【北师大版】2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9.5 空间直角坐标系、空间向量及其运算 8页

- 1 - 9.5 空间直角坐标系、空间向量及其运算 核心考点·精准研析 考点一 空间向量的线性运算 1.在空间四边形 ABCD 中,若 =(-3,5,2), =(-7,-1,-4),点 E,F 分别为线段 BC,AD 的中点,则 的坐 标为 ( ) A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3) C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1) 2.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐 标是________________. 3.如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点.用 , , 表示 ,则 =________________. 4.G 为正四面体 ABCD 外接球的球心,则 =x +y +z ,x,y,z 分别是 ( ) A. , , B. , , C. , , D. , , 【解析】1.选 B.因为点 E,F 分别为线段 BC,AD 的中点,设 O 为坐标原点, 所以 = - , = ( + ), - 2 - = ( + ). 所以 = ( + )- ( + )= ( + ) = [(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)] = (-4,-6,-6)=(-2,-3,-3). 2.设 M(0,y,0),则 =(1,-y,2), =(1,-3-y,1),由题意知| |=| |, 所以 12+y2+22=12+(-3-y)2+12,解得 y=-1,故 M(0,-1,0). 答案:(0,-1,0) 3.因为 = = ( + ),所以 = + = ( + )+ = + + . 答案: + + 4.选 A.取 BC 的中点 M,△BCD 的中心为 O,则 = , = + , = + , = + + ,即 x=y=z= . 用已知向量表示某一向量的方法 (1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点 指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立. 考点二 共线向量定理、共面向量定理及其应用 【典例】1.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若向量 a,b,c 共面,则实数λ等于 ( ) - 3 - A. B. C. D. 2.如图,已知 M,N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心,且 G 为 AM 上一点,且 GM∶GA=1∶3. 求证:B,G,N 三点共线. 【解题导思】 序号 联想解题 1 因为 a,b,c 共面,想到 c=xa+yb,列出方程组可求参数值. 2 要证 B,G,N 三点共线,只要证 =λ 即可,想到选择恰当的基向量分别表 示 和 . 【解析】1.选 D.因为向量 a,b,c 共面,所以由共面向量基本定理,存在惟一有序实数对(x,y),使得 xa+yb=c, 所以 ,解方程组得λ= . 2.设 =a, =b, =c, 则 = + = + =-a+ (a+b+c)=- a + b + c, = + = + ( + )=-a+ b+ c= .所以 ∥ ,即 B,G,N 三点共线. 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面 - 4 - =λ 且同过点 P =x +y 对空间任一点 O, = +t 对空间任一点 O, = + x +y 1.e1,e2 是平面内不共线两向量,已知 =e1-ke2, =2e1+e2, =3e1-e2,若 A,B,D 三点共线,则 k 的值是 ( ) A.2 B.-3 C.-2 D.3 【解析】选 A. = - =e1-2e2,又 A,B,D 三点共线,设 =λ ,所以 ,所以 k=2. 2.如图,已知平行六面体 ABCD-A'B'C'D',E,F,G,H 分别是棱 A'D',D'C',C'C 和 AB 的中点,求证 E,F,G,H 四 点共面. 【证明】取 =a, =b, =c, 则 = + + = +2 + =b-a+2a+ ( + + ) =b+a+ (b-a-c-a)= b- c, 所以 与 b,c 共面.即 E,F,G,H 四点共面. - 5 - 考点三 空间向量的数量积及其应用 命 题 精 解 读 1.考什么:(1)考查空间向量的数量积运算、利用数量积求线段长度、夹角大小 以及证明垂直问题.(2)考查直观想象与数学运算的核心素养. 2.怎么考:常见命题方向:证明线线垂直,求空间角. 3.新趋势:以柱、锥、台体为载体,利用空间向量的数量积运算解决求值问题. 学 霸 好 方 法 1.(1)利用数量积解决问题的两条途径 :一是根据数量积的定义,利用模与夹 角直接计算;二是利用坐标运算. (2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题. ①a≠0,b≠0,a⊥b⇔a·b=0; ②|a|= ; ③cos= . 2.交汇问题:与立体几何知识联系,考查证明垂直,求空间角等问题. 空间向量的数量积运算 【典例】1.在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,E 是 BC 的中点,则 · = ( ) A.0 B. C.- D.- - 6 - 2.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2)且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k=___________.【解析】1.选 D. · = · = = =- . 2.由题意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+ 2k-2×2=5k-7=0,解得 k= . 答案: 数量积的应用 【典例】已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以 , 为边的平行四边形的面积. (2)若|a|= ,且 a 分别与 , 垂直,求向量 a 的坐标. 【解析】(1)由题意可得: =(-2,-1,3), =(1,-3,2),所以 cos< , >= = = = ,所以 sin< , >= , 所以以 , 为边的平行四边形的面积为 S=2× | |·| |·sin< , >=14× =7 . (2)设 a=(x,y,z),由题意得 - 7 - 解得 或 所以向量 a 的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1). 1.已知向量 a=(1,0,-1),则下列向量中与 a 成 60°夹角的是 ( ) A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 【解析】选B.经检验,选项 B 中向量(1,-1,0)与向量 a=(1,0,-1)的夹角的余弦值为 ,即它们的夹角为 60°. 2.如图所示,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面为平行四边形,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且两两夹角 为 60°. (1)求 AC1 的长. (2)求证:AC1⊥BD. (3)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值. 【解析】(1)记 =a, =b, =c, 则|a|=|b|=|c|=1,===60°, 所以 a·b=b·c=c·a= . | |2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a) =1+1+1+2× =6, 所以| |= ,即 AC1 的长为 . - 8 - (2)因为 =a+b+c, =b-a, 所以 · =(a+b+c)·(b-a) =a·b+b2+b·c-a2-a·b-a·c =b·c-a·c =|b|·|c|cos 60°-|a||c|cos 60°=0. 所以 ⊥ , 所以 AC1⊥BD. (3) =b+c-a, =a+b, 所以| |= ,| |= , · =(b+c-a)·(a+b) =b2-a2+a·c+b·c=1. 所以 cos < , >= = . 所以 AC 与 BD1 夹角的余弦值为 . 如图,在△ABC 中,AD⊥AB, = ,| |=1,则 · = ____________. 【解析】由题干图可得: · =( + )· = · + · =0+ · = ( + )· = ·| |2= . 答案: