高中数学（人教版a版必修三）配套单元检测：第三章 单元检测 b卷 word版含答案 8页

第三章 概 率(B) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．从一批产品(其中正品、次品都多于 2 件)中任取 2 件，观察正品件数和次品件数，下 列事件是互斥事件的是( ) ①恰好有 1 件次品和恰好有两件次品； ②至少有 1 件次品和全是次品； ③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品； ④至少 1 件次品和全是正品． A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为 3 cm，把一枚半径为 1 cm 的硬币任 意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 3．某班有 50 名学生，其中男、女各 25 名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班 同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率大还是碰到同性同 学的概率大( ) A．异性 B．同性 C．同样大 D．无法确定 4．在区间 －π 2 ，π 2 上随机取一个数 x，cos x 的值介于 0 到1 2 之间的概率为( ) A.1 3 B.2 π C.1 2 D.2 3 5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次 投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经 随机模拟产生了如下 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15 6．12 本相同的书中，有 10 本语文书，2 本英语书，从中任意抽取 3 本的必然事件是( ) A．3 本都是语文书 B．至少有一本是英语书 C．3 本都是英语书 D．至少有一本是语文书 7．某人射击 4 枪，命中 3 枪，3 枪中有且只有 2 枪连中的概率是( ) A.3 4 B.1 4 C.1 3 D.1 2 8．从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 40 的概 率为( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 9．已知集合 A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合 A 中选取不相同的两个数， 构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件 A＝{点落在 x 轴上}与事件 B＝{点 落在 y 轴上}的概率关系为( ) A．P(A)>P(B) B．P(A)25 的次数与总试验次数的比就近似为本题结果．即21 36 ＝ 7 12.] 12．A [可求得同时落在奇数所在区域的情况有 4×4＝16(种)，而总的情况有 6×6＝ 36(种)，于是由古典概型概率公式，得 P＝16 36 ＝4 9.] 13.2 3 3π 解析 因为球半径为 a，则正方体的对角线长为 2a，设正方体的边长为 x，则 2a＝ 3x， ∴x＝2a 3 ，由几何概型知，所求的概率 P＝V 正方体 V 球 ＝ x3 4 3πa3 ＝2 3 3π . 14. π 16 解析 如图所示，区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界)，区域 E 表示单位圆及 其内部， 因此 P＝π×12 4×4 ＝ π 16. 15.1 2 解析 记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件 A，如图所示，不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角形的 边长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型的概率公式得 P(A)＝ 1 2 ×2 2 ＝1 2. 16.2 3 解析 由题意可知VS－APC VS－ABC >1 3 ，如图所示，三棱锥 S－ABC 与三棱锥 S－APC 的高相同，因 此VS－APC VS－ABC ＝S△APC S△ABC ＝PM BN>1 3(PM，BN 为其高线)，又PM BN ＝AP AB ，故AP AB>1 3 ，故所求概率为2 3(长度 之比)． 17．解 a，b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本事件总数为 N＝5×5＝25 个．函 数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即 a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)， (2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 12 个．所以事件“a2≥4b” 的概率为 P＝12 25. 18．解 设 A、B、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件． 则 P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1， 设 D 表示军火库爆炸这个事件，则有 D＝A∪B∪C，其中 A、B、C 是互斥事件， ∴P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 19．解 如下图所示，作 OC⊥OA，C 在半圆弧上，过 OC 中点 D 作 OA 的平行线交半圆 弧于 E、F，所以在 EF 上取一点 B，则 S△AOB≥1 4. 连结 OE、OF，因为 OD＝1 2OC＝1 2OF， OC⊥EF，所以∠DOF＝60°，所以∠EOF＝120°，所以 l EF ＝120 180π·1＝2 3π. 所以 P＝l EF π·1 ＝ 2 3π π ＝2 3. 20．解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4′表示，其他用相应的数字表示) 为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)， (4′，4)，共 12 种不同情况． (2)甲抽到红桃 3，乙抽到的牌的牌面数字只能是 2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比 3 大的概率为2 3. (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共 5 种，故甲胜的概率 P1＝ 5 12 ，同理乙胜的概率 P2＝ 5 12.因为 P1＝P2，所以此游戏公平． 21．解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基 本事件为 (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)， (A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)， (A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)， 共 18 个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是 等可能的． 用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件，则 M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3， C2)}， 事件 M 由 6 个基本事件组成，因而 P(M)＝ 6 18 ＝1 3. (2)用 N 表示“B1、C1 不全被选中”这一事件，则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被选中” 这一事件，由于 N ＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件 N 由 3 个基本 事件组成， 所以 P( N )＝ 3 18 ＝1 6 ，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P( N )＝1－1 6 ＝5 6. 22．解 由于实数对(a，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－ 1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2， －1)，(2,1)，(2,2)，共 16 种． 设“直线 y＝ax＋b 不经过第四象限”为事件 A，“直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共 点”为事件 B. (1)若直线 y＝ax＋b 不经过第四象限，则必须满足 a≥0， b≥0， 即满足条件的实数对(a，b) 有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共 4 种．∴P(A)＝ 4 16 ＝1 4.故直线 y＝ax＋b 不经过第四象限的 概率为1 4. (2)若直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则必须满足 |b| a2＋1 ≤1，即 b2≤a2＋1. 若 a＝－2，则 b＝－2，－1,1,2 符合要求，此时实数对(a，b)有 4 种不同取值； 若 a＝－1，则 b＝－1,1 符合要求，此时实数对(a，b)有 2 种不同取值； 若 a＝1，则 b＝－1,1 符合要求，此时实数对(a，b)有 2 种不同取值， 若 a＝2，则 b＝－2，－1,1,2 符合要求，此时实数对(a，b)有 4 种不同取值． ∴满足条件的实数对(a，b)共有 12 种不同取值．∴P(B)＝12 16 ＝3 4. 故直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共点的概率为3 4.