2007年宁夏高考数学试卷（理）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2007年宁夏高考数学试卷（理）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 已知命题p:∀x∈R，sinx≤1‎，则(        )‎ A.‎¬p:∃x∉R，sinx>1‎ B.‎¬p:∀x∈R，‎sinx≥1‎ C.‎¬p:∃x∈R，sinx>1‎ D.‎¬p:∀x∈R，‎sinx>1‎ ‎2. 已知平面向量a‎→‎‎=(1,1)，b‎→‎=(1,-1)‎，则向量‎1‎‎2‎a‎→‎‎-‎3‎‎2‎b‎→‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎(-2, -1)‎ B.‎(-1, 2)‎ C.‎(-1, 0)‎ D.‎‎(-2, 1)‎ ‎3. 函数y=sin(2x-π‎3‎)‎在区间‎[-π‎2‎，π]‎的简图是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4. 已知‎{an}‎是等差数列，a‎10‎＝‎10‎，其前‎10‎项和S‎10‎＝‎70‎，则其公差d＝（ ）‎ A.‎-‎‎2‎‎3‎ B.‎-‎‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎5. 如果执行程序框图，那么输出的S=(‎ ‎‎)‎ A.‎2450‎ B.‎2500‎ C.‎2550‎ D.‎‎2652‎ ‎6. 已知抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎的焦点为F，点P‎1‎‎(x‎1‎, y‎1‎)‎，P‎2‎‎(x‎2‎, y‎2‎)‎，P‎3‎‎(x‎3‎, y‎3‎)‎在抛物线上，且‎2x‎2‎=x‎1‎+‎x‎3‎，则有（ ）‎ A.‎|FP‎1‎|+|FP‎2‎|=|FP‎3‎|‎ B.‎‎|FP‎1‎‎|‎‎2‎+|FP‎2‎‎|‎‎2‎=|FP‎3‎‎|‎‎2‎ C.‎2|FP‎2‎|=|FP‎1‎|+|FP‎3‎|‎ D.‎‎|FP‎2‎‎|‎‎2‎=|FP‎1‎|⋅|FP‎3‎|‎ ‎7. 已知x>0‎，y>0‎，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则‎(a+b‎)‎‎2‎cd的最小值为(        )‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎4‎ ‎8. 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是(        )‎ A.‎4000‎‎3‎cm‎3‎ B.‎8000‎‎3‎cm‎3‎ C.‎2000cm‎3‎ D.‎‎4000cm‎3‎ ‎ 7 / 7‎ ‎9. 若cos2αsin(α-π‎4‎)‎‎=-‎‎2‎‎2‎，则cosα+sinα的值为（ ）‎ A.‎-‎‎7‎‎2‎ B.‎-‎‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎7‎‎2‎ ‎10. 曲线y=‎ex在点‎(2, e‎2‎)‎处的切线与坐标轴所围三角形的面积为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎9‎‎4‎e‎2‎ B.‎2‎e‎2‎ C.e‎2‎ D.‎e‎2‎‎2‎ ‎11. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭‎20‎次，三人的测试成绩如下表，s‎1‎，s‎2‎，s‎3‎分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）‎ 甲的成绩 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ 乙的成绩 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ 丙的成绩 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎4‎ A.s‎3‎‎>s‎1‎>‎s‎2‎ B.s‎2‎‎>s‎1‎>‎s‎3‎ C.s‎1‎‎>s‎2‎>‎s‎3‎ D.‎s‎2‎‎>s‎3‎>‎s‎1‎ ‎12. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h‎1‎，h‎2‎，h，则h‎1‎‎:h‎2‎:h=(‎ ‎‎)‎ A.‎3‎‎：1：1‎ B.‎3‎‎：2：2‎ C.‎3‎‎：2：‎‎2‎ D.‎‎3‎‎：2：‎‎3‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分15分）‎ ‎13. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为‎2‎，焦点到渐近线的距离为‎6‎，则该双曲线的离心率为________．‎ ‎14. 设函数f(x)=‎‎(x+1)(x+a)‎x为奇函数，则a＝________．‎ ‎15. i是虚数单位，‎-5+10i‎3+4i‎=‎________．（用a+bi的形式表示，a，b∈R）‎ ‎16. 某校安排‎5‎个班到‎4‎个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种．（用数字作答）‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得‎∠BCD=α，‎∠BDC=β，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．‎ ‎18. 如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，O为BC ‎ 7 / 7‎ 中点．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎证明：SO⊥‎平面ABC；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎求二面角A-SC-B的余弦值．‎ ‎19. 在平面直角坐标系xOy中，经过点‎(0,‎2‎)‎且斜率为k的直线l与椭圆x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎有两个不同的交点P和Q．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP‎→‎‎+‎OQ‎→‎与AB‎→‎共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎20. 如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为mnS．假设正方形ABCD的边长为‎2‎，M的面积为‎1‎，并向正方形ABCD中随机投掷‎10000‎个点，以X表示落入M中的点的数目．‎ ‎(I)‎求X的均值EX；‎ ‎(II)‎求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间‎(-0.03, 0.03)‎内的概率．‎ 附表：‎P(k)=t=0‎kC‎10000‎t×‎0.25‎t×‎‎0.75‎‎10000-t K ‎2424‎ ‎2425‎ ‎2574‎ ‎2575‎ P(k)‎ ‎0.0403‎ ‎0.0423‎ ‎0.9570‎ ‎0.9590‎ ‎ 7 / 7‎ ‎21. 设函数f(x)=ln(x+a)+‎x‎2‎ ‎（1）若当x=-1‎时，f(x)‎取得极值，求a的值，并讨论f(x)‎的单调性；‎ ‎（2）若f(x)‎存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne‎2‎．‎ ‎22. 如图，已知AP是‎⊙O的切线，P为切点，AC是‎⊙O的割线，与‎⊙O交于B，C两点，圆心O在‎∠PAC的内部，点M是BC的中点．‎ ‎（1）证明A，P，O，M四点共圆；‎ ‎（2）求‎∠OAM+∠APM的大小．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年宁夏高考数学试卷（理）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.A ‎4.D ‎5.C ‎6.C ‎7.D ‎8.B ‎9.C ‎10.D ‎11.B ‎12.B 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分15分）‎ ‎13.‎‎3‎ ‎14.‎‎-1‎ ‎15.‎‎1+2i ‎16.‎‎240‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17.解：在‎△BCD中，‎∠CBD=π-α-β．‎ 由正弦定理得BCsin∠BDC‎=‎CDsin∠CBD．‎ 所以BC=CDsin∠BDCsin∠CBD=‎s⋅sinβsin(α+β)‎．‎ 在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=‎s⋅tanθsinβsin(α+β)‎．‎ ‎18.证明：‎ ‎（1）由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA，连接OA，‎△ABC为等腰直角三角形，‎ 所以OA=OB=OC=‎2‎‎2‎SA，且AO⊥BC，‎ 又‎△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，‎ 且SO=‎2‎‎2‎SA，从而OA‎2‎+SO‎2‎＝SA‎2‎．‎ 所以‎△SOA为直角三角形，SO⊥AO．‎ 又AO∩BO＝O．‎ 所以SO⊥‎平面ABC．‎ ‎（2）以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，‎ 建立如图的空间直角坐标系O-xyz．‎ 设B(1, 0, 0)‎，则C(-1, 0, 0)‎，A(0, 1, 0)‎，S(0, 0, 1)‎．SC的中点M(-‎1‎‎2‎,0,‎1‎‎2‎)‎，MO‎→‎‎=(‎1‎‎2‎,0,-‎1‎‎2‎),MA‎→‎=(‎1‎‎2‎,1,-‎1‎‎2‎),SC‎→‎=(-1,0,-1)‎．∴ MO‎→‎‎⋅SC‎→‎=0,MA‎→‎⋅SC‎→‎=0‎．‎ 故MO⊥SC,MA⊥SC,‎等于二面角A-SC-B的平面角．‎ cos=MO‎→‎‎⋅‎MA‎→‎‎|MO‎→‎|⋅|MA‎→‎|‎=‎‎3‎‎3‎‎，‎ 所以二面角A-SC-B的余弦值为‎3‎‎3‎．‎ ‎19.解：（1）由已知条件，直线l的方程为y=kx+‎‎2‎，‎ 代入椭圆方程得x‎2‎‎2‎‎+(kx+‎2‎‎)‎‎2‎=1‎．‎ ‎ 7 / 7‎ 整理得‎(‎1‎‎2‎+k‎2‎)x‎2‎+2‎2‎kx+1=0‎①‎ 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式‎△=8k‎2‎-4(‎1‎‎2‎+k‎2‎)=4k‎2‎-2>0‎，‎ 解得k<-‎‎2‎‎2‎或k>‎‎2‎‎2‎．即k的取值范围为‎(-∞,-‎2‎‎2‎)∪(‎2‎‎2‎,+∞)‎．‎ ‎（2）设P(x‎1‎, y‎1‎)‎，Q(x‎2‎, y‎2‎)‎，则OP‎→‎‎+OQ‎→‎=(x‎1‎+x‎2‎,y‎1‎+y‎2‎)‎，‎ 由方程①，x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎4‎2‎k‎1+2‎k‎2‎． ②‎ 又y‎1‎‎+y‎2‎=k(x‎1‎+x‎2‎)+2‎‎2‎． ③‎ 而A(‎2‎，0)，B(0,1)，AB‎→‎=(-‎2‎,1)‎．‎ 所以OP‎→‎‎+‎OQ‎→‎与AB‎→‎共线等价于x‎1‎‎+x‎2‎=-‎2‎(y‎1‎+y‎2‎)‎，‎ 将②③代入上式，解得k=‎‎2‎‎2‎．‎ 由（1）知k<-‎‎2‎‎2‎或k>‎‎2‎‎2‎，‎ 故没有符合题意的常数k．‎ ‎20.解：‎(1)‎∵ 每个点落入M中的概率均为p=‎‎1‎‎4‎．‎ 依题意知X∼B(10000,‎1‎‎4‎)‎．‎ EX=10000×‎1‎‎4‎=2500‎‎．‎ ‎(II)‎依题意所求概率为P(-0.030‎；‎ 当‎-1-‎‎1‎‎2‎时，f‎'‎‎(x)>0‎．‎ 从而，f(x)‎分别在区间‎(-‎3‎‎2‎，-1)，(-‎1‎‎2‎,+∞)‎单调增加，在区间‎(-1,-‎1‎‎2‎)‎单调减少．‎ ‎（2）f(x)‎的定义域为‎(-a, +∞)‎，f'(x)=‎‎2x‎2‎+2ax+1‎x+a．‎ 方程‎2x‎2‎+2ax+1=0‎的判别式‎△=4a‎2‎-8‎．‎ ‎（1）若‎△<0‎，即‎-‎2‎0‎，故f(x)‎无极值．‎ ‎（2）若‎△=0‎，则a=‎‎2‎或a=-‎‎2‎．‎ 若a=‎‎2‎，x∈(-‎2‎，+∞)‎，f'(x)=‎‎(‎2‎x+1‎‎)‎‎2‎x+‎‎2‎．‎ 当x=‎‎2‎‎2‎时，f‎'‎‎(x)=0‎，‎ 当x∈(-‎2‎，‎2‎‎2‎)∪(‎2‎‎2‎,+∞)‎时，f‎'‎‎(x)>0‎，所以f(x)‎无极值．‎ 若a=-‎‎2‎，x∈(‎2‎，+∞)‎，f'(x)=‎(‎2‎x-1‎‎)‎‎2‎x-‎‎2‎>0‎，f(x)‎也无极值．‎ ‎（3）若‎△>0‎，即a>‎‎2‎或a<-‎‎2‎，则‎2x‎2‎+2ax+1=0‎有两个不同的实根x‎1‎‎=‎‎-a-‎a‎2‎‎-2‎‎2‎，x‎2‎‎=‎‎-a+‎a‎2‎‎-2‎‎2‎．‎ 当a<-‎‎2‎时，x‎1‎‎<-a，x‎2‎‎<-a，从而f‎'‎‎(x)‎在f(x)‎的定义域内没有零点，‎ 故f(x)‎无极值．‎ 当a>‎‎2‎时，x‎1‎‎>-a，x‎2‎‎>-a，f‎'‎‎(x)‎在f(x)‎的定义域内有两个不同的零点，‎ 由根值判别方法知f(x)‎在x=‎x‎1‎，x=‎x‎2‎取得极值．‎ 综上，f(x)‎存在极值时，a的取值范围为‎(‎2‎，+∞)‎．‎ ‎ 7 / 7‎ 由于x‎1‎‎+x‎2‎=-a，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 则f(x)‎的极值之和为f(x‎1‎)+f(x‎2‎)=ln(x‎1‎+a)+x‎1‎‎2‎+ln(x‎2‎+a)+x‎2‎‎2‎=ln‎1‎‎2‎+a‎2‎-1>1-ln2=lne‎2‎．‎ ‎22.证明：（1）连接OP，OM．‎ 因为AP与‎⊙O相切于点P，所以OP⊥AP．‎ 因为M是‎⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC．‎ 于是‎∠OPA+∠OMA=‎‎180‎‎∘‎．‎ 由圆心O在‎∠PAC的内部，可知四边形M的对角互补，‎ 所以A，P，O，M四点共圆．‎ 解：‎ ‎（2）由（1）得A，P，O，M四点共圆，所以‎∠OAM=∠OPM．‎ 由（1）得OP⊥AP．‎ 由圆心O在‎∠PAC的内部，可知‎∠OPM+∠APM=‎‎90‎‎∘‎．‎ 又∵ A，P，O，M四点共圆 ‎∴ ‎‎∠OPM=∠OAM 所以‎∠OAM+∠APM=‎‎90‎‎∘‎．‎ ‎ 7 / 7‎