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2013年上海市春季高考数学试卷
一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,要求直接填写结果,每题填对得3分,否则一律得0分.
1.(3分)函数y=log2(x+2)的定义域是 .
2.(3分)方程2x=8的解是 .
3.(3分)抛物线y2=8x的准线方程是 .
4.(3分)函数y=2sinx的最小正周期是 .
5.(3分)已知向量,.若,则实数k= .
6.(3分)函数y=4sinx+3cosx的最大值是 .
7.(3分)复数2+3i(i是虚数单位)的模是 .
8.(3分)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a=5,c=8,B=60°,则b= .
9.(3分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成角的大小为 .
10.(3分)从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为 (结果用数值表示).
11.(3分)若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和Sn= .
12.(3分)36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为 .
二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内,选对得3分,否则一律得0分.
13.(3分)展开式为ad﹣bc的行列式是( )
A. B. C. D.
14.(3分)设f﹣1(x)为函数f(x)=的反函数,下列结论正确的是( )
A.f﹣1(2)=2 B.f﹣1(2)=4 C.f﹣1(4)=2 D.f﹣1(4)=4
15.(3分)直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是( )
A.(2,﹣3) B.(2,3) C.(﹣3,2) D.(3,2)
16.(3分)函数f(x)=的大致图象是( )
A. B. C. D.
17.(3分)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( )
A. B.ab<b2 C.﹣ab<﹣a2 D.
18.(3分)若复数z1,z2满足z1=,则z1,z2在复数平面上对应的点Z1,Z2( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
19.(3分)(1+x)10的二项展开式中的一项是( )
A.45x B.90x2 C.120x3 D.252x4
20.(3分)既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是( )
A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x
21.(3分)若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为( )
A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16
22.(3分)设全集U=R,下列集合运算结果为R的是( )
A.Z∪∁UN B.N∩∁UN C.∁U(∁u∅) D.∁U{0}
23.(3分)已知a,b,c∈R,“b2﹣4ac<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
24.(3分)已知A,B为平面内两个定点,过该平面内动点m作直线AB的垂线,垂足为N.若=λ•,其中λ为常数,则动点m的轨迹不可能是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
三、解答题(本大题满分78分)本大题共有7题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
25.(7分)如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=6,异面直线BC1与AA1所成角的大小为,求该三棱柱的体积.
26.(7分)如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中∠B为直角,AB长40米,BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.
27.(8分)已知数列{an}的前n项和为S,数列{bn}满足b,求.
28.(13分)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(﹣1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2
(1)若△F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且,求直线l的方程.
29.(12分)已知抛物线C:y2=4x 的焦点为F.
(1)点A,P满足.当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;
(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
30.(13分)在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴正半轴上,点Pn在x轴上,其横坐标为xn,且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列,记∠PnAPn+1=θn,n∈N*.
(1)若,求点A的坐标;
(2)若点A的坐标为(0,8),求θn的最大值及相应n的值.
31.(18分)已知真命题:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)﹣b 是奇函数”.
(1)将函数g(x)=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标;
(2)求函数h(x)= 图象对称中心的坐标;
(3)已知命题:“函数 y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)﹣b
是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
2013年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,要求直接填写结果,每题填对得3分,否则一律得0分.
1.(3分)(2013•上海)函数y=log2(x+2)的定义域是 (﹣2,+∞) .
【分析】要使函数有意义,只需令x+2>0即可.
【解答】解:欲使函数有意义,须有x+2>0,解得x>﹣2,
所以函数的定义域为(﹣2,+∞).
故答案为:(﹣2,+∞).
2.(3分)(2013•上海)方程2x=8的解是 3 .
【分析】由已知条件2x=8=23,可得x=3,由此可得此方程的解.
【解答】解:由2x=8=23,可得x=3,即此方程的解为3,
故答案为 3.
3.(3分)(2013•上海)抛物线y2=8x的准线方程是 x=﹣2 .
【分析】根据抛物线方程的标准形式,可得抛物线以原点为顶点,开口向右,由2p=8算出=2,即可得到抛物线的准线方程.
【解答】解:∵抛物线的方程为y2=8x
∴抛物线以原点为顶点,开口向右.
由2p=8,可得=2,可得抛物线的焦点为F(2,0),准线方程为x=﹣2
故答案为:x=﹣2
4.(3分)(2013•上海)函数y=2sinx的最小正周期是 2π .
【分析】根据函数y=2sinωx的最小正周期是 ,运算可得结果.
【解答】解:函数y=2sinx的最小正周期是 ==2π,
故答案为 2π.
5.(3分)(2013•上海)已知向量,.若,则实数k= .
【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程,解出即可.
【解答】解:由,得1×(k﹣6)﹣9k=0,解得k=﹣,
故答案为:.
6.(3分)(2013•上海)函数y=4sinx+3cosx的最大值是 5 .
【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin(x+∅),再根据正弦函数的值域,求得它的最大值.
【解答】解:∵函数y=4sinx+3cosx=5(sinx+cosx)=5sin(x+∅),(其中,cos∅=,sin∅=)
故函数的最大值为5,
故答案为5.
7.(3分)(2013•上海)复数2+3i(i是虚数单位)的模是 .
【分析】利用模长公式|z|=,代入计算即可得出复数2+3i(i是虚数单位)的模.
【解答】解:∵复数2+3i,
∴2+3i的模 =.
故答案为:.
8.(3分)(2013•上海)在△
ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a=5,c=8,B=60°,则b= 7 .
【分析】根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,代入题中的数据得b2=25+64﹣2×5×8×cos60°=49,解之即可得到b=7.
【解答】解:∵在△ABC中,a=5,c=8,B=60°,
∴根据余弦定理,得
b2=a2+c2﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49
解之得b=7(舍负)
故答案为:7
9.(3分)(2013•上海)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成角的大小为 60° .
【分析】连接A1D,根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义,我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角,连接BD后,解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角.
【解答】解:连接A1D,由正方体的几何特征可得:A1D∥B1C,
则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角,
连接BD,易得:
BD=A1D=A1B
故∠BA1D=60°
故答案为:60°
10.(3分)(2013•上海)从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为 (结果用数值表示).
【分析】
先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率,然后根据对立事件的概率和为1可得答案.
【解答】解:从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为:=,
则选出的3人中男女同学都有的概率为:1﹣=.
故答案为:.
11.(3分)(2013•上海)若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和Sn= .
【分析】设等差数列的前n项和Sn=an2+bn,则由题意可得 ,解得a、b的值,即可求得数列的前n项和Sn的解析式.
【解答】解:设等差数列的前n项和Sn=an2+bn,则由题意可得 ,解得 ,
故数列的前n项和Sn=,
故答案为 .
12.(3分)(2013•上海)36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为 4836 .
【分析】这是一个类比推理的问题,在类比推理中,参照上述方法,2000的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2000=24×53,所以2000的所有正约数之和为(1+2+22+23+24)(1+5+52+53),即可得出答案.
【解答】解:类比36的所有正约数之和的方法,有:
2000的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2000=24×53,
所以2000的所有正约数之和为(1+2+22+23+24)(1+5+52+53)=4836.
可求得2000的所有正约数之和为 4836.
故答案为:4836.
二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内,选对得3分,否则一律得0分.
13.(3分)(2013•上海)展开式为ad﹣bc的行列式是( )
A. B. C. D.
【分析】根据叫做二阶行列式,它的算法是:ad﹣bc,再根据所给的式子即可得出答案.
【解答】解:根据叫做二阶行列式,它的算法是:ad﹣bc,
由题意得,=ad﹣bc.
故选B.
14.(3分)(2013•上海)设f﹣1(x)为函数f(x)=的反函数,下列结论正确的是( )
A.f﹣1(2)=2 B.f﹣1(2)=4 C.f﹣1(4)=2 D.f﹣1(4)=4
【分析】本题的关键是求函数f(x)=的反函数,欲求原函数的反函数,即从原函数式f(x)=中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式.
【解答】解:∵f﹣1(x)为函数f(x)=的反函数,
∴f﹣1(x)=x2,(x≥0),
∴f﹣1(2)=4,f﹣1(4)=16,
故选B.
15.(3分)(2013•上海)直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是( )
A.(2,﹣3) B.(2,3) C.(﹣3,2) D.(3,2)
【分析】题意可得首先求出直线的斜率为:k=,即可得到它的一个方向向量(1,k),再利用平面向量共线(平行)的坐标表示即可得出答案.
【解答】解:由题意可得:直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=,
所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量 =(1,),或(3,2)
故选D.
16.(3分)(2013•上海)函数f(x)=的大致图象是( )
A. B. C. D.
【分析】筛选法:利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案.
【解答】解:因为﹣<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,排除选项B、C;
又f(x)的定义域为(0,+∞),
故排除选项D,
故选A.
17.(3分)(2013•上海)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( )
A. B.ab<b2 C.﹣ab<﹣a2 D.
【分析】由于a<b<0,不妨令a=﹣2,b=﹣1,代入各个选项检验,只有D正确,从而得出结论.
【解答】解:由于a<b<0,不妨令a=﹣2,b=﹣1,可得=﹣1,∴
,故A不正确.
可得ab=2,b2=1,∴ab>b2,故B不正确.
可得﹣ab=﹣2,﹣a2=﹣4,∴﹣ab>﹣a2,故C不正确.
故选D.
18.(3分)(2013•上海)若复数z1,z2满足z1=,则z1,z2在复数平面上对应的点Z1,Z2( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
【分析】由题意可得z1,z2的实部相等,虚部互为相反数,故z1,z2在复数平面上对应的点Z1,Z2关于x轴对称.
【解答】解:若复数z1,z2满足z1=,则z1,z2的实部相等,虚部互为相反数,故z1,z2在复数平面上对应的点Z1,Z2关于x轴对称,
故选A.
19.(3分)(2013•上海)(1+x)10的二项展开式中的一项是( )
A.45x B.90x2 C.120x3 D.252x4
【分析】根据(1+x)10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•xr,即可得出结论.
【解答】解:(1+x)10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•xr,故当r=3时,此项为120x3,
故选C.
20.(3分)(2013•上海)既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是( )
A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x
【分析】根据函数的奇偶性排除A、C,再根据函数的单调性排除D,经检验B中的函数满足条件,从而得出结论.
【解答】解:由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数,故排除A、C.
由于函数y=cosx是偶函数,周期等于2π,且在(0,π)上是减函数,故满足条件.
由于函数y=cos2x是偶函数,周期等于π,在(0,)上是减函数,在(,π)上是增函数,故不满足条件.
故选B.
21.(3分)(2013•上海)若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为( )
A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16
【分析】设两个球的半径分别为r1、r2,根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=,解之得=,由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比.
【解答】解:设两个球的半径分别为r1、r2,根据球的表面积公式,
可得它们的表面积分别为S1=4,S2=4
∵两个球的表面积之比为1:4,
∴===,解之得=(舍负)
因此,这两个球的体积之比为==()3=
即两个球的体积之比为1:8
故选:C
22.(3分)(2013•上海)设全集U=R,下列集合运算结果为R的是( )
A.Z∪∁UN B.N∩∁UN C.∁U(∁u∅) D.∁U{0}
【分析】根据题目中条件“全集U=R”,对各个选项一一进行集合的运算,即可得出答案.
【解答】解:∵全集U=R,
∴Z∪∁UN=R,N∩∁UN=∅,∁U(∁u∅)=∅,∁U{0}={x∈R|x≠0}.
故选A.
23.(3分)(2013•上海)已知a,b,c∈R,“b2﹣4ac<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【分析】根据充要条件的定义可知,只要看“b2﹣4ac<0”与“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可.
【解答】解:若a≠0,欲保证函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方,则必须保证抛物线开口向上,且与x轴无交点;
则a>0且△=b2﹣4ac<0.
但是,若a=0时,如果b=0,c>0,则函数f(x)=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方,不能得到△=b2﹣4ac<0;
反之,“b2﹣4ac<0”并不能得到“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”,如a<0时.
从而,“b2﹣4ac<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件.
故选D.
24.(3分)(2013•上海)已知A,B为平面内两个定点,过该平面内动点m作直线AB的垂线,垂足为N.若=λ•,其中λ为常数,则动点m的轨迹不可能是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
【分析】建立直角坐标系,设出A、B坐标,以及M坐标,通过已知条件求出M的方程,然后判断选项.
【解答】解:以AB所在直线为x轴,AB中垂线为y轴,建立坐标系,
设M(x,y),A(﹣a,0)、B(a,0);
因为=λ•,
所以y2=λ(x+a)(a﹣x),
即λx2+y2=λa2,当λ=1时,轨迹是圆.
当λ>0且λ≠1时,是椭圆的轨迹方程;
当λ<0时,是双曲线的轨迹方程.
当λ=0时,是直线的轨迹方程;
综上,方程不表示抛物线的方程.
故选D.
三、解答题(本大题满分78分)本大题共有7题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
25.(7分)(2013•上海)如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=6,异面直线BC1与AA1所成角的大小为,求该三棱柱的体积.
【分析】因为 CC1∥AA1.根据异面直线所成角的定义得∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角,从而∠BC1C=.在Rt△BC1C中,求得BC,从而求出S△ABC,最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积.
【解答】解:因为 CC1∥AA1.
所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角,即∠BC1C=.
在Rt△BC1C中,BC=CC1tan∠BC1C=6×=2,
从而S△ABC==3,
因此该三棱柱的体积为V=S△ABC×AA1=3×6=18.
26.(7分)(2013•上海)如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中∠B为直角,AB长40米,BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.
【分析】设出矩形的边FP的边长,利用三角形相似求出矩形的宽,表示出矩形面积,利用二次函数的最值求解即可.
【解答】解:如图,设矩形为EBFP,FP长为x米,其中0<x<40,
健身房占地面积为y平方米.因为△CFP∽△CBA,
以,,求得BF=50﹣,
从而y=BF•FP=(50﹣)•x
=﹣
=﹣
≤500.
当且仅当x=20时,等号成立.
答:该健身房的最大占地面积为500平方米.
27.(8分)(2013•上海)已知数列{an}的前n项和为S,数列{bn}满足b,求.
【分析】先由Sn求出an,进而得到bn,由bn的表达式可判断数列{bn}
是无穷等比数列,从而可得答案.
【解答】解:当n≥2时,=﹣2n+2,
且a1=S1=0,所以an=﹣2n+2.
因为=,所以数列{bn}是首项为1、公比为的无穷等比数列.
故==.
28.(13分)(2013•上海)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(﹣1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2
(1)若△F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且,求直线l的方程.
【分析】(1)由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b,又c=1,集合a2=b2+c2可求a2,b2,则椭圆C的方程可求;
(2)由给出的椭圆C的短轴长为2,结合c=1求出椭圆方程,分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论,当斜率存在时,把直线方程和椭圆方程联立,由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和,把转化为数量积等于0,代入坐标后可求直线的斜率,则直线l的方程可求.
【解答】解:(1)设椭圆C的方程为.
根据题意知,解得,
故椭圆C的方程为.
(2)由2b=2,得b=1,所以a2=b2+c2=2,得椭圆C的方程为.
当直线l的斜率不存在时,其方程为x=1,不符合题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣1).
由,得(2k2+1)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
,
因为,所以,即
=
=
=,解得,即k=.
故直线l的方程为或.
29.(12分)(2013•上海)已知抛物线C:y2=4x 的焦点为F.
(1)点A,P满足.当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;
(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
【分析】(1)设出动点P和A的坐标,求出抛物线焦点F的坐标,由得出P点和A点的关系,由代入法求动点P的轨迹方程;
(2)设出点Q的坐标,在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标,由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系,再由点Q′在抛物线上,把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标.
【解答】解:(1)设动点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(xA,yA),则
,
因为F的坐标为(1,0),所以,
由,得(x﹣xA,y﹣yA)=﹣2(xA﹣1,yA).
即,解得
代入y2=4x,得到动点P的轨迹方程为y2=8﹣4x.
(2)设点Q的坐标为(t,0).点Q关于直线y=2x的对称点为Q′(x,y),
则,解得.
若Q′在C上,将Q′的坐标代入y2=4x,得4t2+15t=0,即t=0或.
所以存在满足题意的点Q,其坐标为(0,0)和().
30.(13分)(2013•上海)在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴正半轴上,点Pn在x轴上,其横坐标为xn,且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列,记∠PnAPn+1=θn,n∈N*.
(1)若,求点A的坐标;
(2)若点A的坐标为(0,8),求θn的最大值及相应n的值.
【分析】(1)利用{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列,确定通项,利用差角的正切公式,建立方程,即可求得A的坐标;
(2)表示出tanθn=tan(∠OAPn+1﹣∠OAPn),利用基本不等式,结合正切函数的单调性,即可求得结论.
【解答】解:(1)设A(0,t)(t>0),根据题意,xn=2n﹣1.
由,知,
而tanθ3=tan(∠OAP4﹣∠OAP3)==,
所以,解得t=4或t=8.
故点A的坐标为(0,4)或(0,8).
(2)由题意,点Pn的坐标为(2n﹣1,0),tan∠OAPn=.
∴tanθn=tan(∠OAPn+1﹣∠OAPn)==.
因为≥,所以tanθn≤=,
当且仅当,即n=4时等号成立.
∵0<θn<,y=tanx在(0,)上为增函数,
∴当n=4时,θn最大,其最大值为.
31.(18分)(2013•上海)已知真命题:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)﹣b 是奇函数”.
(1)将函数g(x)=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标;
(2)求函数h(x)= 图象对称中心的坐标;
(3)已知命题:“函数 y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)﹣b
是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
【分析】(1)先写出平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3﹣3(x+1)2+2,整理得y=x3﹣3x,由于函数y=x3﹣3x是奇函数,利用题设真命题知,函数g(x)图象对称中心.
(2)设h(x)= 的对称中心为P(a,b),由题设知函数h(x+a)﹣b是奇函数,从而求出a,b的值,即可得出图象对称中心的坐标.
(3)此命题是假命题.举反例说明:函数f(x)=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象,但是对任意实数a和b,函数y=f(x+a)﹣b,即y=x+a﹣b总不是偶函数.修改后的真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f(x+a)是偶函数”.
【解答】解:(1)平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3﹣3(x+1)2+2,整理得y=x3﹣3x,
由于函数y=x3﹣3x是奇函数,由题设真命题知,函数g(x)图象对称中心的坐标是(1,﹣2).
(2)设h(x)= 的对称中心为P(a,b),
由题设知函数h(x+a)﹣b是奇函数.
设f(x)=h(x+a)﹣b,则f(x)=﹣b,
即f(x)=.
由不等式的解集关于原点对称,则﹣a+(4﹣a)=0,得a=2.
此时f(x)=﹣b,x∈(﹣2,2).
任取x∈(﹣2,2),由f(﹣x)+f(x)=0,得b=1,
所以函数h(x)= 图象对称中心的坐标是(2,1).
(3)此命题是假命题.
举反例说明:函数f(x)=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象,
但是对任意实数a和b,函数y=f(x+a)﹣b,即y=x+a﹣b总不是偶函数.
修改后的真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f(x+a)是偶函数”.
参与本试卷答题和审题的老师有:wyz123;caoqz;ywg2058;minqi5;刘长柏;qiss;sxs123(排名不分先后)
2017年2月3日
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