2006年湖北省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 5页

‎2006年湖北省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 集合P={x|x‎2‎-16<0}‎，Q={x|x=2n, n∈Z}‎，则P∩Q=(‎ ‎‎)‎ A.‎{-2, 2}‎ B.‎{-2, 2, -4, 4}‎ C.‎{-2, 0, 2}‎ D.‎‎{-2, 2, 0, -4, 4}‎ ‎2. 已知非零向量a‎→‎、b‎→‎，若a‎→‎‎+2‎b‎→‎与a‎→‎‎-2‎b‎→‎互相垂直，则‎|a‎→‎|‎‎|b‎→‎|‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎4‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎ ‎3. 已知sin2A=‎‎2‎‎3‎，A∈(0, π)‎，则sinA+cosA=(‎ ‎‎)‎ A.‎15‎‎3‎ B.‎-‎‎15‎‎3‎ C.‎5‎‎3‎ D.‎‎-‎‎5‎‎3‎ ‎4. 在等比数列‎{an}‎中，a‎1‎‎=1‎，a‎10‎‎=3‎，则a‎2‎a‎3‎a‎4‎a‎5‎a‎6‎a‎7‎a‎8‎a‎9‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎81‎ B.‎27‎‎5‎‎27‎ C.‎3‎ D.‎‎243‎ ‎5. 甲：A‎1‎、A‎2‎是互斥事件；乙：A‎1‎、A‎2‎是对立事件，那么（ ）‎ A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 ‎6. 关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：‎ ‎①若m // α，n // β且α // β，则m // n；‎ ‎②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；‎ ‎③若m⊥α，n // β且α // β，则m⊥n；‎ ‎④若m // α，n⊥β且α⊥β，则m // n；‎ 其中真命题的序号是（ ）‎ A.①② B.③④ C.①④ D.②③‎ ‎7. 设f(x)=lg‎2+x‎2-x，则f(x‎2‎)+f(‎2‎x)‎的定义域为（ ）‎ A.‎(-4, 0)∪(0, 4)‎ B.‎(-4, -1)∪(1, 4)‎ C.‎(-2, -1)∪(1, 2)‎ D.‎‎(-4, -2)∪(2, 4)‎ ‎8. 在‎(x+‎‎1‎‎3‎x‎)‎‎24‎的展开式中，x的幂指数是整数的有（ ）‎ A.‎3‎项 B.‎4‎项 C.‎5‎项 D.‎6‎项 ‎9. 设过点P(x, y)‎的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP‎→‎‎=2‎PA‎→‎且OQ‎→‎‎⋅AB‎→‎=1‎，则点P的轨迹方程是（ ）‎ A.‎3x‎2‎+‎3‎‎2‎y‎2‎=1(x>0,y>0)‎ B.‎‎3x‎2‎-‎3‎‎2‎y‎2‎=1(x>0,y>0)‎ C.‎3‎‎2‎x‎2‎‎-3y‎2‎=1(x>0,y>0)‎ D.‎‎3‎‎2‎x‎2‎‎+3y‎2‎=1(x>0,y>0)‎ ‎10. 关于x的方程‎(x‎2‎-1‎)‎‎2‎-|x‎2‎-1|+k＝‎0‎，给出下列四个命题：‎ ‎①存在实数k，使得方程恰有‎2‎个不同的实根；‎ ‎②存在实数k，使得方程恰有‎4‎个不同的实根；‎ ‎③存在实数k，使得方程恰有‎5‎个不同的实根；‎ ‎④存在实数k，使得方程恰有‎8‎个不同的实根；‎ 其中假命题的个数是（ ）‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11. 在‎△ABC中，已知a=‎‎4‎‎3‎‎3‎，b=4‎，A=‎‎30‎‎∘‎，则sinB=‎________．‎ ‎12. 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为‎0.80‎，现有‎5‎人接种了该疫苗，至少有‎3‎人出现发热反应的概率为________．（精确到‎0.01‎）‎ ‎13. 若直线y=kx+2‎与圆‎(x-2‎)‎‎2‎+(y-3‎)‎‎2‎=1‎有两个不同的交点，则k的取值范围是________．‎ ‎14. 安排‎5‎名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是________．（用数字作答）‎ ‎15. 半径为r的圆的面积S(r)=πr‎2‎，周长C(r)=2πr，若将r看作‎(0, +∞)‎上的变量，则‎(πr‎2‎)'=2πr①．‎ ‎①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R ‎ 5 / 5‎ 的球，若将R看作‎(0, +∞)‎上的变量，请你写出类似于①的式子②：________，②式可以用语言叙述为：________．‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16. 设向量a‎→‎‎=(sinx, cosx)‎，b‎→‎‎=(cosx, cosx)‎，x∈R，函数f(x)=a‎→‎⋅(a‎→‎+b‎→‎)‎．‎ ‎(1)‎求函数f(x)‎的最大值与最小正周期；‎ ‎(2)‎求使不等式f(x)≥‎‎3‎‎2‎成立的x的取值集合．‎ ‎17. 某单位最近组织了一次健身活动，活动小组分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占‎42.5%‎，中年人占‎47.5%‎，老年人占‎10%‎．登山组的职工占参加活动总人数的‎1‎‎4‎，且该组中青年人占‎50%‎，中年人占‎40%‎，老年人占‎10%‎．为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取‎200‎人进行问卷调查，试确定：‎ ‎（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；‎ ‎（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．‎ ‎18. 如图，已知正三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的侧棱长和底面边长均为‎1‎，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC‎1‎上的点，且CN=2C‎1‎N．‎ ‎（1）求二面角B‎1‎‎-AM-N的平面角的余弦值；‎ ‎（2）求点B‎1‎到平面AMN的距离．‎ ‎ 5 / 5‎ ‎19. 设函数f(x)=x‎3‎+ax‎2‎+bx+c在x=1‎处取得极值‎-2‎，试用c表示a和b，并求f(x)‎的单调区间．‎ ‎20. 已知二次函数y=f(x)‎的图象经过坐标原点，其导函数为f‎'‎‎(x)=6x-2‎，数列‎{an}‎的前n项和为Sn，点‎(n, Sn)(n∈N‎*‎)‎均在函数y=f(x)‎的图象上．‎ 求数列‎{an}‎的通项公式；‎ 设bn‎=‎‎3‎anan+1‎，Tn是数列‎{bn}‎的前n项和，求使得Tn‎<‎m‎20‎对所有n∈‎N‎*‎都成立的最小正整数m．‎ ‎21. 设A，B分别为椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a, b>0)‎的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4‎为它的右准线．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设P为右准线上不同于点‎(4, 0)‎的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内．‎ ‎ 5 / 5‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年湖北省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.C ‎2.D ‎3.A ‎4.A ‎5.B ‎6.D ‎7.B ‎8.C ‎9.D ‎10.A 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11.‎‎3‎‎2‎ ‎12.‎‎0.94‎ ‎13.‎‎(0,‎4‎‎3‎)‎ ‎14.‎‎78‎ ‎15.‎(‎4‎‎3‎πR‎3‎)'=4πR‎2‎,球的体积函数的导数等于球的表面积函数 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16.解：‎(1)‎由题意知，‎f(x)=a‎→‎⋅(a‎→‎+b‎→‎)‎ ‎=a‎→‎⋅a‎→‎+a‎→‎⋅‎b‎→‎ ‎=sin‎2‎x+cos‎2‎x+sinxcosx+cos‎2‎x ‎=1+‎1‎‎2‎sin2x+‎1‎‎2‎(cos2x+1)‎ ‎=‎3‎‎2‎+‎1‎‎2‎sin2x+‎1‎‎2‎cos2x ‎=‎3‎‎2‎+‎2‎‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎‎,‎ ‎∴ f(x)‎的最大值为‎3‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎，最小正周期是‎2π‎2‎‎=π．‎ ‎(2)‎由‎(1)‎知，f(x)=‎3‎‎2‎+‎2‎‎2‎sin(2x+π‎4‎)‎，‎ ‎∴ f(x)≥‎‎3‎‎2‎，‎ 即‎3‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎sin(2x+π‎4‎)≥‎3‎‎2‎，sin(2x+π‎4‎)≥0‎，‎ ‎∴ ‎‎2kπ≤2x+π‎4‎≤2kπ+π 解得kπ-π‎8‎≤x≤kπ+‎3π‎8‎，k∈Z，‎ 即f(x)≥‎‎3‎‎2‎成立的x的取值集合是 ‎{x|kπ-π‎8‎≤x≤kπ+‎3π‎8‎，k∈Z}‎‎．‎ ‎17.解：（1）设登山组人数为x，则游冰组人数为‎3x．‎ 设游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a，b，c．‎ 则有x⋅50%+3xa‎4x‎=42.5%‎，x⋅40%+3xb‎4x‎=47.5%‎，‎ 解得a=40%‎，b=50%‎．‎ 故c=1-40%-50%=10%‎．‎ 所以游泳组中，青年人、中年人、老年人所占的比例分别为‎40%‎，‎50%‎，‎10%‎．‎ ‎（2）游泳组中，抽取的青年人人数为‎200×‎3‎‎4‎×40%=60‎，抽取的中年人人数为‎200×‎3‎‎4‎×50%=75‎，抽取的老年人人数为‎200×‎3‎‎4‎×10%=15‎．‎ ‎18.解：（1）因为M是底面BC边上的中点，‎ 所以AM⊥BC，又AM⊥CC‎1‎，‎ 所以AM⊥‎面BCC‎1‎B‎1‎，从而AM⊥B‎1‎M，AM⊥NM，‎ 所以‎∠B‎1‎MN为二面角，B‎1‎‎-AM-N的平面角．‎ ‎ 5 / 5‎ 又B‎1‎M=B‎1‎B‎2‎‎+BM‎2‎=‎1+‎‎1‎‎4‎=‎‎5‎‎2‎，MN=MC‎2‎+CN‎2‎=‎1‎‎4‎‎+‎‎4‎‎9‎=‎‎5‎‎6‎，‎ 连B‎1‎N，得B‎1‎N=B‎1‎C‎1‎‎2‎‎+‎C‎1‎N‎2‎=‎1+‎‎1‎‎9‎=‎‎10‎‎3‎，‎ 得cosB‎1‎MN=B‎1‎M‎2‎‎+MN‎2‎-‎B‎1‎N‎2‎‎2⋅B‎1‎M⋅MN=‎5‎‎4‎‎+‎25‎‎36‎-‎‎10‎‎9‎‎2×‎5‎‎2‎×‎‎5‎‎6‎=‎‎5‎‎5‎．‎ 故所求二面角B‎1‎‎-AM-N的平面角的余弦值为‎5‎‎5‎．‎ ‎（2）过B‎1‎在面BCC‎1‎B‎1‎内作直线B‎1‎H⊥MN，H为垂足．又AM⊥‎平面BCC‎1‎B‎1‎，‎ 所以AM⊥B‎1‎H．于是B‎1‎H⊥‎平面AMN，故B‎1‎H即为B‎1‎到平面AMN的距离．‎ 在R‎1‎‎△B‎1‎HM中，B‎1‎H=B‎1‎MsinB‎1‎MH=‎5‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎5‎=1‎．‎ 故点B‎1‎到平面AMN的距离为‎1‎．‎ ‎19.解：依题意有f(1)=-2‎，f'(1)=0‎，而f'(1)=3x‎2‎+2ax+b，‎ 故‎1+a+b+c=-2‎‎3+2a+b=0‎解得a=cb=-2c-3‎ 从而f'(x)=3x‎2‎+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1)‎．‎ 令f'(x)=0‎，得x=1‎或x=-‎‎2c+3‎‎3‎．‎ 由于f(x)‎在x=1‎处取得极值，故‎-‎2c+3‎‎3‎≠1‎，即c≠-3‎．‎ 若‎-‎2c+3‎‎3‎<1‎，即c>-3‎，‎ 则当x∈(-∞,-‎2c+3‎‎3‎)‎时，f'(x)>0‎；‎ 当x∈(-‎2c+3‎‎3‎，1)‎时，f'(x)<0‎；‎ 当x∈(1, +∞)‎时，f'(x)>0‎；‎ 从而f(x)‎的单调增区间为‎(-∞,-‎2c+3‎‎3‎]，[1,+∞)‎；单调减区间为‎[-‎2c+3‎‎3‎，1]‎ 若‎-‎2c+3‎‎3‎>1‎，即c<-3‎，‎ 同上可得，f(x)‎的单调增区间为‎(-∞,1],[-‎2c+3‎‎3‎，+∞)‎；单调减区间为‎[1,-‎2c+3‎‎3‎]‎ ‎20.‎an‎=6n-5(n∈N‎*‎)‎ ‎10‎ ‎21.解：（1）依题意得a=2c，a‎2‎c‎=4‎，‎ 解得a=2‎，c=1‎，从而b=‎‎3‎．‎ 故椭圆的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎．‎ ‎（2）由（1）得A(-2, 0)‎，B(2, 0)‎．‎ 设M(x‎0‎, y‎0‎)‎．‎ ‎∵ M点在椭圆上，‎ ‎∴ ‎y‎0‎‎2‎‎=‎3‎‎4‎(4-x‎0‎‎2‎)(1)‎ 又点M异于顶点A、B，‎ ‎∴ ‎-20‎，‎ ‎∴ BM‎→‎‎⋅BP‎→‎>0‎，则‎∠MBP为锐角，从而‎∠MBN为钝角，‎ 故点B在以MN为直径的圆内．‎ ‎ 5 / 5‎