2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第9节第1课时最值范围证明问题课件新人教A版 43页

第 9 节　圆锥曲线的综合问题 考试要求　 1. 掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法； 2. 了解圆锥曲线的简单应用； 3. 理解数形结合的思想 . 知 识 梳 理 1. 求定值问题常见的方法有两种： (1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 . (2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 . 2. 定点的探索与证明问题 (1) 探索直线过定点时，可设出直线方程为 y ＝ kx ＋ b ，然后利用条件建立 b ， k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点 . (2) 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关 . 3. 求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围 . 4. 圆锥曲线中常见最值的解题方法 (1) 几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； (2) 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解 . 5. 圆锥曲线的弦长 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 直线与椭圆位置关系的有关结论 (1) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2) 过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切； (3) 过椭圆内一点的直线均与椭圆相交 . 2. 直线与抛物线位置关系的有关结论 (1) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，即两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； (2) 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，即一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； (3) 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，即一条与对称轴平行或重合的直线 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 解析　 (2) 因为直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切 . (3) 因为直线 l 与抛物线 C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切 . 答案　 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 2. ( 老教材选修 2 － 1P71 例 6 改编 ) 过点 (0 ， 1) 作直线，使它与抛物线 y 2 ＝ 4 x 仅有一个公共点，这样的直线有 ( 　　 ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析　 结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x ＝ 0 ，过点 (0 ， 1) 且平行于 x 轴的直线以及过点 (0 ， 1) 且与抛物线相切的直线 ( 非直线 x ＝ 0). 答案　 C 3. ( 老教材选修 2 － 1P69 例 4 改编 ) 已知倾斜角为 60° 的直线 l 通过抛物线 x 2 ＝ 4 y 的焦点，且与抛物线相交于 A ， B 两点，则弦 | AB | ＝ ________. 答案　 16 答案　 D 答案　 C 答案　 2 第一课时　最值、范围、证明问题 (1) ( 一题多解 ) 求动点 N 的轨迹方程； (2) 求四边形 MB 2 NB 1 面积的最大值 . 解　 (1) 法一 　设 N ( x ， y ) ， M ( x 0 ， y 0 )( x 0 ≠ 0) ， ∵ MB 1 ⊥ NB 1 ， MB 2 ⊥ NB 2 ， B 1 (0 ，－ 3) ， B 2 (0 ， 3) ， 法二　 设直线 MB 1 ： y ＝ kx － 3( k ≠ 0) ， 规律方法　 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个 ( 些 ) 变量的函数 ( 解析式 ) ，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 . (2) 设直线 AB 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， ∴ (15 － 2 t ) k 2 ＋ 2 k － 1 － t ＝ 0 ， k ∈ R ， 则 Δ 1 ＝ 2 2 ＋ 4(15 － 2 t )(1 ＋ t ) ≥ 0 ， ∴ (2 t － 15)( t ＋ 1) － 1 ≤ 0 ，即 2 t 2 － 13 t － 16 ≤ 0 ， 解　 (1) 依题意四边形 F 1 B 1 F 2 B 2 的面积为 2 bc ， ∴ 2 bc ＝ 2 ， 规律方法　 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1) 利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2) 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3) 利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4) 利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5) 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围 . 【训练 2 】 (2020· 重庆七校联合考试 ) 已知 A ， B 是 x 轴正半轴上两点 ( A 在 B 的左侧 ) ，且 | AB | ＝ a ( a ＞ 0) ，过 A ， B 分别作 x 轴的垂线，与抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 在第一象限分别交于 D ， C 两点 . (2) 证明　 设 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ，则 R ( － x 1 ，－ y 1 ) ， 所以 Δ ＝ 4 － t 2 ＞ 0 ，即－ 2 ＜ t ＜ 2 ， 又 t ≠ 0 ，所以 t ∈ ( － 2 ， 0) ∪ (0 ， 2) ， 法一　 要证明 | AM | ＝ | AN | ，可转化为证明直线 AQ ， AR 的斜率互为相反数，即证明 k AQ ＋ k AR ＝ 0. 规律方法　 圆锥曲线中的证明问题常见的有： (1) 位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等 . (2) 数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等 . 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明 . 【训练 3 】 (2020· 合肥模拟 ) 如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T (2 ， 0) ，与 y 轴正半轴相交于两点 M ， N ( 点 M 在点 N 的下方 ) ，且 | MN | ＝ 3. 所以 ∠ ANM ＝ ∠ BNM . 综合 ①② 知 ∠ ANM ＝ ∠ BNM .