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- 2021-07-01 发布
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2014届高三理科数学一轮复习试题选编18:空间的平行与垂直关系
一、选择题
.(北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学(理)试题 )平面平面的一个充分条件是 ( )
A.存在一条直线
B.存在一条直线
C.存在两条平行直线
D.存在两条异面直线
.(北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )设是不同的直线,是不同的平面,下列命题中正确的是 ( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则⊥
D.若,则
.(北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学)已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
.(2013届北京大兴区一模理科)已知平面,直线,下列命题中不正确的是 ( )
A.若,,则∥
B.若∥,,则
C.若∥,,则∥
D.若,,则.
.(2013届北京市高考压轴卷理科数学)已知、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列命题:
①若,则;②若,且则;③若,则
;④若,,且,则.其中正确命题的序号是 ( )
A.①④ B.②③ C.②④ D.①③
二、填空题
.(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理))设、是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题:
① 若 则 ②若,,则
③ 若,则 ④若,则
其中所有真命题的序号是_____
三、解答题
.(北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学)如图,在四棱锥中,平面平面,且, .四边形满足,,.点分别为侧棱上的点,且.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当时,求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在实数,使得平面平面?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.
P
D
A
B
C
F
E
.(2013北京西城高三二模数学理科)如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)证明:∥平面;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使与所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在,说明理由.
.(北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )(本小题满分14分)在四棱锥中,底面是正方形,为的中点. (Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)若在线段上是否存在点,使?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
.(北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学(理)试题 )已知几何体A—BCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角
三角形,正视图为直角梯形.
(Ⅰ)求此几何体的体积V的大小;
(Ⅱ)求异面直线DE与AB所成角的余弦值;
(Ⅲ)试探究在棱DE上是否存在点Q,使得
AQBQ,若存在,求出DQ的长,不存在说明理由.
侧视图
俯视图
正视图
1
4
4
4
.(北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习(二)数学(理)试题 )(本小题满分13分) 在四棱锥中,底面为矩形,,,,,分别为的中点.
(1)求证:;
(2)求证:平面;
(3)线段上是否存在一点,使得平面平面,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
.(2013届北京海滨一模理科)在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,,点在线段上,且.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
.(2010年高考(北京理))如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.
(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;
(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;
(Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小。
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编18:空间的平行与垂直关系参考答案
一、选择题
D
【答案】C
解:C中,当,所以,或当,所以⊥,所以正确。
B【解析】根据线面垂直的性质可知,B正确.
C
B
【解析】①当时,不一定成立,所以错误.②成立.③成立.④,,且,也可能相交,所以错误.所以选B.
二、填空题
①③
三、解答题
证明:(Ⅰ)由已知,,
所以 .
因为,所以.
而平面,平面,
所以平面
(Ⅱ)因为平面平面,
平面平面,且,
所以平面.
所以,.
又因为,
所以两两垂直
如图所示,建立空间直角坐标系,P
D
A
B
C
F
E
x
yx
zx
因为,,
所以
.
当时,为中点,
所以,
所以.
设异面直线与所成的角为,
所以,
所以异面直线与所成角的余弦值为
(Ⅲ)设,则.
由已知,所以,
所以 所以.
设平面的一个法向量为,因为,
所以 即
令,得.
设平面的一个法向量为,因为,
所以 即
令,则.
若平面平面,则,所以,解得.
所以当时,平面平面
【方法一】
(Ⅰ)证明:由俯视图可得,,
所以
又因为 平面,
所以 ,
所以 平面
(Ⅱ)证明:取上一点,使,连结,
由左视图知 ,所以 ∥,
在△中,易得,所以 .又 , 所以, .
又因为 ∥,,所以 ∥,.
所以四边形为平行四边形,所以 ∥
因为 平面,平面,
所以 直线∥平面
(Ⅲ)解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下:
因为 平面,,建立如图所示的空间直角坐标系.
所以 .
设 ,其中
所以,.
要使与所成角的余弦值为,则有 ,
所以 ,解得 或,均适合
故点位于点处,此时;或中点处,此时,
有与所成角的余弦值为
【方法二】(Ⅰ)证明:因为平面,,建立如图所示 的空间直角坐标系.
在△中,易得,所以 ,
因为 , 所以, .
由俯视图和左视图可得:
.
所以 ,.
因为 ,所以
又因为 平面,所以 ,
所以 平面
(Ⅱ)证明:设平面的法向量为,则有
因为 ,,
所以 取,得
因为 ,所以
因为 平面, 所以 直线∥平面
(Ⅲ)解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下:
设 ,其中
所以 ,.
要使与所成角的余弦值为,则有 ,
所以 ,解得或,均适合
故点位于点处,此时;或中点处,此时,
有与所成角的余弦值为
解:(I)连接.
由是正方形可知,点为中点.
又为的中点,
所以∥………………….2分
又
所以∥平面………….4分
(II) 证明:由
所以
由是正方形可知,
又
所以………………………………..8分
又
所以…………………………………………..9分
(III)解法一:
在线段上存在点,使. 理由如下:
如图,取中点,连接.
在四棱锥中,,
所以.…………………………………………………………………..11分
由(II)可知,而
所以,
因为
所以…………………………………………………………. 13分
故在线段上存在点,使.
由为中点,得…………………………………………… 14分
解法二:
由且底面是正方形,如图,
建立空间直角坐标系
由已知设,
则
设为线段上一点,且,则
…………………………..12分
由题意,若线段上存在点,使,则,.
所以,,
故在线段上存在点,使,且…………………… 14分
解:(1)由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ,BD=1,
∴
∴.
即该几何体的体积V为.----------------------------------4分
(2)以C为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4)
∴,∴
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为.----------------------------------4分
(3) ∵点Q在棱DE上,∴存在使得
同理
,即
∴,满足题设的点Q存在,DQ的长为1 ----------------------------------14分
(1)证明:底面为矩形
…………………………………4分
(2)证明:取,连接
,
是平行四边形,
//,,
// ……………………………………8分
(3) ,以为坐标原点,以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
假设在线段上存在一点,使得平面平面,
设,
设平面的法向量为
, ,
令
设平面的法向量为
令
,解得
线段上存在点,且当时,使得平面平面. ……………13分
证明:(I) 因为是正三角形,是中点,
所以,即………………1分
又因为,平面,………………2分
又,所以平面………………3分
又平面,所以………………4分(Ⅱ)在正三角形中,………………5分
在中,因为为中点,,所以
,所以,所以………………6分
在等腰直角三角形中,,,
所以,,所以………………8分
又平面,平面,所以平面………………9分
(Ⅲ)因为,
所以,分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系,
所以
由(Ⅱ)可知,
为平面的法向量………………10分
,
设平面的一个法向量为,
则,即,
令则平面的一个法向量为………………12分
设二面角的大小为, 则
所以二面角余弦值为………………14分
证明:(I) 设AC与BD交与点G。
因为EF//AG,且EF=1,AG=AC=1.
所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF//平面EG,
因为平面BDE,AF平面BDE, 所以AF//平面BDE.
(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CE
AC,
所以CE平面ABCD.
如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-.
则C(0,0,0),A(,,0),B(0,,0).
所以,,.
所以,
所以,. 所以BDE.
(III) 由(II)知,是平面BDE的一个法向量.
设平面ABE的法向量,则,.
即 所以且 令则.
所以.
从而。 因为二面角为锐角,
所以二面角的大小为.
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