广东省七校联合体2019-2020学年高二下学期期末联考数学（理）试题 Word版含答案 11页

七校联合体2020届高二期末联考试卷 ‎ 理科数学 ‎ 命题学校： 命题人： 审题人： ‎ 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎3．若满足则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线焦点的距离为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 图1‎ ‎5．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知数列的前n项和为，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 图2‎ ‎8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，图2是实现该算法的程序框图. ‎ 若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）‎ A．7 B．12 ‎ C．17 D．34‎ ‎9．已知命题，；，直线 恒过第四象限. 则下列为真命题是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知当时，取得最大值，则下列说法正确的是（ ）‎ A．是图像的一条对称轴 B．在上单调递增 ‎ C．当时，取得最小值 D．函数为奇函数 ‎ ‎11．已知函数 (且)的图象上关于轴对称的点至少有对，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题: 本大共4小题,每小题5分，满分20分. ‎ ‎13．已知函数为奇函数，则实数a的值为_________． ‎ ‎14．在中，M是BC的中点，，，，则_________． ‎ 图3‎ ‎15．圆与y轴交于两点，若，则m的值为_____． ‎ ‎16．如图3所示，在三棱柱中，底面，‎ 底面为直角三角形，，，，，‎ 是上一动点，则的最小值是______________．‎ 三、解答题：共6大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 已知等差数列的前n项和满足 ，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求 .‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 已知分别为三个内角的对边，且满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为，求的取值范围.‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 受电视机在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每台电视机的利润与该电视机首次出现故障的时间有关. 某电视机制造厂生产甲、乙两种型号电视机，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种型号电视机中各随机抽取50台，统计数据如下： ‎ 品牌 甲 乙 首次出现故障时间（年）‎ 电视机数量（台）‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎42‎ ‎8‎ ‎42‎ 每台利润（千元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.8‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎（1）从该厂生产的甲种型号电视机中随机抽取一台，求首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎（2）该厂预计今后这两种型号电视机销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种型号电视机，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种型号电视机？说明理由.‎ ‎ ‎ ‎20．（本题满分12分）‎ P A B C D E 如图，在四棱锥中，侧面底面，△是等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为中点.‎ ‎（1）求证:平面⊥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）用单调性的定义判断的单调性；‎ ‎（2）若满足，试求的取值范围；‎ ‎（3）对任一意，若不等式 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 如图，分别是椭圆：的左右顶点，为其右焦点，是与的等差中项，是与的等比中项. 点是椭圆上异于、的任意一点，过点作直线轴. 以线段为直径的圆交直线于点、，连接交直线于点 .‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）试问在轴上是否存在一个定点，使得直线必过该定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.‎ 七校联合体2020届高二期末联考试卷 ‎ 理科数学参考答案 ‎ 一、选择题（每小题5分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C D B C A B C D B A A 二、填空题（每小题5分）‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由已知可得，解得 ………………………3分 ‎∴故的通项公式为 ………………………………………………………5分 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ………………………………………8分 ‎ ………………………………………………………9分 ……………………………………………………………10分 ‎18．解：（1）由正弦定理得 …………………………1分 ‎ 在中， ………………………3分 ‎ ………………………………………………………………4分 ‎ 又， ……………………………………………5分 又 ． ………………………………………………………………6分 ‎（2） ………………………………………………8分 ‎ 由余弦定理得 ……………………10分 ‎ 当且仅当时，“＝”成立，‎ ‎∴ 为所求． ………………………………………………………………………12分 ‎19．解：（1）从甲种型号电视机中随机抽取一台有50种可能，其中首次出现故障发生在保修期内的有种可能，所以首次出现故障发生在保修期内的概率为 ……5分 ‎（2）生产甲种型号电视机的平均利润为（千元） ………8分 生产乙种型号电视机的平均利润为（千元） …………11分 ‎∴ 应该生产甲种型号电视机. …………………………………………………12分 ‎20．解:(Ⅰ) ∵面面,,‎ 面,面面 ‎∴面, ………………………………………………………………………3分 又面, ∴平面⊥平面. ………………………………………5分 ‎（Ⅱ）法一: 取中点,连结,∵为正三角形 ‎∴,由(Ⅰ)知面,面，‎ ‎∴面, ………………………………………………………………………6分 如图,分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系 ………7分 P A B C D E x y z O 设,则,,,,, ‎ 故,,‎ 设面的法向量为,则，‎ 即,取 ,‎ 得 ……………9分 又显然为面的一个法向量, ……10分 ‎∴, ‎ ‎∴二面角的余弦值为. ……………………………………………12分 法二: 取中点,连结,∵为正三角形 ‎∴,由(Ⅰ)知面,面，‎ P A B C D E O M ‎∴面, ………………………………………………………………………6分 过作,连,‎ ‎∵面,∴‎ 又, ∴面,‎ ‎∴,‎ ‎∴为二面角的平面角, ………8分 设,则,, ‎ ‎∴由等面积得到边的高为, ∴, …………………9分 ‎∴, ∴, ………………………………11分 又二面角与二面角互补,‎ ‎∴二面角的余弦值为 ……………………………………………12分 ‎21．解：任取，且，‎ 则 ‎ …………………………………………………………2分 ‎∵， ∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴， …………………………………………………3分 ‎∴‎ ‎∴在上单调递增 …………………………………………………………4分 ‎（2）∵，∴‎ ‎∵在上单调递增，‎ ‎∴， ……………………………………………………………………6分 解得 ………………………………………………………………………7分 ‎（3）由题意得 在上恒成立 分离变量得 在上恒成立 …………………………………8分 ‎∵ ‎ 令 由（1）知 在上单调递增， …………………………10分 ‎∴ …………………………………………………………………11分 ‎∴的取值范围为 …………………………………………………………12分 ‎22．（1）由题意得，， ........................................................1分 ‎ 即， ..........................................................................................2分 ‎ 解得：， ‎ ‎ ∴， ......................................................................................................3分 ‎∴ 所求椭圆的方程为. ..............................................................................4分 ‎（2）假设在轴上存在一个定点，使得直线必过定点 ............5分 设动点，由于点异于，‎ 故且 由点在椭圆上，‎ 故有.......① . ...........6分 又由（I）知，所以直线的斜率. ....................................................................................................................7分 又点是以线段为直径的圆与直线的交点，所以，‎ 所以， ...............................................8分 所以直线的方程： ...............................................................9分 联立的方程，得交点 .‎ 所以两点连线的斜率......②‎ 将.①式代入②式，并整理得： .........................................................10分 又两点连线的斜率 ‎ 若直线必过定点，则必有恒成立 ‎ 即 整理得：....③ .....................11分 ‎ 将①式代入③式，得 ‎ 解得：‎ ‎ 故直线过定点 ..............................................................................................12分