2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（七）平行与垂直 5页

课时达标训练(七) 平行与垂直 A组 ‎1．(2019·苏北三市期末)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面A1BD；‎ ‎(2)若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.‎ 证明：(1)因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.‎ ‎(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，‎ 因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D.‎ 因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，‎ 所以A1D⊥B1C1.‎ 因为BB1∩B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，‎ 所以A1D⊥平面BB1C1C.‎ 因为A1D⊂平面A1BD，‎ 所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.‎ ‎2.(2019·南京四校联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，E是BC的中点，F在棱PC上，且PA∥平面DEF.‎ ‎(1)求证：AD⊥PC；‎ ‎(2)求的值．‎ 解：(1)证明：因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥DC.‎ 因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.‎ 又PD，DC⊂平面PCD，PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PCD.‎ 又PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC.‎ ‎(2)如图，连接AC，交DE于G，连接FG.‎ 因为PA∥平面DEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面DEF＝FG.‎ 所以PA∥FG，‎ 所以＝.‎ 因为底面ABCD是矩形，E是BC的中点，‎ 所以AD∥BC，AD＝2EC.‎ 所以易知＝＝2.‎ 所以＝2.‎ ‎3.(2019·扬州期末)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，E，F分别是四边形AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．‎ 求证：(1)EF∥平面ABC；‎ ‎(2)BB1⊥AC.‎ 证明：(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形．‎ ‎∵E，F分别是四边形AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，∴E，F分别是AB1，CB1的中点，∴EF∥AC.‎ ‎∵EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.‎ ‎(2)∵四边形AA1B1B为矩形，∴BB1⊥AB，‎ ‎∵平面AA1B1B⊥平面ABC，BB1⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，‎ ‎∴BB1⊥平面ABC.‎ ‎∵AC⊂平面ABC，∴BB1⊥AC.‎ ‎4．(2019·南京三模)在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°.‎ ‎(1)求证：平面PAC⊥平面PAB；‎ ‎(2)设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：BC∥l.‎ 证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥AC.‎ 因为AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，所以由余弦定理，‎ 得AC＝ ‎＝＝.‎ 因为12＋＝22，即AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB.‎ 又AC⊥PA，PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，‎ 所以AC⊥平面PAB.‎ 又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.‎ ‎(2)因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，‎ 所以BC∥平面PAD.‎ 又BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面PAD＝l，‎ 所以BC∥l.‎ B组 ‎1．(2018·盐城三模)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，M，N分别是棱A1D1，D1C1的中点．‎ 求证：(1)AC∥平面DMN；‎ ‎(2)平面DMN⊥平面BB1D1D.‎ 证明：(1)连结A1C1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为AA1綊BB1，BB1綊CC1，所以AA1綊CC1，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC.又M，N分别是棱A1D1，D1C1的中点，所以MN∥A1C1，所以AC∥MN.又AC⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，所以AC∥平面DMN.‎ ‎(2)因为四棱柱ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，‎ 所以DD1⊥平面A1B1C1D1，而MN⊂平面A1B1C1D1，‎ 所以MN⊥DD1.‎ 又因为棱柱的底面ABCD是菱形，所以底面A1B1C1D1也是菱形，‎ 所以A1C1⊥B1D1，而MN∥A1C1，所以MN⊥B1D1.‎ 又MN⊥DD1，DD1⊂平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D，且DD1∩B1D1＝D1，‎ 所以MN⊥平面BB1D1D.‎ 而MN⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面BB1D1D.‎ ‎2．(2019·扬州中学模拟)如图，已知三棱锥PABC中，AC⊥BC，PA＝PC，棱AC的中点为E，且BC∥平面PEF.‎ ‎(1)求证：EF∥平面PBC；‎ ‎(2)求证：平面PAC⊥平面PEF.‎ 证明：(1)因为BC∥平面PEF，BC⊂平面ABC，平面PEF∩平面ABC＝EF，所以EF∥BC.‎ 又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.‎ ‎(2)因为PA＝PC，E是AC的中点，所以AC⊥PE.‎ 又AC⊥BC，EF∥BC，所以AC⊥EF.‎ 又PE∩EF＝E，PE，EF⊂平面PEF，所以AC⊥平面PEF.‎ 又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PEF.‎ ‎3．(2019·南师附中、天一中学四月联考)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知点M为棱BC上异于B，C的一点．‎ ‎(1)若M为BC的中点，求证：A1C∥平面AB1M；‎ ‎(2)若平面AB1M⊥平面BB1C1C，求证：AM⊥BC.‎ 证明：(1)连接A1B，交AB1于点N.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，易知四边形AA1B1B为矩形，∴N为A1B的中点．‎ 又M为BC的中点，连接MN，∴MN∥A1C.‎ 又A1C⊄平面AB1M，MN⊂平面AB1M，∴A1C∥平面AB1M.‎ ‎(2)过点B作BP⊥B1M，垂足为P，∵平面AB1M⊥平面B1BCC1，‎ 平面AB1M∩平面B1BCC1＝B1M，BP⊂平面BB1C1C，∴BP⊥平面AB1M.‎ AM⊂平面AB1M.∴BP⊥AM.‎ 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，‎ ‎∴AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM.‎ 又BP∩BB1＝B，BP，BB1⊂平面BB1C1C，∴AM⊥平面BB1C1C.又BC⊂平面BB1C1C，∴AM⊥BC.‎ ‎4．(2018·常州期末)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，点Q是棱PC上异于P，C的一点．‎ ‎(1)求证：BD⊥AC；‎ ‎(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC.‎ 证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PC.‎ 记AC，BD交于点O，连结OP.‎ 因为平行四边形对角线互相平分，则O为BD的中点．‎ 在△PBD中，PB＝PD，所以BD⊥OP.‎ 又PC∩OP＝P，PC⊂平面PAC，OP⊂平面PAC.‎ 所以BD⊥平面PAC，‎ 又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.‎ ‎(2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.‎ 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ 所以AD∥平面PBC.‎ 又AD⊂平面ADQF，平面ADQF∩平面PBC＝QF，‎ 所以AD∥QF，所以QF∥BC.‎