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- 2021-07-01 发布
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第2节 导数在研究函数中的应用
考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次);2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次);3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值,并会解决与之有关的方程(不等式)问题;4.会利用导数解决某些简单的实际问题.
知 识 梳 理
1.函数的单调性与导数的关系
函数y=f(x)在某个区间内可导,则:
(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;
(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减;
(3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数.
2.函数的极值与导数
条件
f′(x0)=0
x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0
x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0
图象
形如山峰
形如山谷
极值
f(x0)为极大值
f(x0)为极小值
极值点
x0为极大值点
x0为极小值点
3.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
[常用结论与微点提醒]
1.若函数f(x)在区间(a,b)上递增,则f′(x)≥0,所以“f′(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
3.求最值时,应注意极值点与所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值.
4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( )
(3)函数的极大值一定大于其极小值.( )
(4)对可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x0为极值点.( )
(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( )
解析 (1)f(x)在(a,b)内单调递增,则有f′(x)≥0.
(3)函数的极大值也可能小于极小值.
(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)=0,且x0两侧导函数异号.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2.(老教材选修2-2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由题意知在x=-1处f′(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正.
答案 A
3.(老教材选修2-2P26练习T1改编)函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,-1] D.[-1,0)∪(0,1]
解析 由题意知f′(x)=2x-=(x>0),
由f′(x)≤0,得00(其中x1<00,由f′(x)=x-≤0,得00,所以f(x)在[0,2)上是减函数,在(2,3]上是增函数.
又f(0)=m,f(3)=-3+m.
所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=4,所以m=4.
答案 4
第一课时 导数与函数的单调性
考点一 讨论函数的单调性
【例1】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
解 (1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且a≤0.
f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增.
②若a<0,则由f′(x)=0,得x=ln .
当x∈时,f′(x)<0;
当x∈时,f′(x)>0.
故f(x)在上单调递减,
在区间上单调递增.
(2)①当a=0时,f(x)=e2x≥0恒成立.
②若a<0,则由(1)得,当x=ln时,f(x)取得最小值,最小值为f=a2,
故当且仅当a2≥0,
即0>a≥-2e时,f(x)≥0.
综上,a的取值范围是[-2e,0].
规律方法 1.(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.
2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(f′(x)=0在x=0时取到),f(x)在R上是增函数.
【训练1】 已知函数f(x)=ax+ln x(a∈R).
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间.
解 (1)当a=2时,由已知得f′(x)=2+(x>0),f′(1)=2+1=3,且f(1)=2,所以切线斜率k=3.
所以切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.
故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-1=0.
(2)由已知得f′(x)=a+=(x>0),
①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f′(x)>0,
所以f(x)的单调递增区间(0,+∞).
②当a<0时,令f′(x)=0,得x=-.
在区间上,f′(x)>0,在区间上,f′(x)<0,
所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
考点二 根据函数单调性求参数 典例迁移
【例2】 (经典母题)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x.
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围.
解 h(x)=ln x-ax2-2x,x>0.
∴h′(x)=-ax-2.
(1)若函数h(x)在(0,+∞)上存在单调减区间,
则当x>0时,-ax-2<0有解,即a>-有解.
设G(x)=-,所以只要a>G(x)min.
又G(x)=-1,所以G(x)min=-1.
所以a>-1.即实数a的取值范围是(-1,+∞).
(2)由h(x)在[1,4]上单调递减,
∴当x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立,
则a≥-恒成立,设G(x)=-,
所以a≥G(x)max.
又G(x)=-1,
因为x∈[1,4],所以∈,
所以G(x)max=G=-(此时x=4),所以a≥-.
又当a=-时,h′(x)=+x-2=,
∵x∈[1,4],∴h′(x)=≤0,
当且仅当x=4时等号成立.
∴h(x)在[1,4]上为减函数.
故实数a的取值范围是.
【迁移1】 本例(2)中,若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递增,求a的取值范围.
解 因为h(x)在[1,4]上单调递增,
所以当x∈[1,4]时,h′(x)≥0恒成立,
所以当x∈[1,4]时,a≤-恒成立,
又当x∈[1,4]时,=-1(此时x=1),
所以a≤-1,即a的取值范围是(-∞,-1].
【迁移2】 本例(2)中,若函数h(x)在区间[1,4]上不单调,求实数a的取值范围.
解 ∵h(x)在区间[1,4]上不单调,
∴h′(x)=0在开区间(1,4)上有解.
则a=-=-1在(1,4)上有解.
令m(x)=-1,x∈(1,4),
易知m(x)在(1,4)上是增函数,
∴-1f
C.f>f D.f>f
(2)已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a,所以g>g,
所以>,即f>f.
(2)设g(x)=,则g′(x)=,
因为当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,
所以g′(x)<0.
所以g(x)在(0,+∞)上是减函数.
由f(x)为奇函数,知g(x)为偶函数,则g(-3)=g(3),
又a=g(e),b=g(ln 2),c=g(-3)=g(3),
所以g(3)成立,若f(-2)=2,则不等式f(x)>-2x-1的解集为( )
A.(-2,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-∞,2)
解析 f(x)>⇔f′(x)-ln 2·f(x)<0.
令g(x)=,则g′(x)=,
∴g′(x)<0,则g(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
由f(-2)=2,且f(x)在R上是奇函数,
得f(2)=-2,则g(2)==-,
又f(x)>-2x-1⇔>-=g(2),
所以x<2.
答案 D
规律方法 1.利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小.
2.与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数;题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时,常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数,与题设形成解题链条,利用导数研究新函数的单调性,从而求解不等式.
【训练3】 (1)(角度1)已知f(x)是定义在区间(0,+∞)内的函数,其导函数为f′(x),且不等式xf′(x)<2f(x)恒成立,则( )
A.4f(1)f(2)
C.f(1)<4f(2) D.f(1)>4f′(2)
(2)(角度2)f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f′(x)>2x.若f(a-2)-f(a)≥4-4a,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,2] D.[2,+∞)
解析 (1)设函数g(x)=(x>0),
则g′(x)==<0,
所以函数g(x)在(0,+∞)上为减函数,因此g(1)>g(2),
即>,所以4f(1)>f(2).
(2)令G(x)=f(x)-x2,则G′(x)=f′(x)-2x.
当x∈[0,+∞)时,G′(x)=f′(x)-2x>0.
∴G(x)在[0,+∞)上是增函数.
由f(a-2)-f(a)≥4-4a,得f(a-2)-(a-2)2≥f(a)-a2,即G(a-2)≥G(a),
又f(x)是定义在R上的偶函数,知G(x)是偶函数.
故|a-2|≥|a|,解之得a≤1.
答案 (1)B (2)A
A级 基础巩固
一、选择题
1.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f′(x)的图象可能是( )
解析 由函数f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以在(-∞,0)上,f′(x)>0;在(0,+∞)上,f′(x)<0,选项D满足.
答案 D
2.(2020·石家庄检测)已知a为实数,f(x)=ax3+3x+2,若f′(-1)=-3,则函数f(x)的单调递增区间为( )
A.(-,) B.
C.(0,) D.
解析 f(x)=ax3+3x+2,则f′(x)=3ax2+3,
又f′(-1)=3a+3=-3,解得a=-2,
∴f′(x)=-6x2+3,由f′(x)>0,解得-f(1)>f
B.f(1)>f>f
C.f>f(1)>f
D.f>f>f(1)
解析 因为f(x)=xsin x,
所以f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsin x=f(x),
所以函数f(x)是偶函数,所以f=f.
又当x∈时,f′(x)=sin x+xcos x>0,
所以函数f(x)在上是增函数,
所以ff(1)>f.
答案 A
5.已知函数f(x)=x3-4x+2ex-2e-x,其中e为自然对数的底数,若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.
C. D.
解析 f′(x)=x2-4+2ex+2e-x≥x2-4+2=x2≥0,∴f(x)在R上是增函数.
又f(-x)=-x3+4x+2e-x-2ex=-f(x),知f(x)为奇函数.
故f(a-1)+f(2a2)≤0⇔f(a-1)≤f(-2a2),
∴a-1≤-2a2,解之得-1≤a≤.
答案 D
二、填空题
6.已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递增区间为________.
解析 f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.令f′(x)=xcos x>0,则其在区间(-π,π)上的解集为和,即f(x)的单调递增区间为,.
答案 ,
7.已知g(x)=+x2+2aln x在[1,2]上是减函数,则实数a的取值范围为________.
解析 g′(x)=-+2x+,
由已知得g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,
可得a≤-x2在[1,2]上恒成立.
又当x∈[1,2]时,=-4=-.
∴a≤-.
答案
8.(2020·西安调研)设f(x)是定义在R上的奇函数,f(2)=0,当x>0时,有<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是________________.
解析 ∵当x>0时,′=<0,
∴φ(x)=在(0,+∞)上为减函数,
又f(2)=0,即φ(2)=0,
∴在(0,+∞)上,当且仅当00,
此时x2f(x)>0.
又f(x)为奇函数,∴h(x)=x2f(x)也为奇函数,
由数形结合知x∈(-∞,-2)时f(x)>0.
故x2f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).
答案 (-∞,-2)∪(0,2)
三、解答题
9.已知函数f(x)=(k为常数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
解 (1)f′(x)=(x>0).
又由题意知f′(1)==0,所以k=1.
(2)由(1)知,f′(x)=(x>0).
设h(x)=-ln x-1(x>0),
则h′(x)=--<0,
所以h(x)在(0,+∞)上单调递减.
由h(1)=0知,当00,所以f′(x)>0;
当x>1时,h(x)<0,所以f′(x)<0.
综上f(x)的单调增区间是(0,1),减区间为(1,+∞).
10.设函数f(x)=ax2-a-ln x,g(x)=-,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当x>1时,g(x)>0.
(1)解 由题意得f′(x)=2ax-=(x>0).
当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.
当a>0时,由f′(x)=0有x=,
当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
(2)证明 令s(x)=ex-1-x,则s′(x)=ex-1-1.
当x>1时,s′(x)>0,所以s(x)>s(1),即ex-1>x,
从而g(x)=-=>0.
B级 能力提升
11.(2020·郑州调研)已知f(x)=aln x+x2(a>0),若对任意两个不相等的正实数x1,x2,都有>2恒成立,则a的取值范围为( )
A.(0,1] B.(1,+∞)
C.(0,1) D.[1,+∞)
解析 对任意两个不相等的正实数x1,x2,都有>2恒成立,则当x>0时,f′(x)≥2恒成立,f′(x)=+x≥2在(0,+∞)上恒成立,则a≥(2x-x2)max=1.
答案 D
12.若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( )
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
解析 设函数g(x)=ex·f(x),对于A,g(x)=ex·2-x=,在定义域R上为增函数,A正确.对于B,g(x)=ex·x2,则g′(x)=x(x+2)ex,由g′(x)>0得x<-2或x>0,∴g(x
)在定义域R上不是增函数,B不正确.对于C,g(x)=ex·3-x=在定义域R上是减函数,C不正确.对于D,g(x)=ex·cos x,则g′(x)=excos,g′(x)>0在定义域R上不恒成立,D不正确.
答案 A
13.已知函数f(x)=xsin x+cos x+x2,则不等式f(ln x)+f<2f(1)的解集为________.
解析 f(x)=xsin x+cos x+x2是偶函数,
所以f=f(-ln x)=f(ln x).
则原不等式可变形为f(ln x)0,得x>0时,f′(x)>0.
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∴|ln x|<1⇔-10).
当02时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当10时恒成立,
所以a≤(x2-2x)=(x-1)2-恒成立.
令φ(x)=(x-1)2-,x∈(0,+∞),则其最小值为-.
所以当a≤-时,g′(x)≥0恒成立.
又当a=-时,g′(x)=,
当且仅当x=1时,g′(x)=0.
故当a∈时,g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增.
C级 创新猜想
15.(多填题)已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.则m=________,f(x)的单调递减区间为________.
解析 由f(x)的图象过点(-1,-6),得m-n=-3,①
又g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n为偶函数,
∴2m+6=0,即m=-3,②
代入①式,得n=0.
所以f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
令f′(x)<0,得0
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