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- 2021-07-01 发布
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2006年江西省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知集合M={x|x(x-1)3≥0}，N={y|y=3x2+1, x∈R}，则M∩N=( )
A.⌀ B.{x|x≥1} C.{x|x>1} D.{x|x≥1或x<0}
2. 已知复数z满足(3+3i)z=3i，则z=( )
A.32-32i B.34-34i C.32+32i D.34+34i
3. 若a>0，b>0，则不等式-b<1x1b D.x<-1b或x>1a
4. 设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA→⋅AF→=-4则点A的坐标是( )
A.(2, ±22) B.(1, ±2) C.(1, 2) D.(2, 22)
5. 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1)f'(x)≥0，则必有（ ）
A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)
6. 若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,12)成立，则a的最小值为( )
A.0 B.-2 C.-52 D.-3
7. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→=a1OA→+a200OC→，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ ）
A.100 B.101 C.200 D.201
8. 在(x-2)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=2时，S等于（ ）
A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009
9. P是双曲线x29-y216=1的右支上一点，M，N分别是圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
10. 将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ ）
A.a=105p=521 B.a=105p=421 C.a=210p=521 D.a=210p=421
11. 如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）
A.S1<S2 B.S1>S2
C.S1=S2 D.S1，S2的大小关系不能确定
12. 某地一年的气温Q(t)（单位：∘c）与时间t（月份）之间的关系如图(1)所示，已知该年的平均气温为10∘c，令G(t)表示时间段〔0，t〕的平均气温，G(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）
7 / 7
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 数列{14n2-1}的前n项和为Sn，则limn→∞Sn=________．
14. 设f(x)=log3(x+6)的反函数为f-1(x)，若〔f-1(m)+6〕〔f-1(n)+6〕=27，则f(m+n)=________．
15. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ABC=90∘，AC=6，BC=CC1=2，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是________．
16. 已知圆M：(x+cosq)2+(y-sinq)2=1，直线l:y=kx，下面四个命题：
(A)对任意实数k与q，直线l和圆M相切；
(B)对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；
(C)对任意实数q，必存在实数k，使得直线l和圆M相切
(D)对任意实数k，必存在实数q，使得直线l和圆M相切
其中真命题的代号是________．（写出所有真命题的代号）
三、解答题（共12小题，满分74分）
17. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1处都取得极值．
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[-1, 2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围．
7 / 7
18. 将分别标有数字2，3，5的三张质地，大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．
（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
（2）随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？并求出抽取到的两位数恰好是35的概率．
19. 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设ÐMGA=a(π3≤α≤2π3)
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数．
（2）求y=1S12+1S22的最大值与最小值．
20. 如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=3，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）求二面角B-AC-D的大小．
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30∘角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．
7 / 7
21. 如图，椭圆Q:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(c, 0)，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．
（1）求点P的轨迹H的方程．
（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq(0f(2)=2+c，
解得c<-1或c>2．
18.解：（1）根据题意可得：有三张卡片，
奇数只有“5”一张，
故抽到奇数的概率P=23；
（2）根据题意可得：随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，
共能组成6个不同的两位数：32，52，23，53，25，35．
其中恰好为35的概率为16．
19.解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以AG=23×32=33，
∠MAG=π6，
由正弦定理GMsinπ6=GAsin(π-α-π6)
得GM=36sin(α+π6)
则S1=12GM⋅GA⋅sina=sinα12sin(α+π6)
7 / 7
同理可求得S2=sinα12sin(α-π6)
（2）y=1y12+1y22=144sin2α〔sin2(α+π6)+sin2(α-π6)〕
=72(3+cot2a)
因为π3≤α≤2π3，
所以当a=π3或a=2π3时，y取得最大值ymax=240
当a=π2时，y取得最小值ymin=216
20.解：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．
AB⊥BD⇒HB⊥BD，又AD=3，BD=1
∴ AB=2=BC=AC
∴ BD⊥DC
又BD=CD，则BHCD是正方形，
则DH⊥BC∴ AD⊥BC
方法二：取BC的中点O，连AO、DO
则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴ BC⊥面AOD
∴ BC⊥AD
（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，因为AB=AC=BC=2
∵ M是AC的中点，则BM=62，MN=12CD=12，BN=12AD=32，由余弦定理可求得cos∠BMN=63
∴ ∠BMN=arccos63
（3）设E是所求的点，作EF⊥CH于F，连FD．则EF // AH，
∴ EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，
则∠EDF=30∘．
设EF=x，易得AH=HC=1，则CF=x，FD=1+x2，
∴ tan∠EDF=EFFD=x1+x2=33
解得x=22，
则CE=2x=1
故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30∘角．
21.解：如图，（1）设椭圆Q:x2a2+y2b2=1(a>b>0)
上的点A(x1, y1)、B(x2, y2)，又设P点坐标为P(x, y)，
则b2x12+a2y12=a2b2(1)b2x22+a2y22=a2b2(2)
1∘当AB不垂直x轴时，x1¹x2，
由（1）-(2)得
b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0
∴ y1-y2x1-x2=-b2xa2y=yx-c
∴ b2x2+a2y2-b2cx=0(3)
2∘当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：b2x2+a2y2-b2cx=0
（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x=a2c，原点距l的距离为a2c，
由于c2=a2-b2，a2=1+cosq+sinq，b2=sinq(0122∘
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N*，有(1-13)⋅(1-132)(1-13n)≥1-(13+132+…+13n)3∘
用数学归纳法证明3∘式：
（1）n=1时，3∘式显然成立，
（2）设n=k时，3∘式成立，
即(1-13)⋅(1-132)(1-13k)≥1-(13+132+…+13k)
则当n=k+1时，(1-13)⋅(1-132)⋅(1-13k)⋅(1-13k+1)≥〔1-(13+132+…+13k)〕•(1-13k+1)
=1-(13+132+…+13k)-13k+1+13k+1(13+132+…+13k)≥
1-(13+132+…+13k+13k+1)即当n=k+1时，3∘式也成立．
故对一切n∈N*，3∘式都成立．
利用3∘得，(1-13)⋅(1-132)(1-13n)≥1-(13+132+…+13n)=1-13〔1-(13)n〕1-13
=1-12〔1-(13)n〕=12+12(13)n>12
故2∘式成立，从而结论成立．
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