2020高中数学 第1章 空间几何体3 中心投影、平行投影和直观图画法学案 苏教版必修2 6页

中心投影、平行投影和直观图画法 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 中心投影、平行投影和直观图画法 ‎1. 理解中心投影和平行投影的区别和联系，掌握三视图的画法。‎ ‎2. 会由三视图还原成实物图。‎ ‎3. 了解斜二测画法的概念。‎ ‎4. 会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图。‎ 填空 三视图是高考的热点，以中低档题出现，而画出空间几何体的直观图是学好立体几何的前提和基础，是解决学生识图难及画图难的关键，故本节课在整个立体几何教学中有着不可替代的作用。‎ 二、重难点提示 重点：画出简单组合体的三视图；水平放置的平面图形直观图画法。‎ 难点：识别三视图所表示的空间几何体；用斜二测画法画空间几何体的直观图。‎ 考点一：中心投影与平行投影 ‎（1）投影、投影面 投影是光线（投影线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。‎ ‎【要点诠释】‎ 一个物体的投影与投影线的方向及投影面的位置有关，投影包括中心投影和平行投影。‎ ‎（2）中心投影 ‎① 投影线交于一点的投影称为中心投影，如图所示，它的实质是一个点光源把一个图形投影到一个面上，这个图形的影子就是它在这个面上的中心投影。‎ ‎② 性质：a. 中心投影的投射线交于一点；‎ b. 点光源距离物体越远，投影形成的影子越小。‎ ‎（3）平行投影 ‎①投影线互相平行的投影面。平行投影按投影方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影，投影方向正对着投影面时叫做正投影（如图①），否则叫做斜投影（如图②）。‎ 6‎ ‎②性质：a. 平行投影的投射线互相平行；‎ b. 直线或线段的平行投影是直线或线段或点；‎ c. 两平行直线的平行投影是平行直线或重合的直线或点；‎ d. 与投影面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形全等；‎ e. 在同一条直线或平行直线上（直线不与投影线平行），两条线段平行投影的比等于这两条线段的比。‎ ‎【核心突破】平行投影与中心投影的区别 ‎（1）平行投影和中心投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括斜二测画法和三视图。‎ ‎（2）平行投影的投射线都互相平行；中心投影的投射线是由同一点发出的。‎ ‎（3）在平行投影下，与投影面平行的平面物体投影后得到的是与原物体等大小、等形状的投影。中心投影对物体投影后得到的是比原物体大的、形状与原物体的正投影相似的投影。‎ 考点二：空间几何体的三视图 ‎（1）视图、三视图的概念 ‎① 视图：将物体按正投影向投影面投射所得到的图形称为视图。‎ ‎② 三视图：光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上而下投射所得的投影称为俯视图，自左向右投射所得的投影称为左视图，用这三种图刻画空间几何体的结构，我们称之为三视图。‎ ‎（2）由几何体画三视图的方法与步骤 ‎① 确定正前方，确定投影面，正前方应垂直于投影面，然后画出这时的投影——主视图。‎ ‎② 在正前方确定的情况下，自左向右的方向也随之确定，然后确定这时的投影面，自左向右的方向垂直于投影面，画出这时的投影——左视图。‎ ‎③ 自上向下的方向是固定不变的，在物体下方确定一个水平面作为投影面，画出投影——俯视图。‎ ‎【核心归纳】‎ ‎1. 常见几何体的三视图 ‎① 水平放置的圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆；‎ ‎② 水平放置的圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆；‎ ‎③ 水平放置的圆台的主视图和左视图都是等腰梯形，俯视图是带圆心的圆；‎ ‎④ 球的三视图都是圆。‎ ‎2.‎ 6‎ ‎ 主视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，左视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，将根据这种对应关系得到画三视图的规则：主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等。‎ ‎3. 画三视图时，以主视图为准，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方，主视图、俯视图、左视图三者之间互相对齐，不能错位。‎ 考点三：直观图画法 斜二测画法的规则 ‎（1）在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°。‎ ‎（2）画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝45°（或135°），∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面。‎ ‎（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段。‎ ‎（4）已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。‎ ‎【要点诠释】‎ ‎1. 画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点。确定点的位置，可采用直角坐标系。建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上。‎ ‎2. 画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于轴O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法。‎ ‎3. 对“一斜”“二测”的理解，应把握以下两点：‎ ‎（1）互相垂直的Ox、Oy轴画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y＝45°或135°。‎ ‎（2）平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”。‎ ‎4. 斜二测画法中的直观图与原图面积的关系——。‎ ‎【随堂练习】已知正三棱锥的主视图、俯视图如图所示，其中，则由该三棱锥得到的左视图的面积为 。‎ 答案：‎ 6‎ 所求为 思路分析：由三视图与原几何体之间的关系可知，该几何体的左视图是一个以一条侧棱、该侧棱所对面的斜高和底面正三角形的一条高构成的三角形（如下图2所示）。由所给数据知原几何体的高为且，从而可求出左视图面积。‎ 技巧点拨：本题属易错题，容易误以为几何体的左视图是一个等腰三角形，且此等腰三角形的底面边长为2，高为正三棱锥的高，由于该三棱锥侧棱长是2，底面边长为，故其高为，从而得出其左视图的面积的错误结论。‎ 例题1 （由几何体的直观图画三视图）‎ 把下图中的物体用三视图表达出来 思路分析：（1）画主视图，按主视图的投影方向，从前往后看，物体上的①实形可见，主视图应反映①的真实形状，而平面②③④都积聚为直线，与平面①的轮廓重合，所以物体的主视图就是①的轮廓形状。（2）画俯视图，从左往右看，平面④实形可见，平面①②积聚为直线，平面③与水平面有一定的倾斜角度，在俯视图上是缩小的等边数图形，画俯视图时，左右的长度和方向都应对正。（3）画左视图。从左往右看，平面②实形可见，平面①④积聚为直线，平面③倾斜。根据主、左视图高平齐和俯、左视图宽相等，对应画出左视图。‎ 答案：‎ 6‎ 技巧点拨：本题考查了同学们的空间想象能力，应在找准投射方向的前提下分析投影形状，注意“长对正，高平齐，宽相等”。‎ 例题2 （由三视图还原实物图）根据下图中所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状。‎ 思路分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中间有一个圆形的孔，从而知道这两个面都有一个圆柱形的孔。‎ 答案：该物体大致形状如图：‎ 技巧点拨：本题在求解的时候根据三视图得出该几何体的大致形状，并画出其图形后，需检验所得几何体的三视图是否与所给一致，不一致的细节要进行适当修改。‎ 忽略斜二测画法的画法规则致误 例析 用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图。‎ 6‎ 错解：　‎ ‎（1）画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°；‎ ‎（2）在O′x′轴取O′B′＝OB＝4，O′D′＝3。‎ 在O′y′轴上取O′C′，‎ 使O′C′＝OC，‎ 过D′作D′A′⊥O′x′。‎ 使D′A′＝DA（如图）；‎ ‎（3）连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′就是四边形OABC的直观图。‎ 错因分析：上述解法的错误在于过D′作D′A′⊥O′x′，进而利用D′A′＝DA来确定点A′的位置。‎ 防范措施：依据斜二测画法规则，在原图中有AD⊥Ox，即AD∥y轴，则在直观图中，D′A′应平行于y′轴。‎ 正解：（1）画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°；‎ ‎（2）在O′x′轴上取D′、B′，使O′D′＝OD，O′B′＝OB（如图），在O′y′轴上取C′，使O′C′＝OC，在O′x′轴下方过D′作D′A′∥O′y′，使D′A′＝DA；‎ ‎（3）连线，连接O′A′，A′B′，C′B′。‎ 所得四边形O′A′B′C′就是四边形OABC的直观图。‎ 6‎