有两根 ( 如图 2113) : x 2 > k , x 1 < k ⇔ af ( k )<0 ; 图 2-11-3 ⑦方程有且只有一根在区间 ( k 1 , k 2 ) 内 ⇔ f ( k 1 ) f ( k 2 )<0( 如图 2-11-4) ; 图 2-11-4 图 2-11-5 1. 关于 x 的方程 x 2 + ax + a - 1 = 0 有异号的两个实根,则 a 的取值范围是 _________. a <1 m >7 2. 若方程 8 x 2 + ( m + 1) x + m - 7 = 0 有两个负根,则实数 m 的取值范围是_________. 3. 关于 x 的方程 x 2 - ax + a 2 - 4 = 0 有两个正根,则实数 a 的取值范围是 _______________. 4. 若集合 A = { x | ax 2 - ax + 1<0} = ∅ ,则实数 a 的值的集合是 ( D ) A.{ a |0< a <4} C.{ a |0< a ≤ 4} B.{ a |0 ≤ a <4} D.{ a |0 ≤ a ≤ 4} 解析: 由题意知 a = 0 时,满足条件; 考点 1 一元二次方程根的分布 例 1 : 若关于 x 的一元二次方程 ( m - 1) x 2 + 2( m + 1) x - m = 0 , 分别满足下列条件时,求 m 的取值范围 . (1) 一根在 (1,2) 内,另一根在 ( - 1,0) 内; (2) 一根在 ( - 1,1) 内,另一根不在 ( - 1,1) 内; (3) 一根小于 1 ,另一根大于 2 ; (4) 一根大于- 1 ,另一根小于- 1 ; (5) 两根都在区间 ( - 1,3) 内; (6) 两根都大于 0 ; (7) 两根都小于 1 ; (8) 在 (1,2) 内有解 . 考点 2 一元二次方程根的分布的应用 综上所述,当 a ∈{ - 3}∪(1 ,+ ∞ ) 时,函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的 图象有且只有一个公共点 . 【 跟踪训练 】 1. 已知抛物线 y =- x 2 + mx - 1 ,线段 AB 以 A (3,0) , B (0,3) 为端点: (1) 若抛物线与线段 AB 恰有一个公共点,求实数 m 的取值 范围; (2) 若抛物线与线段 AB 有两个公共点,求实数 m 的取值 范围 . 解: (1)线段 AB 方程为 y =- x +3(0 ≤ x ≤ 3). 代入抛物线方程,得 x 2 - ( m + 1) x + 4 = 0(0 ≤ x ≤ 3) ,① 问题归结为方程 x 2 - ( m + 1) x + 4 = 0 在 [0,3] 内仅有一个实 数解 . 令 f ( x ) = x 2 - ( m + 1) x + 4 ,结合 f ( x ) = x 2 - ( m + 1) x + 4 在区 间 [0,3] 上 的图象可知: 思想与方法 ⊙ 运用分类讨论思想判断方程根的分布 例题: 已 知函数 f ( x ) = ax 2 + x - 1 + 3 a ( a ∈ R ) 在区间 [ - 1,1] 上有零点,求实数 a 的取值范围 . 解: 方法一,当 a = 0 时, f ( x ) = x - 1 ,令 f ( x ) = 0 ,得 x = 1 , 是区间 [ - 1,1] 上的零点 . 当 a ≠0 时,函数 f ( x ) 在区间 [ - 1,1] 上有零点分为三种情况: ① 方程 f ( x ) = 0 在区间 [ - 1,1] 上有重根, 【规律方法】 (1) 函数 f ( x ) = ax 2 + x - 1 + 3 a ( a ∈ R ) 在区间 [ - 1 ,1] 上有零点,应该分类讨论:讨论 a = 0 与 a ≠0 ;讨论有 一个零点或有两个零点;如果只有一个零点还要讨论 是否是重 根; (2) 函数 f ( x ) 的零点不是“ 点 ” ,它是一个数,是方程 f ( x ) = 0 的 实数根; (3) 准确理解根的存在性定理: ① f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续; ② f ( a )· f ( b )<0 ;这是零点存在的一个充分条件,不是必要条件, 并且满足 f ( a )· f ( b )<0 时, f ( x ) 在 [ a , b ] 上至少有一个零点;不满 足 f ( a )· f ( b )<0 时, f ( x ) 在 [ a , b ] 上未必无零点,也可能有多个零 点 . 【 跟踪训练 】 作出可行域如图 D12 中阴影部分 . 图 D12 显然 A ( - 1,0) , B ( - 2,0) , 答案: D