河南省部分重点高中2019届高三3月联考数学（理）试卷（PDF版） 8页

书书书 【２０１９届高三·数学（理）试题·第 １　　　　页（共 ４页）】 大　 联　 考　 试　 卷 数学（理） （试卷总分 １５０分　考试时间 １２０分钟） 题号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 总分 合分人 复分人 得分 第Ⅰ卷（选择题　共 ６０分） 得分 评卷人 一、选择题：本大题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０ 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的． １．已知集合 Ａ＝｛ｘ∈Ｚ｜－１≤ｘ＜２｝，则满足条件 Ａ∩Ｂ＝Ｂ的集合 Ｂ 的个数为 （　） 　Ａ．４　　　　　Ｂ．７　　　　　Ｃ．３　　　　　Ｄ．８ ２．已知复数 ｚ＝１－ｉ，则 ｚ２＋｜ｚ｜２在复平面上对应的点在 （　） 　Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 　Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 !"# $ !"# %&$ $ $"% '($ )"$$ &% *+$$ '% ３．国庆节期间，滕州市实验小学举行 了一次科普知识竞赛活动，设置了 一等奖、二等奖、三等奖、四等奖及 纪念奖，获奖人数的分配情况如图 所示，各个奖品的单价分别为：一 等奖 ５０元、二等奖 ２０元、三等奖 １０元，四等奖 ５元，纪念奖 ２元，则以下说法中不正确 獉獉獉 的是 （　） 　Ａ．获纪念奖的人数最多 　Ｂ．各个奖项中二等奖的总费用最高 　Ｃ．购买奖品的费用平均数为 ６．６５元 　Ｄ．购买奖品的费用中位数为 ５元 ４．若“ｐ或 ｑ”成立的充分条件是“瓙ｒ”，则下列推理：①“ｐ或 ｑ”瓙ｒ； ②瓙ｒｐ；③ｒ瓙（ｐ或 ｑ）；④瓙ｐ且瓙ｑｒ．其中正确的个数是（　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５．已知 数 列 ｛ａｎ｝为 等 比 数 列，且 ａ５ 是 ａ３ 与 ａ７ 的 等 差 中 项， ａ２０１９＝２０１８，则首项 ａ１＝ （　） Ａ．２０１９ Ｂ．±２０１８ Ｃ．２０１８ Ｄ．±２０１９ ６．已知双曲线ｘ２ ａ２ －ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右顶点为 Ａ，Ｂ，点 Ｐ为双 曲线上异于 Ａ，Ｂ的任意一点，设直线 ＰＡ，ＰＢ的斜率分别为 ｋ１，ｋ２， 若 ｋ１ｋ２＝１ ２，则双曲线的离心率为 （　） Ａ．槡３ ２ Ｂ．２ Ｃ．槡６ ２ Ｄ．３ ２ ７．设 ａ，ｂ，ｃ∈ Ｎ ，且 ｂ＜ｃ，定 义 函 数 如 下： ｆ（ａ＋ ｂ ｃ） ＝ ａ＋１，（ａ是偶数） ａ－１，（ａ是奇数{ ） ，则 ｆ（５－２０１９ ２０１８）－ｆ（４＋２０１８ ２０１９）＝ （　） ! " ! " !"# $"% &"% Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．－３ Ｄ．０ ８．如图，是某几何体的三视图，该几何体 的轴截面的面积为 ６，则该几何体的外 接球的表面积为 （　） Ａ．６５ ３π Ｂ．６５ ４π Ｃ．６５ １２π Ｄ．３３ ４π ! " #$ % &９．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分 别是 ＢＣ，ＣＤ上的一点，且 →ＢＥ＝１ ３ →ＢＣ， →ＤＦ＝２→ＦＣ，则 →ＡＦ＋→ＤＥ＝ （　） 　Ａ．５ ３ →ＡＢ－１ ３ →ＡＤ 开始 !!" "!" #$%&"!'( "#")""#")! !#!)#$%*" ! 是偶数! 输出 "结束 是 是 否 否 　Ｂ．５ ３ →ＡＢ＋５ ３ →ＡＤ 　Ｃ．４ ３ →ＡＢ－２ ３ →ＡＤ 　Ｄ．５ ３ →ＡＢ＋１ ３ →ＡＤ １０．执行如图所示的程序框图，输出的 结果为 （　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ !!"! #! $! !" $ # １１．如图，在长方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，对角线 ＤＢ１与平面 ＡＤＤ１Ａ１，ＡＢＣＤ，ＤＣＣ１Ｄ１ 的夹角分 别为 α，β，θ，且 ＤＢ１ 槡＝２ ６，ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎθ＝ 槡２ ６ ３ ，则长方体的全面积为 （　） Ａ．４０ Ｂ．６４ Ｃ．２０ Ｄ．８ 【２０１９届高三·数学（理）试题·第 ２　　　　页（共 ４页）】 １２．已知抛物线 Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，点 Ｍ是抛物线 Ｃ上一 点，圆 Ｍ 与 ｙ轴 相 切，且 被 直 线 ｘ＝ ｐ ２截 得 的 弦 长 为 槡２ｐ， 若｜ＭＦ｜＝５ ２，则抛物线的方程为 （　） Ａ．ｙ２＝４ｘ Ｂ．ｙ２＝２ｘ Ｃ．ｙ２＝８ｘ Ｄ．ｙ２＝ｘ 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 第Ⅱ卷（非选择题　共 ９０分） 　　本卷包括必考题和选考题两部分，第 １３～２１题为必考题，每个 试题考生都必须作答，第 ２２～２３题为选考题，考生根据要求作答． 得分 评卷人 二、填空题：本大题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０ 分．把答案填在题中横线上． １３．已知 ｘ，ｙ满足不等式组 ｙ≤２ｘ ｘ＋ｙ≤３ ｙ≥{ ０ ，则 ｚ＝ｙ－１ ｘ＋１的取值范围是　　 　　　　　． １４．在各项都为非负数的数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝０，且点（ａｎ，ａｎ－１）（ｎ∈Ｎ， ｎ≥２）在双曲线 ｘ２－ｙ２＝４上，令 ｂｎ＝ ２ ａｎ＋ａｎ＋１ （ｎ∈Ｎ ），数列｛ｂｎ｝ 的前 ｎ项和为 Ｓｎ，则 Ｓ９＝　　　　　． １５．已知 ｎ＝２ ０ｘｄｘ，则二项式（ｘ＋１ ｘ－２）ｎ（ｘ＞０）展开式中的常数项 为　　　　　． １６．已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓｘ－ｘ，ｘ≤０ １－ｘ ｘ＋１，ｘ{ ＞０ ，ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ＋１－１ ｅ，则不等 式 ｆ［ｇ（ｘ）］＜１的解集为　　　　　． 得分 评卷人 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤． １７．（１２分）如图，在平面四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ，ｃｏｓＣ ２ ＝ 槡２ ５ ５ ，ＢＣ＝３． 　（１）若 ＣＤ＝５，求 ＡＢ的长； 　（２）若 ＢＤ＝４，求 ｓｉｎ∠ＡＤＣ的值． ! " # $ １８．（１２分）如图，四边形 ＡＢＣＤ为矩形，Ｅ为 ＤＣ的中点，ＡＢ＝２ＡＤ＝４， 沿 ＡＥ将△ＡＥＤ折起到 Ｐ点的位置，使 ＰＢ＝ＰＣ． 　（１）求证：平面 ＰＡＥ⊥平面 ＡＢＣＥ； 　（２）求直线 ＡＰ与平面 ＰＢＣ所成角的正弦值． ! " #$ % & 【２０１９届高三·数学（理）试题·第 ３　　　　页（共 ４页）】 １９．（１２分）已 知 椭 圆 Ｃ：ｘ２ ａ２ ＋ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的 左、右 焦 点 为 Ｆ１，Ｆ２，点 Ｐ是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，Ｏ为原点，过右 焦点 Ｆ２作∠Ｆ１ＰＦ２的外角平分线 ｌ的垂线，垂足为 Ｑ，且｜ＯＱ｜＝２， 椭圆的离心率为 １ ２． 　（１）求椭圆 Ｃ的方程； 　（２）设 Ｓ是圆 ｘ２ ＋ｙ２ ＝７上任一点，由 Ｓ引椭圆两条切线 ＳＡ，ＳＢ， 切点分别为 Ａ，Ｂ，求证：ＳＡ⊥ＳＢ． ２０．（１２分）滕州市公交公司一切为了市民着想，为方便市区学生的 上下学，专门开通了学生公交专线，在学生上学、放学的时间段运 行，为了更好地掌握发车间隔时间，公司工作人员对滕州二中车 站发车间隔时间与侯车人数之间的关系进行了调查研究，现得到 如下数据： 间隔时间 ｘ（分钟） １０ １１ １３ １２ １５ １４ 侯车人数 ｙ（人） ２３ ２５ ２９ ２６ ３１ ２８ 调查小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 ２组，用剩下 的 ４组数据求线性回归方程，再用被选取的 ２组数据进行检验； 　（１）从中任选 ２组数据，设 Ｘ为候车时间不超过 １１分钟的数据组 的个数，求随机变量 Ｘ的分布列； 　（２）若选取的是前两组数据，请根据后四组数据，求出 ｙ关于 ｘ的 线性回归方程 ) ｙ＝ ) ｂｘ＋ ) ａ； 　（３）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误 差均不超过 １人，则称为最佳回归方程，在（２）中求出的回归 方程是否是最佳回归方程？若规定一辆公交车的载客人数不 超过 ３５人，则间隔时间设置为 １８分钟，是否合适？ 参考公式：，) ｂ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－ｎｘｙ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘ２ ｉ－ｎｘ２ ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）２ ，) ａ＝ｙ－ ) ｂｘ． 【２０１９届高三·数学（理）试题·第 ４　　　　页（共 ４页）】 ２１．（１２分）已知函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－１，ｇ（ｘ）＝ａｘ，ａ∈Ｒ． 　（１）若函数 ｙ＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）在（０，ｅ］上单调递增，求实数 ａ的取值 范围； 　（２）当 ａ＝１时，令 ｈ（ｘ）＝ｅｘｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ），是否存在实数 ｘ０∈（０，＋∞）， 使曲线 ｙ＝ｈ（ｘ）在点（ｘ０，ｈ（ｘ０））处的切线与曲线 Ｈ（ｘ）＝ ｘ－ｅｘ＋１ ｅｘ的一条切线垂直？若存在，求出 ｘ０ 的值；若不存 在，请说明理由． 　　请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分． ２２．（１０分）【选修 ４－４　坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，直线 ｌ的参数方程为 ｘ＝－２＋ｔｃｏｓα ｙ＝ｔｓｉｎ{ α （ｔ为 参数），以坐标原点 Ｏ为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 Ｃ的极坐标方程为 ρ＝１． 　（１）若直线 ｌ与圆 Ｃ相切，求 α的值； 　（２）直线 ｌ与圆 Ｃ相交于不同两点 Ａ，Ｂ，线段 ＡＢ的中点为 Ｑ，求点 Ｑ的轨迹的参数方程． ２３．（１０分）【选修 ４－５　不等式选讲】 已知不等式｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ，ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ． 　（１）当 ２ａ＋ｂ＝２，ｃ＝｜ｘ＋１｜时，解不等式｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ； 　（２）当 ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２ ＝６时，不等式 ｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ对所有实数 ａ，ｂ，ｃ都成立，求实数 ｘ的取值范围． 　　你选做的题目是　　　题（填 ２２、２３） 答案： 书书书 　　　 大联考·数学（理） 参考答案 １．Ｄ（解析：Ａ＝｛ｘ∈Ｚ｜－１≤ｘ＜２｝＝｛－１，０，１｝， ∵Ａ∩Ｂ＝Ｂ，∴ＢＡ，∵集合 Ａ有 ３个元素，∴其子 集有 ８个，故选 Ｄ．） ２．Ｄ（解析：∵ｚ＝１－ｉ，∴ｚ２ ＋｜ｚ｜２ ＝（１－ｉ）２ ＋ （槡２）２＝２－２ｉ，则 ｚ２＋｜ｚ｜２ 在复平面上对应的点在 第四象限，故选 Ｄ．） ３．Ｂ（解析：设参加竞赛的人数为 ａ人，由扇形统计 图可知，一等奖占 ２％，二等奖占 ８％，三等 奖 占 １５％，四等奖占 ３５％，获得纪念奖的人数占 ４０％， 最多，Ａ正确；各奖项的费用：一等奖 ２％ａ×５０＝ａ， 二等奖 ８％ ａ×２０＝１．６ａ，三 等 奖 １５％ ａ×１０＝ １．５ａ，四等奖 ３５％ａ×５＝１．７５ａ，纪念奖 ４０％ａ×２ ＝０．８ａ，Ｂ错误；平均费用为 ５０×２％＋２０×８％＋ １０×１５％＋５×３５％＋２×４０％＝６．６５元，Ｃ正确； 由各个获奖的人数的比例知，购买奖品的费用的中 位数为 ５元，Ｄ正确，故选 Ｂ．） ４．Ａ（解析：由已知得，瓙ｒｐ或 ｑ，它的逆否命题④ 为真，不正确的序号是①②③，故选 Ａ．） ５．Ｃ（解析：设数列｛ａｎ｝的公比为 ｑ，∵ａ５是 ａ３与 ａ７ 的等差中项，∴２ａ５＝ａ３＋ａ７，即 ２ａ１ｑ４＝ａ１ｑ２＋ａ１ｑ６， ∴ｑ４－２ｑ２＋１＝０，解得，ｑ＝±１，则 ａ２０１９ ＝ａ１ｑ２０１８ ＝ ａ１（±１）２０１８＝ａ１＝２０１８，故选 Ｃ．） ６．Ｃ（解析：由题设知，Ａ（－ａ，０），Ｂ（ａ，０），设 Ｐ（ｘ，ｙ）， 则 ｋ１＝ ｙ ｘ＋ａ，ｋ２ ＝ ｙ ｘ－ａ，∴ｋ１ｋ２ ＝ ｙ ｘ＋ａ× ｙ ｘ－ａ＝ ｙ２ ｘ２－ａ２ ＝１ ２，∵Ｐ（ｘ，ｙ）点在双曲线上，∴ｙ２＝ｂ２ ａ２（ｘ２－ａ２），则 ｂ２ ａ２（ｘ２－ａ２） ｘ２－ａ２ ＝１ ２，化简得，２ｂ２ ＝ａ２，又 ｂ２ ＝ｃ２ －ａ２， ∴２ｃ２＝３ａ２，则 ｅ＝槡６ ２，故选 Ｃ．） ７．Ｃ（解析：由题意知，ｆ（５－２０１９ ２０１８）－ｆ（４＋２０１８ ２０１９）＝ ｆ（３＋２０１７ ２０１８）－ｆ（４＋２０１８ ２０１９）＝（３－１）－（４＋１）＝－３， 故选 Ｃ．） ８．Ｂ（解析：由三视图知，该几何体是一个圆台，圆 台的上底半径为 １，下底半径为 ２，设圆台的高为 ｈ， 则轴截面的面积为 Ｓ＝（２＋４）ｈ ２ ＝６，∴ｈ＝２，设圆 台的外接球的半径为 Ｒ，则由题意得， Ｒ２－１槡 ２ ＋ Ｒ２－２槡 ２ ＝２，解 得，Ｒ２ ＝６５ １６，（或 Ｒ２－１槡 ２ － Ｒ２－２槡 ２ ＝２，此时无解），∴外接球的表面积为： Ｓ＝４πＲ２＝６５π ４ ，故选 Ｂ．） ９．Ｄ（解析：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，且 →ＤＦ＝ ２→ＦＣ，∴ →ＡＦ＝→ＡＤ＋→ＤＦ＝→ＡＤ＋２ ３ →ＤＣ＝→ＡＤ＋２ ３ →ＡＢ，又 →ＢＥ＝１ ３ →ＢＣ，∴ →ＤＥ＝→ＤＣ＋→ＣＥ＝→ＡＢ＋２ ３ →ＣＢ＝→ＡＢ－ ２ ３ →ＡＤ，则 →ＡＦ＋ →ＤＥ＝→ＡＢ－２ ３ →ＡＤ＋ →ＡＤ＋２ ３ →ＡＢ＝ ５ ３ →ＡＢ＋１ ３ →ＡＤ，故选 Ｄ．） １０．Ｄ（解析：由程序框图知，ｋ＝１，ｘ＝１ｌｏｇ２ｘ＝０， 否ｘ＝１＋１＝２，ｌｏｇ２ｘ＝１＞０，是ｘ＝２＋１＝３， ｋ＝１＋ｌｏｇ３３＝２，是ｘ＝１ｌｏｇ２ｘ＝０，否ｘ＝１＋１ ＝２，ｌｏｇ２ｘ＝１＞０，是ｘ＝２＋２＝４，ｋ＝２＋ｌｏｇ３４， 否，输出 ｘ＝４，故选 Ｄ．） １１．Ａ（解析：连结 ＤＡ１，ＤＢ，ＤＣ１，由长方体的性质 知，∠Ａ１ＤＢ１ ＝α，∠ＢＤＢ１ ＝β，∠Ｃ１ＤＢ１ ＝θ，∴ｓｉｎα ＋ ｓｉｎβ ＋ ｓｉｎθ ＝ Ａ１Ｂ１ ＤＢ１ ＋ ＢＢ１ ＤＢ１ ＋ Ｃ１Ｂ１ ＤＢ１ ＝ Ａ１Ｂ１＋ＢＢ１＋Ｃ１Ｂ１ ＤＢ１ ＝Ａ１Ｂ１＋ＢＢ１＋Ｃ１Ｂ１ 槡２ ６ ＝ 槡２ ６ ３ ，则 Ａ１Ｂ１ ＋ＢＢ１ ＋Ｃ１Ｂ１ ＝８，∴ Ａ１Ｂ２ １ ＋ＢＢ２ １ ＋Ｃ１Ｂ２ １ ＋ ２（Ａ１Ｂ１·ＢＢ１＋ＢＢ１·Ｃ１Ｂ１ ＋Ａ１Ｂ１·Ｃ１Ｂ１）＝６４，即 ＤＢ２ １＋Ｓ全 ＝６４，∴Ｓ全 ＝４０，故选 Ａ．） ! " # $ % & ' ( １２．Ａ（解析：设圆 Ｍ与 ｙ轴切 于点 Ｎ，直线 ｘ＝ｐ ２与圆 Ｍ交 于 Ａ，Ｂ两 点，如 图 所 示，设 Ｍ（ｘ０，ｙ０），则｜ＭＮ｜＝｜ＭＡ｜＝ ｜ＭＢ｜＝ｘ０，｜ＡＢ 槡｜＝ ２ｐ， ∴（槡２ ２ｐ）２ ＋（ｘ０ －ｐ ２）２ ＝ｘ２ ０， 解得，ｘ０＝３ ４ｐ，由抛物线的定义知，｜ＭＦ｜＝ｘ０ ＋ｐ ２， ∵｜ＭＦ｜＝５ ２，∴ ５ ２＝３ ４ｐ＋１ ２ｐ，即 ｐ＝２，∴抛物线 的方程为 ｙ２＝４ｘ，故选 Ａ．） 　　　 ! " # !$"!" "!#! %!$"## &!%$"$$ １３．［－１，１ ２］（解析：作出 不等式组 ｙ≤２ｘ ｘ＋ｙ≤３ ｙ≥{ ０ 所表示 的平面区域，如图所示，ｚ＝ ｙ－１ ｘ＋１的最大值即为直线 ＢＡ 的斜率 １ ２，最小值为直线 ＢＯ的斜率 －１，故取值范 围是［－１，１ ２］．） １４．３（解析：∵点（ａｎ，ａｎ－１）（ｎ∈Ｎ ，ｎ≥２）在双曲 线 ｘ２ －ｙ２ ＝４上，∴ ａ２ ｎ －ａ２ ｎ－１ ＝４，又 ａ１ ＝０， ∴数列｛ａ２ ｎ｝是以 ０为首项，以 ４为公差的等差数 列，则 ａ２ ｎ ＝４（ｎ－１），又 ａｎ≥０，∴ａｎ ＝２ ｎ槡 －１， 则 ｂｎ＝ ２ ａｎ＋ａｎ＋１ ＝ ２ ２ ｎ槡 －１＋２槡ｎ ＝ １ ｎ槡 －１＋槡ｎ ＝ 槡ｎ－ ｎ槡 －１，∴Ｓ９＝ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂ９ 槡 槡＝ １－０＋ ２－ 槡１＋… 槡 槡＋ ９－ ８＝３．） １５．６（解 析：∵ ｎ ＝ ２ ０ｘｄｘ ＝ １ ２ ｘ２ ｜２ ０ ＝ ２， ∴（ｘ＋１ ｘ－２）ｎ＝（ｘ＋１ ｘ－２）２＝（槡ｘ－１ 槡ｘ ）４，其通项 为 Ｔｒ＋１＝Ｃｒ ４（槡ｘ）４－ｒ（－１ 槡ｘ ）ｒ＝（－１）ｒＣｒ ４ｘ２－ｒ，令 ２－ｒ ＝０，则 ｒ＝２，∴展开式的常数项为（－１）２Ｃ２ ４＝６．） ! " # $ "!"#!$% %"!&!$ １６．（１ ｅ，＋∞）（解析： ∵ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓｘ－ｘ，ｘ≤０ １－ｘ ｘ＋１，ｘ{ ＞０ ， ∴ｆ′（ｘ） ＝ －ｓｉｎｘ－１，ｘ≤０ －２ （ｘ＋１）２，ｘ{ ＞０， 则 ｆ′（ｘ）≤０，∴ｆ（ｘ）在 Ｒ上单调递减，又 ｆ（０）＝１， ∴不 等 式 ｆ［ｇ（ｘ）］＜１即 为 ｆ［ｇ（ｘ）］＜ｆ（０）， 则 ｇ（ｘ）＞０，即 ｌｎｘ＋ｘ＋１－１ ｅ＞０，∴ｌｎｘ＋１＞－ｘ ＋１ ｅ，由函数 ｙ＝ｌｎｘ＋１和 ｙ＝－ｘ＋１ ｅ的图象知， 当 ｘ＞１ ｅ时，不等式成立，故不等式 ｆ［ｇ（ｘ）］＜１的 解集为（１ ｅ，＋∞）．） １７．解：（１）∵ｃｏｓＣ ２＝ 槡２ ５ ５ ， ∴ｃｏｓＣ＝２ｃｏｓ２ Ｃ ２－１＝２×（ 槡２ ５ ５ ）２－１＝３ ５， （２分） !! !!!!!!!!!!!!!!!! ∵ＢＣ＝３，ＣＤ＝５， ∴由余弦定理得，ＢＤ２ ＝ＢＣ２ ＋ＣＤ２ －２ＢＣ·ＣＤｃｏｓＣ ＝３２＋５２－２×３×５×３ ５＝１６，则 ＢＤ＝４， ∵∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ，∴ＡＢ＝槡２ ２ＢＤ 槡＝２ ２； （６分） !!! !!!!!!!!!!!!!!!! （２）由（１）知，ｓｉｎＣ＝４ ５， ∵ＢＣ＝３，ＢＤ＝４， ∴由正弦定理得， ｓｉｎ∠ＢＤＣ＝ＢＣ·ｓｉｎＣ ＢＤ ＝ ３×４ ５ ４ ＝３ ５， （９分）!!! ∵ＢＣ＜ＢＤ，∴ｃｏｓ＜ＢＤＣ＝４ ５， ∵∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ，∴∠ＡＤＢ＝４５°， 则 ｓｉｎ∠ＡＤＣ＝ｓｉｎ（∠ＢＤＣ＋４５°） ＝ｓｉｎ∠ＢＤＣｃｏｓ４５°＋ｃｏｓ∠ＢＤＣｓｉｎ４５° ＝３ ５×槡２ ２＋４ ５×槡２ ２＝ 槡７ ２ １０． （１２分）!!!!!! １８．（１）证明：如图，取 ＡＥ的中点 Ｏ，ＢＣ的中点 Ｆ， 连结 ＯＰ，ＯＦ，ＰＦ，则 ＯＦ∥ＡＢ， ∴ＯＦ⊥ＢＣ，∵ＰＢ＝ＰＣ，∴ＰＦ⊥ＢＣ， 又 ＯＦ∩ＰＦ＝Ｆ，∴ＢＣ⊥平面 ＰＯＦ，则 ＢＣ⊥ＰＯ， （３分） ! !!!!!!!!!!!!!!!! ∵Ｅ为 ＤＣ的中点，ＡＢ＝２ＡＤ＝４， ∴ＰＡ＝ＰＥ，则 ＰＯ⊥ＡＥ， ∵ＡＥ，ＢＣ是平面 ＡＢＣＥ的相交直线， ∴ＰＯ⊥平面 ＡＢＣＥ， 又 ＰＯ平面 ＰＡＥ， ∴平面 ＰＡＥ⊥平面 ＡＢＣＥ； （５分）!!!!!!! （２）解：在平面 ＡＢＣＥ内，过点 Ｏ作 Ｏｘ⊥ＯＦ，则以 Ｏ 为原点，以 Ｏｘ，ＯＦ，ＯＰ分别为 ｘ，ｙ，ｚ轴，建立空间 直角坐标系，如图所示， ! " # $ %& ' ( ) * + 　　　 由题设知，Ａ（１，－１，０），Ｐ（０，０，槡２）， Ｂ（１，３，０），Ｃ（－１，３，０）， ∴ →ＰＢ＝（１，３， 槡－ ２），→ＰＣ＝（－１，３， 槡－ ２）， （８分） !!! !!!!!!!!!!!!!!!! 设平面 ＰＢＣ的法向量为 ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 由 ｎ· →ＰＢ＝（ｘ，ｙ，ｚ）·（１，３， 槡－ ２）＝０ ｎ· →ＰＣ＝（ｘ，ｙ，ｚ）·（－１，３， 槡－ ２）{ ＝０ 得，ｘ＋３ｙ 槡－ ２ｚ＝０ －ｘ＋３ｙ 槡－ ２ｚ{ ＝０ ，取 ｚ 槡＝ ２，则 ｘ＝０，ｙ＝２ ３， ∴平面 ＰＢＣ的一个法向量为 ｎ＝（０，２ ３，槡２）， （１０分） ! !!!!!!!!!!!!!!!! 设直线 ＡＰ与平面 ＰＢＣ所成角为 θ， ∵ →ＡＰ＝（－１，１，槡２）， ∴ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ＜ｎ，→ＡＰ＞｜＝｜ ｎ· →ＡＰ ｜ｎ｜·｜→ＡＰ｜｜ ＝｜ ２ ３＋２ ４ ９＋２· 槡槡 １＋１＋２ ｜＝ 槡２ ２２ １１ ， 即直线 ＡＰ与平面 ＰＢＣ所成角的正弦值为 槡２ ２２ １１ ． （１２分）!!!!!!!!!!!!!!!! １９．（１）解：延长 Ｆ２Ｑ交直线 Ｆ１Ｐ于点 Ｒ， 由题设知，｜ＰＦ２｜＝｜ＰＲ｜，且 Ｑ为 Ｆ２Ｒ的中点， ∴｜ＯＱ｜＝１ ２｜Ｆ１Ｒ｜＝１ ２（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＲ｜） ＝１ ２（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜）＝１ ２×２ａ＝ａ＝２， （２分） !!!! !!!!!!!!!!!!!!!! 又 ｅ＝ｃ ａ＝１ ２，∴ｃ＝１，则 ｂ 槡＝ ３， 故椭圆 Ｃ的方程为ｘ２ ４＋ｙ２ ３＝１； （４分）!!!!! （２）证明：当两条切线中的一条的斜率不存在时， 不妨设点 Ｓ在第一象限且 ＳＡ⊥ｘ轴， 则点 Ａ为椭圆的右顶点，∴Ａ（２，０）， ∵点 Ｓ在圆 ｘ２＋ｙ２＝７上，∴Ｓ（２，槡３）， 此时，Ｂ（０，槡３）为椭圆的上顶点，∴ＳＡ⊥ＳＢ； （６分） !! !!!!!!!!!!!!!!!! 当两条切线的斜率都存在时，设 Ｓ（ｘ０，ｙ０），一条切 线的斜率为 ｋ， 则过点 Ｓ的切线方程为 ｙ－ｙ０＝ｋ（ｘ－ｘ０）， 联立 ｙ－ｙ０＝ｋ（ｘ－ｘ０） ｘ２ ４＋ｙ２ ３{ ＝１ 消去 ｙ得， （３＋４ｋ２）ｘ２＋８ｋ（ｙ０－ｋｘ０）ｘ＋４（ｙ０－ｋｘ０）２－１２＝０， ∵直线和椭圆相切， ∴Δ＝６４ｋ２（ｙ０－ｋｘ０）２－４（３＋４ｋ２）［４（ｙ０ －ｋｘ０）２ － １２］＝０， 即（ｘ２ ０－４）ｋ２－２ｘ０ｙ０ｋ＋ｙ２ ０－３＝０， （１０分）!!! 则 ｋＳＡ·ｋＳＢ ＝ｙ２ ０－３ ｘ２ ０－４， ∵Ｓ在圆 ｘ２＋ｙ２＝７上，∴ｘ２ ０＋ｙ２ ０＝７， ∴ｋＳＡ·ｋＳＢ ＝７－ｘ２ ０－３ ｘ２ ０－４ ＝－１，故 ＳＡ⊥ＳＢ． （１２分） !!!! !!!!!!!!!!!!!!!! ２０．解：（１）由题设知，Ｘ＝０，１，２， 则 Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｃ２ ４ Ｃ２ ６ ＝２ ５， Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１ ２Ｃ１ ４ Ｃ２ ６ ＝８ １５， Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２ ２ Ｃ２ ６ ＝１ １５， （３分）!!!!!!!!! ∴随机变量 Ｘ的分布列为： Ｘ ０ １ ２ Ｐ ２ ５ ８ １５ １ １５ （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）后四组数据是： 间隔时间 ｘ（分钟） １３ １２ １５ １４ 侯车人数 ｙ（人） ２９ ２６ ３１ ２８ ∴ｘ＝１３＋１２＋１５＋１４ ４ ＝１３．５， ｙ＝２９＋２６＋３１＋２８ ４ ＝２８．５， 又∑ ４ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝１３×２９＋１２×２６＋１５×３１＋１４×２８＝ １５４６， ∑ ｎ ｉ＝１ ｘ２ ｉ＝１３２＋１２２＋１５２＋１４２＝７３４， （７分）!!! ∴ ) ｂ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－ｎｘｙ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘ２ ｉ－ｎｘ２ ＝１５４６－４×１３．５×２８．５ ７３４－４×１３．５２ ＝１．４， 则 ) ａ＝ｙ－ ) ｂｘ＝２８．５－１．４×１３．５＝９．６， ∴ｙ关于 ｘ的线性回归方程为 ) ｙ＝１．４ｘ＋９．６； （９分） ! !!!!!!!!!!!!!!!! （３）由（２）知，当 ｘ＝１０时，) ｙ＝２３．６， ∴｜２３．６－２３｜＜１， 当 ｘ＝１１时，) ｙ＝２５，∴｜２５－２５｜＜１， ∴求出的回归方程是最佳回归方程； 当 ｘ＝１８时，) ｙ＝１．４×１８＋９．６＝３４．８， ∵３４．８＜３５，∴间隔时间设置为 １８分钟合适． （１２分） ! !!!!!!!!!!!!!!!! 　　　 ２１．解：（１）由题设知， ｙ＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ－１＋ａｘ， 则 ｙ′＝１ ｘ＋ａ， ∵函数 ｙ＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）在（０，ｅ］上单调递增， ∴ｙ′＝１ ｘ＋ａ≥０在（０，ｅ］上恒成立， 即 ａ≥ －１ ｘ在（０，ｅ］上恒成立， ∵ｙ＝－１ ｘ在（０，ｅ］上单调递增， ∴ａ≥ －１ ｅ； （４分）!!!!!!!!!!!!! （２）由题设知，ｈ（ｘ）＝（ｌｎｘ－１）ｅｘ＋ｘ， ∴ｈ′（ｘ）＝（ｌｎｘ－１）′ｅｘ＋（ｌｎｘ－１）（ｅｘ）′＋１ ＝ｅｘ ｘ＋（ｌｎｘ－１）ｅｘ＋１＝（１ ｘ＋ｌｎｘ－１）ｅｘ＋１； （６分） !! !!!!!!!!!!!!!!!! 设 ｍ（ｘ）＝１ ｘ＋ｌｎｘ－１，其定义域为（０，＋∞）， 则 ｍ′（ｘ）＝－１ ｘ２ ＋１ ｘ＝ｘ－１ ｘ２ ； 令 ｍ′（ｘ）＝０，则 ｘ＝１， 当 ０＜ｘ＜１时，ｍ′（ｘ）＜０， ｍ（ｘ）在（０，１）上单调递减； 当 ｘ＞１时，ｍ′（ｘ）＞０， ｍ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递增； ∴在（０，＋∞）上， ｍ（ｘ）ｍｉｎ＝ｍ（１）＝１＋ｌｎ１－１＝０， 即当 ｘ∈（０，＋∞）时，ｍ（ｘ）＝１ ｘ＋ｌｎｘ－１≥０； （９分） ! !!!!!!!!!!!!!!!! ∴当 ｘ０∈（０，＋∞）时，ｅｘ０ ＞１，１ ｘ０ ＋ｌｎｘ０－１≥０， ∴ｈ′（ｘ０）＝（１ ｘ０ ＋ｌｎｘ０－１）ｅｘ０ ＋１≥１， 当且仅当 ｘ０＝１时取等号． 而对于 Ｈ（ｘ），Ｈ′（ｘ）＝１－（ｅｘ＋１ ｅｘ）≤ １－２ ｅｘ－１ ｅ槡 ｘ ＝－１， 当且仅当 ｘ＝０时取得等号． ∴ｈ′（ｘ０）Ｈ′（ｘ）≤ －１， 当且仅当 ｘ０＝１，ｘ＝０时取等号， 故存在 ｘ０＝１，使得结论成立． （１２分）!!!!! ２２．解：（１）∵圆 Ｃ的极坐标方程为 ρ＝１， ∴Ｃ的直角坐标方程为 ｘ２＋ｙ２＝１， 圆心为（０，０），半径为 ｒ＝１； ∵直线 ｌ过点 Ｐ（－２，０），倾斜角为 α， ∴当 α＝π ２时，不合题意， （２分）!!!!!!! 当 α≠ π ２时，斜率为 ｋ＝ｔａｎα， 则直线的方程为 ｙ＝ｋ（ｘ＋２）， 即 ｋｘ－ｙ＋２ｋ＝０，∵直线 ｌ与圆 Ｃ相切， ∴ ｜２ｋ｜ ｋ２槡 ＋１ ＝１，解得，ｋ＝±槡３ ３， 即 ｔａｎα＝±槡３ ３，∴α＝π ６或 α＝５π ６； （５分）!!! （２）∵直线 ｌ与圆 Ｃ相交于不同两点 Ａ，Ｂ， ∴由（１）知，α∈［０，π ６）∪（５π ６，π）， 设 Ａ，Ｂ，Ｑ对应的参数分别为 ｔＡ，ｔＢ，ｔＱ， 则 ｔＱ ＝ｔＡ＋ｔＢ ２ ， （７分）!!!!!!!!!!!! 将 ｘ＝－２＋ｔｃｏｓα ｙ＝ｔｓｉｎ{ α 代入 ｘ２＋ｙ２＝１得， ｔ２－４ｔｃｏｓα＋３＝０， 则 ｔＡ＋ｔＢ ＝４ｃｏｓα，∴ｔＱ ＝２ｃｏｓα， 又点 Ｑ的坐标（ｘ，ｙ）满足 ｘ＝－２＋ｔＱｃｏｓα ｙ＝ｔＱｓｉｎ{ α ， 即 ｘ＝－２＋２ｓｉｎ２α ｙ＝２ｃｏｓαｓｉｎ{ α ， 故点 Ｑ的轨迹的参数方程是 ｘ＝－１＋ｃｏｓ２α ｙ＝ｓｉｎ２{ α （α为 参数，α∈［０，π ６）∪（５π ６，π））． （１０分）!!!! ２３．解：（１）当 ２ａ＋ｂ＝２，ｃ＝｜ｘ＋１｜时， 不等式｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ为｜ｘ＋３｜≥２＋｜ｘ＋１｜， 当 ｘ≤ －３时，－ｘ－３≥２－ｘ－１，－３≥１，无解； （２分） ! !!!!!!!!!!!!!!!! 当 －３＜ｘ＜－１时，ｘ＋３≥２－ｘ－１，ｘ≥ －１，无解； 当 ｘ≥ －１时，ｘ＋３≥２＋ｘ＋１，３≥３，∴ｘ≥ －１； 综上，不等式的解集为｛ｘ｜ｘ≥ －１｝； （５分）!!! （２）由柯西不等式得， （２ａ＋ｂ＋ｃ）２≤（２２＋１２＋１２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）， ∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝６，∴（２ａ＋ｂ＋ｃ）２≤３６， （７分）! 则 ２ａ＋ｂ＋ｃ≤６；∵不等式 ｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ对所 有实数 ａ，ｂ，ｃ都成立， ∴｜ｘ＋３｜≥６，∴ｘ＋３≥６或 ｘ＋３≤ －６， 则 ｘ≥３或 ｘ≤ －９， 故实数 ｘ的取值范围是：（－∞，－９］∪［３，＋∞）． （１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!