2020年高中数学 第二章 解三角形 6页

‎2.3 解三角形的实际应用举例 ‎ [A　基础达标]‎ ‎1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点间的距离为(　　)‎ A．‎50 m　　　　　　　 B．‎50 m C．‎25 m D． m 解析：选A.由正弦定理得＝.又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，故AB＝＝＝50 (m)．‎ ‎2.如图，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝‎30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔AB的高度为(　　)‎ A．‎15‎米 B．‎15‎米 C．15(＋1)米 D．‎15‎米 解析：选D.在△BCD中，由正弦定理得BC＝＝15(米)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan 60°＝15(米)．故选D.‎ ‎3．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°方向且距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为21海里，则舰艇与渔船相遇的最短时间为(　　)‎ A．20分钟 B．40分钟 C．60分钟 D．80分钟 解析：选B.如图，设它们在D处相遇，用时为t小时，则AD＝21t，CD＝9t，∠ACD＝120°，由余弦定理，得cos 120°＝，解得t＝(负值舍去)，小时＝40分种，即舰艇与渔船相遇的最短时间为40分钟．‎ 6‎ ‎4．渡轮以‎15 km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为‎4 km/h，则渡轮实际航行的速度约为(精确到‎0.1 km/h)(　　)‎ A．‎14.5 km/h B．‎‎15.6 km/h C．‎13.5 km/h D．‎‎11.3 km/h 解析：选C.由物理学知识，‎ 画出示意图，AB＝15，‎ AD＝4，∠BAD＝120°.‎ 在▱ABCD中，D＝60°，‎ 在△ADC中，由余弦定理得 AC＝ ‎＝＝ ‎≈13.5.‎ ‎5．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A．北偏东40° B．北偏西10°‎ C．南偏东10° D．南偏西10°‎ 解析：选B.如图所示，∠ECA＝40°，∠FCB＝60°，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，因为AC＝BC，所以∠A＝∠ABC＝＝50°，所以∠ABG＝180°－∠CBH－∠CBA＝180°－120°－50°＝10°.故选B.‎ ‎6．如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝‎3 mm，BC＝‎2 mm，AB＝ mm，则∠ACB＝________．‎ 解析：在△ABC中，由余弦定理得 6‎ cos∠ACB＝＝－.‎ 因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.‎ 答案： ‎7．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进‎100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__________ m.‎ 解析：设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝ h，根据余弦定理，得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50，故水柱的高度是‎50 m.‎ 答案：50‎ ‎8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行‎10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________．‎ 解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝‎10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，‎ 则∠AOB＝60°，由正弦定理知：‎ x＝＝＝.‎ 答案： ‎9．如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．‎ ‎(1)求该军舰艇的速度．‎ ‎(2)求sin α的值．‎ 解：(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，‎ 6‎ AC＝120，∠ACB＝α，‎ 在△ABC中， 由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB ‎＝2002＋1202－2×200×120cos 120°‎ ‎＝78 400，解得BC＝280.‎ 所以该军舰艇的速度为＝‎140海里/小时．‎ ‎(2)在△ABC中，由正弦定理，‎ 得＝，即 sin α＝＝＝.‎ ‎10.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进 km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．‎ 解：依题意得，CD＝ km，∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，‎ ‎∠DAC＝45°.在△BDC中，‎ 由正弦定理得 BC＝＝＝(km)．‎ 在△ADC中，由正弦定理得 AC＝＝ ‎＝3(km)．‎ 在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cos∠ACB ‎＝(3)2＋()2－2×3×cos 45°＝25.‎ 所以AB＝5(km)，‎ 即这两座建筑物之间的距离为‎5 km.‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎11．如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登‎400米后到达D处，再看索道AC，发现张角∠ADC＝150°，从D处再攀登‎800米方到达C处，则索道AC的长为______米．‎ 6‎ 解析：在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°，‎ 因为∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，所以∠DAB＝30°，所以AB＝BD＝400，AD＝‎ ＝400.在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，所以AC＝400，故索道AC的长为‎400‎米．‎ 答案：400 ‎12.如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 ‎000 m至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为______m.‎ 解析：如图，∠SAB＝45°－30°＝15°，‎ 又∠SBD＝15°，‎ 所以∠ABS＝30°.‎ AS＝1 000，由正弦定理知＝，所以BS＝2 000sin 15°.‎ 所以BD＝BS·sin 75°‎ ‎＝2 000sin 15°·cos 15°＝1 000sin 30°＝500，‎ 且DC＝ST＝1 000sin 30°＝500，‎ 从而BC＝DC＋DB＝1 ‎000 m.‎ 答案：1 000‎ ‎13.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距‎100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为‎340 m/s)‎ 解：由题意，设AC＝x m，‎ 则BC＝x－×340＝x－40 (m)．‎ 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，‎ 即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.‎ 在△ACH中，AC＝‎420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°.‎ 6‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以CH＝AC·＝140(m)．‎ 故该仪器的垂直弹射高度CH为‎140 m.‎ ‎14．(选做题)如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时‎6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.‎ ‎(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；‎ ‎(2)求塔的高AB.(结果保留根号，不求近似值)．‎ 解：(1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6 000×＝100 (m)，‎ ‎∠BDC＝45°－30°＝15°，由正弦定理得 ＝，‎ 所以BC＝＝＝ ‎＝＝50(－1)(m)，‎ 在Rt△ABE中，tan α＝，因为AB为定长，‎ 所以当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(－1)·＝25(3－)(m)，‎ 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟，则t＝×60＝×60＝(分钟)．‎ ‎(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，‎ 在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，‎ 所以AB＝BE·tan 60°＝BC·sin ∠BCD·tan 60°‎ ‎＝50(－1)··＝25(3－)(m)，‎ 即所求塔高为25(3－) m.‎ 6‎