2020学年高二数学上学期第三次月考试题 理（含解析） 人教新目标版 新版(1) 12页

‎2019年度第一学期第三次月考 高二数学理科 试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合， 集合，故选C.‎ ‎2. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，由于函数在上是增函数，所以区间上为增函数，故满足条件；，由于函数在上是减函数，故不满足条件；，由于函数在上是减函数，故不满足条件；，由于函数在上是减函数，故不满足条件，故选A.‎ ‎3. 已知是第一象限的角，若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，‎ ‎，是第一象限的角，，故选C.‎ ‎4. 已知等比数列的公比为3，且，则（ ）‎ A. B. C. 6 D. -6‎ ‎【答案】D ‎【解析】等比数列的公比为，且， ‎ - 12 -‎ ‎，则，故选D.‎ ‎5. 下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 若命题“”，则命题的否定为：“”‎ B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 若，则 D. 直线为异面直线的充要条件是直线不相交 ‎【答案】A ‎【解析】若命题“”，则命题的否定为：“”，故是真命题；“直线与直线互相垂直” “”，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故为假命题；若，则,或若，则，故为假命题；直线为异面直线的充要条件是直线不相交且不平行，故为假命题，故选A.‎ ‎6. 若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由，得，即平移后的函数的对称轴方程为，故选C．‎ 考点：三角函数的图象与性质．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的解析式，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．‎ 视频 - 12 -‎ ‎7. 若满足约束条件，若的最大值是6，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 满足约束条件的平面区域如图，目标函数的最大值是，可得，可得当时，取最大值，在直线上，可得，故选A.‎ ‎8. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三视图可得，该几何体下半部分是圆柱，上半部分是正四棱锥，圆柱的底面积为，四棱锥的高为，则该几何体的体积，故选C.‎ ‎9.‎ - 12 -‎ ‎ 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入的值分别为3，2．则输出的值为（ ）‎ A. 9 B. 18 C. 20 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】输入的，故，满足进行循环的条件，，满足进行循环的条件，，满足进行循环的条件，；不满足进行循环的条件，故输出的值为，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎10. 设函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】若，则可化为：，即，解得，若 - 12 -‎ ‎，则可化为：，即，解得，综上实数的取值范围是，故选C.‎ ‎11. 已知的三个内角的对边分别是，若关于的方程有两个相等实根，则角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎..................‎ ‎，是的内角，，角的取值范围是，故选D.‎ ‎12. 平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，延长 至 使得，则 是平行四边形，，延长 至 使得，则 是平行四边形，，则平面 就是符合题意的平面，或就是直线，就是直线，可知，是正三角形，所成角就是，则所成角正弦值为，故选A.‎ ‎【‎ - 12 -‎ 思路点睛】本题主要考查正方体的性质、面面平行的性质与判定、直线与直线所成的角，属于难题.解答本题有两个思路：一是延展平面 ，根据平行的性质证明，进而可得所成角正弦值；二是作出过顶点与平面平行的平面，从而可得，进而得到所成角正弦值.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 向量满足，，则向量与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，即，，，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查向量的模与夹角、以及平面向量数量积公式，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎14. __________．‎ ‎【答案】‎ ‎15. 在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.‎ ‎【考点】直线与圆位置关系；几何概型 - 12 -‎ ‎【名师点睛】本题是高考常考知识内容，考查几何概型概率的计算.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，涉及点到直线距离的计算.本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.‎ 视频 ‎16. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是定义在上周期为的奇函数，，时，，，是定义在上周期为的奇函数，，‎ ‎，，故答案为.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 数列的前项和记为，，点在直线上，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，，是数列的前项和，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由在直线上可得，，所以，两式相减得为等比数列，从而得出的通项公式；（2）求出，利用分组求和法以及等差数列的求和公式与等比数列的求和公式可得出.‎ 试题解析：（1）由题知，所以，两式相减得 ‎，又，‎ 所以是以1为首项，4为公比的等比数列．‎ ‎（2），，‎ 所以 .‎ - 12 -‎ ‎【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义与通项、等差数列的求和公式与等比数列的求和公式以及利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.‎ ‎18. 设．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）增区间是,减区间是；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）将已知函数解析式用二倍角公式化简可得，将整体角分别代入正弦函数的单调增区间和单调减区间内，求得的范围即为所求．（Ⅱ）由可得的值，从而可得．由余弦定理可得，由基本不等式可得的范围，从而可得三角形面积的最大值．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知 由可得 由可得 所以函数的单调递增区间是；‎ 单调递减区间是 ‎（Ⅱ）由得 由题意知为锐角，所以由余弦定理：‎ 可得：即：当且仅当时等号成立．‎ 因此所以面积的最大值为 考点：1正弦函数的单调性；2余弦定理；3基本不等式．‎ ‎19.‎ - 12 -‎ ‎ 某校高二年级进行了百科知识大赛，为了了解高二年级900名同学的比赛情况，现在甲、乙两个班级各随机抽取了10名同学的成绩，比赛成绩满分为100分，80分以上可获得二等奖，90分以上可以获得一等奖，已知抽取的两个班学生的成绩(单位:分)数据的茎叶图如图1所示:‎ ‎ 图1 图2‎ ‎（1）比较两组数据的分散程度(只需要给出结论)，并求出甲组数据的频率分布直方图如图2中所示的值；‎ ‎（2）现从两组数据中获奖的学生里分别随机抽取一人接受采访，求被抽中的甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率．‎ ‎【答案】（1），，；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据数据集中程度确定分散程度,利用频率等于频数除以总数得对应区间概率,再除以组距得值；（2）甲班获奖4人，乙班获奖5人，所以总事件数为,其中甲班学生成绩高于乙班学生成绩的事件数有9个(枚举法),最后根据古典概型概率求法求概率 试题解析：（I）由茎叶图可知,甲组数据更集中,乙组数据更分散=0.05，=0.02，=0.01.‎ ‎（II）由茎叶图知：甲班获奖4人，乙班获奖5人，所以.‎ ‎20. 如图，在长方体中，，，分别是的中点．‎ ‎（1）证明四点共面；‎ - 12 -‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接，因为分别是的中点，所以是的中位线，‎ 所以，所以，可得四点共面；（2）以为原点建立坐标系，求出的方向向量，和平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为，由空间向量夹角余弦公式可得结果.‎ 试题解析：（1）连接，因为分别是的中点，所以是的中位线，‎ 所以．由长方体的性质知，‎ 所以，‎ 所以四点共面．‎ ‎（2）以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，易求得 ‎，‎ 设平面的法向量为 则，即，‎ ‎，得，，所以，‎ 所以 ，‎ 所以直线与平面所成的角的大小．‎ ‎21. 如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点，将沿折起到的位置，如图2．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎（1）证明：平面；‎ - 12 -‎ ‎（2）若平面平面，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先证平面，又，得平面；（2）由已知得为二面角的平面角，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，面与面夹角为，由，即得平面与平面夹角的余弦值.‎ 试题解析：（1）在图1中，‎ 因为，，是的中点，，所以 即在图2中，，‎ 从而平面 又，所以平面．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎(2)由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，‎ 所以为二面角的平面角，所以．‎ 如图，以为原点，建立空间直角坐标系，‎ 因为，‎ 所以，，，，‎ 得，，．‎ 设平面的法向量，平面的法向量，二面角为，‎ 则，得，取，‎ - 12 -‎ ‎，得，取，‎ 从而，由图可知为钝角．‎ 即二面角的余弦值为．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的性质，利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎22. 在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线：相切．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围 试题解析：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，‎ 即．‎ 得圆的方程为．‎ ‎（2）不妨设．由即得．‎ 设，由成等比数列，得 即． ‎ 由于点在圆内，故，由此得．所以的取值范围为．‎ 考点：圆的标准方程；等比数列的性质；圆方程的综合应用 ‎ ‎ - 12 -‎