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- 2021-07-01 发布
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第1讲 函数与方程思想
1.函数与方程思想的含义
(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等.
(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程的教学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.
2.和函数与方程思想密切关联的知识点
(1)函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x),当y>0
时,就化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.
(3)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式,那么问题就能化为未知量的方程来解.
(4)解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.
热点一 函数与方程思想在不等式中的应用
例1 (1)f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a=________.
(2)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________.
答案 (1)4 (2)(-∞,-3)∪(0,3)
解析 (1)若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;
当x>0即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.
设g(x)=-,则g′(x)=,所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,
因此g(x)max=g=4,从而a≥4;
当x<0即x∈[-1,0)时,
f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤-,
设g(x)=-,且g(x)在区间[-1,0)上单调递增,
因此g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上a=4.
(2)设F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数.
又当x<0时,F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,
所以x<0时,F(x)为增函数.
因为奇函数在对称区间上的单调性相同,
所以x>0时,F(x)也是增函数.
因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).
所以,由图可知F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).
思维升华 (1)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题;(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立,一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0;已知恒成立求参数范围可先分离参数,然后利用函数值域求解.
(1)若2x+5y≤2-y+5-x,则有( )
A.x+y≥0 B.x+y≤0
C.x-y≤0 D.x-y≥0
(2)已知函数f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≥ B.m>
C.m≤ D.m<
答案 (1)B (2)A
解析 (1)把不等式变形为2x-5-x≤2-y-5y,构造函数y=2x-5-x,其为R
上的增函数,所以有x≤-y.
(2)因为函数f(x)=x4-2x3+3m.所以f′(x)=2x3-6x2,令f′(x)=0得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为f(3)=3m-,不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,
所以3m-≥-9,解得m≥,故选A.
热点二 函数与方程思想在数列中的应用
例2 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.
(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列{an}的通项公式an;
(2)在(1)的条件下,数列{an}的前n项和为Sn,设bn=++…+,若对任意的n∈N*,不等式bn≤k恒成立,求实数k的最小值.
解 (1)因为a1=2,a=a2·(a4+1),
又因为{an}是正项等差数列,故d≥0,
所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),
得d=2或d=-1(舍去),
所以数列{an}的通项公式an=2n.
(2)因为Sn=n(n+1),
bn=++…+
=++…+
=-+-+…+-
=-==,
令f(x)=2x+(x≥1),
则f′(x)=2-,当x≥1时,f′(x)>0恒成立,
所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,
故当x=1时,[f(x)]min=f(1)=3,
即当n=1时,(bn)max=,
要使对任意的正整数n,不等式bn≤k恒成立,
则须使k≥(bn)max=,
所以实数k的最小值为.
思维升华 (1)等差(比)数列中各有5个基本量,建立方程组可“知三求二”;
(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数,数列的通项公式即为相应的解析式,因此在解决数列问题时,应注意利用函数的思想求解.
(1)(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________.
(2)已知函数f(x)=()x,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,则an的最小值为( )
A.-1 B.1
C. D.-
答案 (1)4 (2)D
解析 (1)因为a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2,消去a2q2,得到关于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得q2=2,a6=a2q4=1×22=4.
(2)由题设,得a1=f(1)-c=-c;
a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-;
a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-.
又数列{an}是等比数列,
∴(-)2=(-c)×(-),∴c=1.
又∵公比q==,
∴an=-()n-1=-2()n,n∈N*.
且数列 {an}是递增数列,
∴n=1时,an有最小值a1=-.
热点三 函数与方程思想在几何中的应用
例3 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
解 (1)由题意得解得b=.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
所以|MN|=
=
=.
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离
d=,
所以△AMN的面积为
S=|MN|·d=.
由=,解得k=±1.
所以,k的值为1或-1.
思维升华 几何最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
(1)(2014·安徽)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(01,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是( )
A.(1,) B.(,)
C.[,] D.(,)
答案 (1)x2+y2=1 (2)B
解析 (1)设点B的坐标为(x0,y0),
∵x2+=1,且01时,0<<1,所以2b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
答案 C
解析 0=1,
即01,所以c>a>b.
2.(2014·福建)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )
A.5 B.+
C.7+ D.6
答案 D
解析 如图所示,设以(0,6)为圆心,以r为半径的圆的方程为x2+(y-6)2=r2(r>0),与椭圆方程+y2=1联立得方程组,消掉x2得9y2+12y+r2-46=0.
令Δ=122-4×9(r2-46)=0,
解得r2=50,
即r=5.
由题意易知P,Q两点间的最大距离为r+=6,
故选D.
3.(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是______.
答案 -3
解析 y=ax2+的导数为y′=2ax-,
直线7x+2y+3=0的斜率为-.
由题意得解得则a+b=-3.
4.(2014·福建)要制作一个容积为4 m3,高为1
m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________.(单位:元)
答案 160
解析 设该长方体容器的长为x m,则宽为 m.又设该容器的造价为y元,则y=20×4+2(x+)×10,即y=80+20(x+)(x>0).因为x+≥2=4(当且仅当x=,即x=2时取“=”),
所以ymin=80+20×4=160(元).
押题精练
1.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
答案 B
解析 f′(x)>2转化为f′(x)-2>0,构造函数F(x)=f(x)-2x,
得F(x)在R上是增函数.
又F(-1)=f(-1)-2×(-1)=4,f(x)>2x+4,
即F(x)>4=F(-1),所以x>-1.
2.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M、N,则当|MN|达到最小时t的值为( )
A.1 B. C. D.
答案 D
解析 可知|MN|=f(x)-g(x)=x2-ln x.
令F(x)=x2-ln x,F′(x)=2x-=,
所以当0时,F′(x)>0,F(x)单调递增,
故当x=t=时,F(x)有最小值,即|MN|达到最小.
3.(2014·辽宁)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-5,-3] B.[-6,-]
C.[-6,-2] D.[-4,-3]
答案 C
解析 当x=0时,ax3-x2+4x+3≥0变为3≥0恒成立,即a∈R.
当x∈(0,1]时,ax3≥x2-4x-3,a≥,所以a≥max.
设φ(x)=,
所以φ′(x)==-=->0,
所以φ(x)在(0,1]上递增,φ(x)max=φ(1)=-6.所以a≥-6.
当x∈[-2,0)时,a≤,所以a≤min.
仍设φ(x)=,φ′(x)=-.
当x∈[-2,-1)时,φ′(x)<0,φ(x)在[-2,-1)上单调递减,
当x∈(-1,0)时,φ′(x)>0,φ(x)在(-1,0)上单调递增.
所以当x=-1时,φ(x)有极小值,即为最小值.
而φ(x)min=φ(-1)==-2,所以a≤-2.综上知-6≤a≤-2.
4.若关于x的方程(2-2-|x-2|)2=2+a有实根,则实数a的取值范围是________.
答案 [-1,2)
解析 令f(x)=(2-2-|x-2|)2.要使f(x)=2+a有实根,只需2+a是f(x)的值域内的值.∵f(x)的值域为[1,4),∴1≤a+2<4,∴-1≤a<2.
5.已知函数f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a,其中a∈R,且a≠0.若函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B,O为坐标原点,试求△OAB的面积S的最大值.
解 依题意,f(x)=g(x),即ax2+ax=x-a,
整理得ax2+(a-1)x+a=0,①
∵a≠0,
函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B,
∴Δ>0,即Δ=(a-1)2-4a2=-3a2-2a+1=(3a-1)·(-a-1)>0,
∴-10,x1+x2=-.
设点O到直线g(x)=x-a的距离为d,则d=,
∴S=|x1-x2|·=
= .∵-11),⊙M:(x+1)2+y2=1,P为椭圆G上一点,过P作⊙M的两条切线PE、PF,E、F分别为切点.
(1)求t=||的取值范围;
(2)把·表示成t的函数f(t),并求出f(t)的最大值、最小值.
解 (1)设P(x0,y0),则+=1(a>1),∴y=(a2-1),
∴t2=||2=(x0+1)2+y=(x0+1)2+(a2-1)=2,
∴t=.
∵-a≤x0≤a,∴a-1≤t≤a+1(a>1).
(2)∵·=||||cos∠EPF=||2(2cos2∠EPM-1)
=(||2-1)
=(t2-1)=t2+-3,
∴f(t)=t2+-3(a-1≤t≤a+1).
对于函数f(t)=t2+-3(t>0),显然在t∈(0,]时,f(t)单调递减,
在t∈[,+∞)时,f(t)单调递增.∴对于函数f(t)=t2+-3(a-1≤t≤a+1),
当a>+1,即a-1>时,[f(t)]max=f(a+1)=a2+2a-2+,
[f(t)]min=f(a-1)=a2-2a-2+;
当≤a≤+1时,[f(t)]max=f(a+1)=a2+2a-2+,
[f(t)]min=f()=2-3;
当1
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