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- 2021-07-01 发布
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2009年北京市高考数学试卷(文科)
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1. 设集合A={x|-120,则cosθ=________.
10. 若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N*),则a5=________;前8项的和S8=________.(用数字作答)
11. 若实数x,y满足x+y-2≥0,x≤4,y≤5,则s=x+y的最大值为________.
12. 已知函数f(x)=3xx≤1-xx>1 若f(x)=2,则x=________.
13. 椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________,∠F1PF2的大小为________.
14. 设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”,给定S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
三、解答题(共6小题,满分80分)
15. 已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期;
第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
(2)求f(x)在区间[-π6,π2]上的最大值和最小值.
16. 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;
(2)当PD=2AB,且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.
17. 某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,遇到红灯时停留的时间都是2min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.
18. 设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0).
(1)若曲线y=f(x)在点(2, f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点.
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19. 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为3,右准线方程为x=33.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.
20. 设数列{an}的通项公式为an=pn+q(n∈N*, P>0).数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.
(Ⅰ)若p=12,q=-13,求b3;
(Ⅱ)若p=2,q=-1,求数列{bm}的前2m项和公式;
(Ⅲ)是否存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*)?如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.
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参考答案与试题解析
2009年北京市高考数学试卷(文科)
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1.A
【解答】
解:∵ A={x|-121-x=2⇒x=-2 无解,
13.2,120∘
【解答】
解:∵ |PF1|+|PF2|=2a=6,
∴ |PF2|=6-|PF1|=2.
在△F1PF2中,
cos∠F1PF2
=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|
=16+4-282×4×2=-12,
∴ ∠F1PF2=120∘.
故答案为:2;120∘
14.6
【解答】
解:依题意可知,没有与之相邻的元素是“孤立元”,
因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.
因此,符合题意的集合是:{1, 2, 3},{2, 3, 4},{3, 4, 5},
{4, 5, 6},{5, 6, 7},{6, 7, 8}共6个.
故答案为:6.
三、解答题(共6小题,满分80分)
15.解:(1)∵ f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,
∴ 函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由-π6≤x≤π2⇒-π3≤2x≤π,
∴ -32≤sin2x≤1,
∴ f(x)在区间[-π6,π2]上的最大值为1,最小值为-32.
【解答】
解:(1)∵ f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,
∴ 函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由-π6≤x≤π2⇒-π3≤2x≤π,
∴ -32≤sin2x≤1,
∴ f(x)在区间[-π6,π2]上的最大值为1,最小值为-32.
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16.证明:∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AC⊥BD,
∵ PD⊥底面ABCD,
∴ PD⊥AC,∴ AC⊥平面PDB,
∴ 平面AEC⊥平面PDB.
设AC∩BD=O,连接OE,
由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,
∴ ∠AEO为AE与平面PDB所的角,
∴ O,E分别为DB、PB的中点,
∴ OE // PD,OE=12PD,
又∵ PD⊥底面ABCD,
∴ OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
在Rt△AOE中,OE=12PD=22AB=AO,
∴ ∠AEO=45∘,即AE与平面PDB所成的角的大小为45∘.
【解答】
证明:∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AC⊥BD,
∵ PD⊥底面ABCD,
∴ PD⊥AC,∴ AC⊥平面PDB,
∴ 平面AEC⊥平面PDB.
设AC∩BD=O,连接OE,
由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,
∴ ∠AEO为AE与平面PDB所的角,
∴ O,E分别为DB、PB的中点,
∴ OE // PD,OE=12PD,
又∵ PD⊥底面ABCD,
∴ OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
在Rt△AOE中,OE=12PD=22AB=AO,
∴ ∠AEO=45∘,即AE与平面PDB所成的角的大小为45∘.
17.解:(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,
∵ 事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,
∴ 事件A的概率为P(A)=(1-13)×(1-13)×13=427
(2)由题意可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min)
事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0, 1, 2, 3, 4),
∴ P(ξ=2k)=C4k(13)k(23)4-k(k=0,1,2,3,4),
∴ 即ξ的分布列是
ξ
0
2
4
6
8
P
1681
3281
827
881
181
∴ ξ的期望是Eξ=0×1681+2×3281+4×827+6×881+8×181=83
【解答】
解:(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,
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∵ 事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,
∴ 事件A的概率为P(A)=(1-13)×(1-13)×13=427
(2)由题意可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min)
事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0, 1, 2, 3, 4),
∴ P(ξ=2k)=C4k(13)k(23)4-k(k=0,1,2,3,4),
∴ 即ξ的分布列是
ξ
0
2
4
6
8
P
1681
3281
827
881
181
∴ ξ的期望是Eξ=0×1681+2×3281+4×827+6×881+8×181=83
18.解:(1)f'(x)=3x2-3a,
∵ 曲线y=f(x)在点(2, f(2))处与直线y=8相切,
∴ f'(2)=0,f(2)=8,⇒3(4-a)=0,8-6a+b=8,⇒a=4,b=24.
(2)∵ f'(x)=3(x2-a)(a≠0),
当a<0时,f'(x)>0,
函数f(x)在(-∞, +∞)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点.
当a>0时,由f'(x)=0⇒x=±a,
当x∈(-∞,-a)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
当x∈(-a,a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
∴ 此时x=-a是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点.
【解答】
解:(1)f'(x)=3x2-3a,
∵ 曲线y=f(x)在点(2, f(2))处与直线y=8相切,
∴ f'(2)=0,f(2)=8,⇒3(4-a)=0,8-6a+b=8,⇒a=4,b=24.
(2)∵ f'(x)=3(x2-a)(a≠0),
当a<0时,f'(x)>0,
函数f(x)在(-∞, +∞)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点.
当a>0时,由f'(x)=0⇒x=±a,
当x∈(-∞,-a)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
当x∈(-a,a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
∴ 此时x=-a是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点.
19.解:(1)由题意,得a2c=33ca=3,解得a=1,c=3,
∴ b2=c2-a2=2,
∴ 所求双曲线C的方程为x2-y22=1.
(2)设A、B两点的坐标分别为(x1, y1),(x2, y2),线段AB的中点为M(x0, y0),
由x-y+m=0x2-y22=1得x2-2mx-m2-2=0(判别式△>0),
∴ x0=x1+x22=m,y0=x0+m=2m,
∵ 点M(x0, y0)在圆x2+y2=5上,
∴ m2+(2m)2=5,∴ m=±1.
【解答】
解:(1)由题意,得a2c=33ca=3,解得a=1,c=3,
∴ b2=c2-a2=2,
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∴ 所求双曲线C的方程为x2-y22=1.
(2)设A、B两点的坐标分别为(x1, y1),(x2, y2),线段AB的中点为M(x0, y0),
由x-y+m=0x2-y22=1得x2-2mx-m2-2=0(判别式△>0),
∴ x0=x1+x22=m,y0=x0+m=2m,
∵ 点M(x0, y0)在圆x2+y2=5上,
∴ m2+(2m)2=5,∴ m=±1.
20.(1)由题意,得an=12n-13,
解12n-13≥3,得n≥203.
∴ 12n-13≥3成立的所有n中的最小正整数为7,即b3=7.
(2)由题意,得an=2n-1,
对于正整数m,由an≥m,得n≥m+12.
根据bm的定义可知
当m=2k-1时,bm=k(k∈N*);
当m=2k时,bm=k+1(k∈N*).
∴ b1+b2+...+b2m=(b1+b3+...+b2m-1)+(b2+b4+...+b2m)=(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m+1)]=m(m+1)2+m(m+3)2=m2+2m.
(Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式pn+q≥m及p>0得n≥m-qp.
∵ bm=3m+2(m∈N*),根据bm的定义可知,对于任意的正整数m都有3m+10(或3p-1<0)时,得m<-p+q3p-1(或m≤-2p+q3p-1),这与上述结论矛盾!
当3p-1=0,即p=13时,得-23-q≤0<-13-q,
解得-23≤q<-13.(经检验符合题意)
∴ 存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*);p和q的取值范围分别是p=13,-23≤q<-13.
【解答】
(1)由题意,得an=12n-13,
解12n-13≥3,得n≥203.
∴ 12n-13≥3成立的所有n中的最小正整数为7,即b3=7.
(2)由题意,得an=2n-1,
对于正整数m,由an≥m,得n≥m+12.
根据bm的定义可知
当m=2k-1时,bm=k(k∈N*);
当m=2k时,bm=k+1(k∈N*).
∴ b1+b2+...+b2m=(b1+b3+...+b2m-1)+(b2+b4+...+b2m)=(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m+1)]=m(m+1)2+m(m+3)2=m2+2m.
(Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式pn+q≥m及p>0得n≥m-qp.
∵ bm=3m+2(m∈N*),根据bm的定义可知,对于任意的正整数m都有3m+10(或3p-1<0)时,得m<-p+q3p-1(或m≤-2p+q3p-1),这与上述结论矛盾!
当3p-1=0,即p=13时,得-23-q≤0<-13-q,
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解得-23≤q<-13.(经检验符合题意)
∴ 存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*);p和q的取值范围分别是p=13,-23≤q<-13.
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