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- 2021-07-01 发布
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简单的线性规划问题
A级 基础巩固
一、选择题
1.设变量x,y满足约束条件则z=x-3y的最小值为( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
解析:作可行域如图所示,当z=x-3y过点A(-2,2)时,z取最小值,zmin=-2-3×2=-8.
答案:D
2.若实数x,y满足不等式组则z=2|x|+y的取值范围是( )
A.[-1,3] B.[1,11]
C.[1,3] D.[-1,11]
解析:作出不等式组对应的平面区域如图所示,当x≥0时,z=2x+y,即y=-2x+z,由图象可知其经过A(0,-1)时,zmin=-1,经过B(6,-1)时,zmax=11;当x<0时,y=2x+z,由图象可知其经过C(-2,-1)时,zmax=3,经过A(0,-1)时,zmin=-1,所以-1≤z≤11.
答案:D
3.已知变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为( )
A.12 B.11 C.3 D.-1
解析:
- 6 -
首先画出可行域,建立在可行域的基础上,分析最值点,然后通过解方程组得最值点的坐标,代入即可.如图中的阴影部分,即为约束条件对应的可行域,当直线y=-3x+z经过点A时,z取得最大值.由⇒此时z=3x+y=11.
答案:B
4.已知x,y满足目标函数z=2x+y的最大值为7,最小值为1,则b,c的值分别为( )
A.-1,4 B.-1,-3
C.-2,-1 D.-1,-2
解析:由题意知,直线x+by+c=0经过直线2x+y=7与直线x+y=4的交点,且经过直线2x+y=1和直线x=1的交点,即经过点(3,1)和点(1,-1),
所以解得
答案:D
5.x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.或-1 B.2或
C.2或1 D.2或-1
解析:如图,由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,
故当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2;
当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.
答案:D
二、填空题
6.若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值是____.
- 6 -
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,设t=x+2y,
则y=-x+,
当x=0,y=0时,tmin=0,
z=3x+2y的最小值为1.
答案:1
7.已知x,y满足约束条件则x2+y2的最小值是________.
解析:画出满足条件的可行域(如图),根据表示可行域内一点到原点的距离,可知x2+y2的最小值是|AO|2.
由
得A(1,2),所以|AO|2=5.
答案:5
8.若点P(m,n)在由不等式组所确定的区域内,则n-m的最大值为________.
解析:作出可行域,如图中的阴影部分所示,可行域的顶点坐标分别为(1,3),(2,5),(3,4),设目标函数为z=y-x.则y=x+z,其纵截距为z,由图易知点P的坐标为(2,5)时,n-m的最大值为3.
答案:3
- 6 -
三、解答题
9.设函数z=2x+5y,其中x,y满足条件
求z的最大值与最小值.
解:在平面直角坐标系xOy内画出不等式组所表示的平面区域,即可行域(如图中阴影部分).
把z=2x+5y变形为y=-x+z,得到斜率为-,在y轴上的截距为z,随z变化的一组平行直线.
由图可以看出,当直线y=-x+z经过可行域上的点M时,截距z最大,即z最大.
解方程组得
故M(2,3).
此时zmax=2×2+5×3=19.
易知直线y=-x+z经过原点时,截距最小,
故zmin=0.
10.已知-1
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