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- 2021-07-01 发布
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章末综合测评(一) 计数原理
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( )
A.24个 B.30个
C.40个 D.60个
A [将符合条件的偶数分为两类,一类是2作个位数,共有A个,另一类是4作个位数,也有A个.因此符合条件的偶数共有A+A=24(个).]
2.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )
【导学号:95032107】
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
A [利用分步乘法计数原理求解.
先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有A种不同的排法.
再排第二列,其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法.
因此共有A·A·1=12(种)不同的排列方法.]
3.把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中,要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同,共有不同排法的种数是( )
A.10 B.20
C.40 D.60
B [先选出两位运动员的编号与其所在跑道编号相同,有C,乘余的有2种排法,共有2×C=20种.]
4.已知C-C=C(n∈N*),则n=( )
【导学号:95032108】
A.14 B.15
C.13 D.12
D [由组合数性质知,C+C=C,所以C=C,所以6+7=n+1,得n=12.]
5.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( )
A.1 440种 B.960种
6
C.720种 D.480种
B [先将5名志愿者排好,有A种排法,2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中,先将2位老人排好,有A种排法,再把它作为一个元素插入空隙中,有4种插法.所以共有不同排法4AA=960种.]
6.关于(a-b)10的说法,错误的是( )
【导学号:95032109】
A.展开式中的二项式系数之和为1 024
B.展开式中第6项的二项式系数最大
C.展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
C [由二项式系数的性质知,二项式系数之和为210=1 024,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;D也是正确的,因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大,所以是系数中最小的.]
7.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )
A.-40 B.-20
C.20 D.40
D [由题意,令x=1得展开式各项系数的和(1+a)(2-1)5=2,∴a=1.
∵二项式的通项公式为Tr+1
=C(-1)r·25-r·x5-2r,
∴展开式中的常数项为
x·C(-1)322·x-1+·C·(-1)2·23·x=-40+80=40,故选D.]
8.某学习小组男、女生共8人,现从男生中选2人,从女生中选1人,分别去做3种不同的工作,共有90种不同的选法,则男女生人数为( )
A.男2人,女6人 B.男3人,女5人
C.男5人,女3人 D.男6人,女2人
B [设男生x人,女生(8-x)人,列方程:C·C·A=90.解得x=3,∴8-x=5.]
9.如图13,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为( )
6
图13
A.320 B.160
C.96 D.60
A [根据分步乘法计数原理,区域①有5种颜色可供选择,区域③有4种颜色可供选择,区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可,故有4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有5×4×4×4=320种.]
10.设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为( )
【导学号:95032110】
A.29 B.49
C.39 D.59
B [由于a0,a2,a4,a6,a8为正,a1,a3,a5,a7,a9为负,故令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=|a0|+|a1|+…+|a9|,故选B.]
11.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列{an},则a72等于( )
A.1 543 B.2 543
C.3 542 D.4 532
C [千位数为1时组成的四位数有A个,同理,千位数是2,3,4,5时均有A(个)数,而千位数字为1,2,3时,从小到大排成数列的个数为3A=72,即3 542是第72个.]
12.(1+2)3(1-)5的展开式中x的系数是( )
【导学号:95032111】
A.-4 B.-2
C.2 D.4
C [(1+2)3的展开式的通项为Tr+1=C(2)r=2rCx,(1-)5的展开式的通项为Tr′+1=C·(-)r′=(-1)r′Cx,因此,(1+2)3(1-)5的展开式的通项为(-1)r′·2r·C·C·x.当+=1时有r=0且r′=3或r=2且r′=0两种情况,则展开式中x的系数为(-10)+12=2.]
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.设二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a
6
的值是________.
2 [对于Tr+1=Cx6-r(-ax)r=C(-a)r·x,B=C(-a)4,A=C(-a)2.∵B=4A,a>0,
∴a=2.]
14.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有________种.(用数字作答)
90 [先分组,再把三组分配乘以A得:A=90种.]
15.设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,则a10+a11=________.
【导学号:95032112】
0 [Tr+1=Cx21-r(-1)r,
∴a10=C(-1)11,a11=C(-1)10,
∴a10+a11=-C+C=-C+C=0.]
16.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的安排方法有________种.
432 [由题意知,可分为三类:
第一类,文化课之间没有艺术课,有A·A种;
第二类,文化课之间有一节艺术课,有A·C·C·A种;
第三类,文化课之间有两节艺术课,有A·A·A种.
故共有AA+ACCA+AAA=432种安排方法.]
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知A={x|1<log2x<3,x∈N*},B={x||x-6|<3,x∈N*},试问:从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标,共可得到多少个不同的点?
【导学号:95032113】
[解] A={3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8}.
从A中取一个数作为横坐标,从B中取一个数作为纵坐标,有5×5=25(个),而8作为横坐标的情况有5种,3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种,故共有5×5+5+4=34个不同的点.
18.(本小题满分12分)设的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6,求展开式中的第7项.
[解] T7=C()n-6,
6
Tn+1-6=Tn-5=C()6.
由∶=1∶6,
化简得6=6-1,所以-4=-1,解得n=9.
所以T7=C()9-6=C×2×=.
19.(本小题满分12分)从7名男生和5名女生中,选出5人,分别求符合下列条件的选法数.
(1)A,B必须被选出;
(2)至少有2名女生被选出;
(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5个不同职务,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.
[解] (1)除A,B选出外,从其他10个人中再选3人,共有选法数为C=120.
(2)按女生的选取情况分类:选2名女生3名男生;选3名女生2名男生;选4名女生1名男生;选5名女生.所有选法数为CC+CC+CC+C=596.
(3)选出1名男生担任体育委员,再选出1名女生担任文娱委员,剩下的10人中任选3人担任其他3个职务.由分步乘法计数原理可得到所有选法数为CCA=25 200.
20.(本小题满分12分)已知(1+mx)n(m∈R,n∈N*)的展开式的二项式系数之和为32,且展开式中含x3项的系数为80.
(1)求m,n的值.
(2)求(1+mx)n(1-x)6展开式中含x2项的系数.
【导学号:95032114】
[解] (1)由题意,2n=32,则n=5.
由通项Tr+1=Cmrxr(r=0,1,…,5),则r=3,
所以Cm3=80,所以m=2.
(2)即求(1+2x)5(1-x)6展开式中含x2项的系数,
(1+2x)5(1-x)6=[C+C(2x)1+C(2x)2+…](C-Cx+Cx2+…)
=(1+10x+40x2+…)(1-6x+15x2+…),
所以展开式中含x2项的系数为1×15+10×(-6)+40×1=-5.
21.(本小题满分12分)某校高三年级有6个班级,现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛,且规定每班至少要选1人参加.这10个名额有多少不同的分配方法?
6
[解] 法一:除每班1个名额以外,其余4个名额也需要分配.这4个名额的分配方案可以分为以下几类:
(1)4个名额全部给某一个班级,有C种分法;
(2)4个名额分给两个班级,每班2个,有C种分法;
(3)4个名额分给两个班级,其中一个班级1个,一个班级3个.由于分给一班1个,二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法,因此是排列问题,共有A种分法;
(4)分给三个班级,其中一个班级2个,其余两个班级每班1个,共有C·C种分法;
(5)分给四个班,每班1个,共有C种分法.
故共有N=C+C+A+C·C+C=126种分配方法.
法二:该问题也可以从另外一个角度去考虑:因为是名额分配问题,名额之间无区别,所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球,要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球).这样,每一种分隔办法,对应着一种名额的分配方法.这10个球之间(不含两端)共有9个空位,现在要在这9个位子中放进5块隔板,共有N=C=126种放法.
故共有126种分配方法.
22.(本小题满分12分)已知集合A={x|1
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