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2009年北京市高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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‎2009年北京市高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1. 设集合A={x|-‎1‎‎2‎0‎,则cosθ=‎________.‎ ‎10. 若数列‎{an}‎满足:a‎1‎‎=1‎,an+1‎‎=2an(n∈N‎*‎)‎,则a‎5‎‎=‎________;前‎8‎项的和S‎8‎‎=‎________.(用数字作答)‎ ‎11. 若实数x,y满足x+y-2≥0,‎x≤4,‎y≤5,‎则s=x+y的最大值为________.‎ ‎12. 已知函数f(x)=‎3‎xx≤1‎‎-xx>1‎ ‎若f(x)=2‎,则x=‎________.‎ ‎13. 椭圆x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎的焦点为F‎1‎、F‎2‎,点P在椭圆上,若‎|PF‎1‎|=4‎,则‎|PF‎2‎|=‎________,‎∠F‎1‎PF‎2‎的大小为________.‎ ‎14. 设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”,给定S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}‎,由S的‎3‎个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎15. 已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx.‎ ‎(1)求f(x)‎的最小正周期;‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎(2)求f(x)‎在区间‎[-π‎6‎,π‎2‎]‎上的最大值和最小值.‎ ‎16. 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥‎底面ABCD,点E在棱PB上.‎ ‎(1)求证:平面AEC⊥‎平面PDB;‎ ‎(2)当PD=‎2‎AB,且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.‎ ‎17. 某学生在上学路上要经过‎4‎个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是‎1‎‎3‎,遇到红灯时停留的时间都是‎2min.‎ ‎(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;‎ ‎(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.‎ ‎18. 设函数f(x)=x‎3‎-3ax+b(a≠0)‎.‎ ‎(1)‎若曲线y=f(x)‎在点(‎2, f(2)‎)处与直线y=8‎相切,求a,b的值;‎ ‎(2)‎求函数f(x)‎的单调区间与极值点.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎19. 已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0, b>0)‎的离心率为‎3‎,右准线方程为x=‎‎3‎‎3‎.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)已知直线x-y+m=0‎与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x‎2‎‎+y‎2‎=5‎上,求m的值.‎ ‎20. 设数列‎{an}‎的通项公式为an=pn+q(n∈N‎*‎, P>0)‎.数列‎{bn}‎定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式an‎≥m成立的所有n中的最小值.‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎若p=‎1‎‎2‎,q=-‎‎1‎‎3‎,求b‎3‎;‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎若p=‎2‎,q=‎-1‎,求数列‎{bm}‎的前‎2m项和公式;‎ ‎(‎Ⅲ‎)‎是否存在p和q,使得bm=‎3m+2(m∈N‎*‎)‎?如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 参考答案与试题解析 ‎2009年北京市高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1.A ‎【解答】‎ 解:∵ A={x|-‎1‎‎2‎1‎‎-x=2⇒x=-2‎‎ ‎无解,‎ ‎13.‎2‎,‎‎120‎‎∘‎ ‎【解答】‎ 解:∵ ‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=2a=6‎,‎ ‎∴ ‎|PF‎2‎|=6-|PF‎1‎|=2‎.‎ 在‎△F‎1‎PF‎2‎中,‎ cos∠F‎1‎PF‎2‎ ‎=‎‎|PF‎1‎‎|‎‎2‎+|PF‎2‎‎|‎‎2‎-|‎F‎1‎F‎2‎‎|‎‎2‎‎2|PF‎1‎|⋅|PF‎2‎|‎ ‎=‎16+4-28‎‎2×4×2‎=-‎‎1‎‎2‎‎,‎ ‎∴ ‎∠F‎1‎PF‎2‎=‎‎120‎‎∘‎.‎ 故答案为:‎2‎;‎‎120‎‎∘‎ ‎14.‎‎6‎ ‎【解答】‎ 解:依题意可知,没有与之相邻的元素是“孤立元”,‎ 因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.‎ 因此,符合题意的集合是:‎{1, 2, 3}‎,‎{2, 3, 4}‎,‎{3, 4, 5}‎,‎ ‎{4, 5, 6}‎‎,‎{5, 6, 7}‎,‎{6, 7, 8}‎共‎6‎个.‎ 故答案为:‎6‎.‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎15.解:(1)∵ f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,‎ ‎∴ 函数f(x)‎的最小正周期为π.‎ ‎(2)由‎-π‎6‎≤x≤π‎2‎⇒-π‎3‎≤2x≤π,‎ ‎∴ ‎-‎3‎‎2‎≤sin2x≤1‎,‎ ‎∴ f(x)‎在区间‎[-π‎6‎,π‎2‎]‎上的最大值为‎1‎,最小值为‎-‎‎3‎‎2‎.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)∵ f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,‎ ‎∴ 函数f(x)‎的最小正周期为π.‎ ‎(2)由‎-π‎6‎≤x≤π‎2‎⇒-π‎3‎≤2x≤π,‎ ‎∴ ‎-‎3‎‎2‎≤sin2x≤1‎,‎ ‎∴ f(x)‎在区间‎[-π‎6‎,π‎2‎]‎上的最大值为‎1‎,最小值为‎-‎‎3‎‎2‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎16.证明:∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AC⊥BD,‎ ‎∵ PD⊥‎底面ABCD,‎ ‎∴ PD⊥AC,∴ AC⊥‎平面PDB,‎ ‎∴ 平面AEC⊥‎平面PDB.‎ 设AC∩BD=O,连接OE,‎ 由‎(‎Ⅰ‎)‎知AC⊥‎平面PDB于O,‎ ‎∴ ‎∠AEO为AE与平面PDB所的角,‎ ‎∴ O,E分别为DB、PB的中点,‎ ‎∴ OE // PD,OE=‎1‎‎2‎PD,‎ 又∵ PD⊥‎底面ABCD,‎ ‎∴ OE⊥‎底面ABCD,OE⊥AO,‎ 在Rt△AOE中,OE=‎1‎‎2‎PD=‎2‎‎2‎AB=AO,‎ ‎∴ ‎∠AEO=‎45‎‎∘‎,即AE与平面PDB所成的角的大小为‎45‎‎∘‎.‎ ‎【解答】‎ 证明:∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AC⊥BD,‎ ‎∵ PD⊥‎底面ABCD,‎ ‎∴ PD⊥AC,∴ AC⊥‎平面PDB,‎ ‎∴ 平面AEC⊥‎平面PDB.‎ 设AC∩BD=O,连接OE,‎ 由‎(‎Ⅰ‎)‎知AC⊥‎平面PDB于O,‎ ‎∴ ‎∠AEO为AE与平面PDB所的角,‎ ‎∴ O,E分别为DB、PB的中点,‎ ‎∴ OE // PD,OE=‎1‎‎2‎PD,‎ 又∵ PD⊥‎底面ABCD,‎ ‎∴ OE⊥‎底面ABCD,OE⊥AO,‎ 在Rt△AOE中,OE=‎1‎‎2‎PD=‎2‎‎2‎AB=AO,‎ ‎∴ ‎∠AEO=‎45‎‎∘‎,即AE与平面PDB所成的角的大小为‎45‎‎∘‎.‎ ‎17.解:(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,‎ ‎∵ 事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,‎ ‎∴ 事件A的概率为P(A)=(1-‎1‎‎3‎)×(1-‎1‎‎3‎)×‎1‎‎3‎=‎‎4‎‎27‎ ‎(2)由题意可得ξ可能取的值为‎0‎,‎2‎,‎4‎,‎6‎,‎8‎(单位:min)‎ 事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”‎(k=0, 1, 2, 3, 4)‎,‎ ‎∴ P(ξ=2k)=C‎4‎k(‎1‎‎3‎‎)‎k(‎2‎‎3‎‎)‎‎4-k(k=0,1,2,3,4)‎,‎ ‎∴ 即ξ的分布列是 ‎ ‎ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P ‎ ‎‎16‎‎81‎ ‎32‎‎81‎ ‎8‎‎27‎ ‎8‎‎81‎ ‎1‎‎81‎ ‎∴ ξ的期望是Eξ=0×‎16‎‎81‎+2×‎32‎‎81‎+4×‎8‎‎27‎+6×‎8‎‎81‎+8×‎1‎‎81‎=‎‎8‎‎3‎ ‎【解答】‎ 解:(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎∵ 事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,‎ ‎∴ 事件A的概率为P(A)=(1-‎1‎‎3‎)×(1-‎1‎‎3‎)×‎1‎‎3‎=‎‎4‎‎27‎ ‎(2)由题意可得ξ可能取的值为‎0‎,‎2‎,‎4‎,‎6‎,‎8‎(单位:min)‎ 事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”‎(k=0, 1, 2, 3, 4)‎,‎ ‎∴ P(ξ=2k)=C‎4‎k(‎1‎‎3‎‎)‎k(‎2‎‎3‎‎)‎‎4-k(k=0,1,2,3,4)‎,‎ ‎∴ 即ξ的分布列是 ‎ ‎ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P ‎ ‎‎16‎‎81‎ ‎32‎‎81‎ ‎8‎‎27‎ ‎8‎‎81‎ ‎1‎‎81‎ ‎∴ ξ的期望是Eξ=0×‎16‎‎81‎+2×‎32‎‎81‎+4×‎8‎‎27‎+6×‎8‎‎81‎+8×‎1‎‎81‎=‎‎8‎‎3‎ ‎18.解:‎(1)f'(x)=3x‎2‎-3a,‎ ‎∵ 曲线y=f(x)‎在点(‎2, f(2)‎)处与直线y=8‎相切,‎ ‎∴ ‎f‎'‎‎(2)=0,‎f(2)=8,‎‎⇒‎3(4-a)=0,‎‎8-6a+b=8,‎⇒‎a=4,‎b=24.‎ ‎(2)‎‎∵ f'(x)=3(x‎2‎-a)(a≠0)‎,‎ 当a<0‎时,f'(x)>0‎,‎ 函数f(x)‎在‎(-∞, +∞)‎上单调递增,此时函数f(x)‎没有极值点.‎ 当a>0‎时,由f‎'‎‎(x)=0⇒x=±‎a,‎ 当x∈(-∞,-a)‎时,f'(x)>0‎,函数f(x)‎单调递增,‎ 当x∈(-a,a)‎时,f'(x)<0‎,函数f(x)‎单调递减,‎ 当x∈(a,+∞)‎时,f'(x)>0‎,函数f(x)‎单调递增,‎ ‎∴ 此时x=-‎a是f(x)‎的极大值点,x=‎a是f(x)‎的极小值点.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)f'(x)=3x‎2‎-3a,‎ ‎∵ 曲线y=f(x)‎在点(‎2, f(2)‎)处与直线y=8‎相切,‎ ‎∴ ‎f‎'‎‎(2)=0,‎f(2)=8,‎‎⇒‎3(4-a)=0,‎‎8-6a+b=8,‎⇒‎a=4,‎b=24.‎ ‎(2)‎‎∵ f'(x)=3(x‎2‎-a)(a≠0)‎,‎ 当a<0‎时,f'(x)>0‎,‎ 函数f(x)‎在‎(-∞, +∞)‎上单调递增,此时函数f(x)‎没有极值点.‎ 当a>0‎时,由f‎'‎‎(x)=0⇒x=±‎a,‎ 当x∈(-∞,-a)‎时,f'(x)>0‎,函数f(x)‎单调递增,‎ 当x∈(-a,a)‎时,f'(x)<0‎,函数f(x)‎单调递减,‎ 当x∈(a,+∞)‎时,f'(x)>0‎,函数f(x)‎单调递增,‎ ‎∴ 此时x=-‎a是f(x)‎的极大值点,x=‎a是f(x)‎的极小值点.‎ ‎19.解:(1)由题意,得a‎2‎c‎=‎‎3‎‎3‎ca‎=‎‎3‎,解得a=1,c=‎‎3‎,‎ ‎∴ b‎2‎‎=c‎2‎-a‎2‎=2‎,‎ ‎∴ 所求双曲线C的方程为x‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=1‎.‎ ‎(2)设A、B两点的坐标分别为‎(x‎1‎, y‎1‎)‎,‎(x‎2‎, y‎2‎)‎,线段AB的中点为M(x‎0‎, y‎0‎)‎,‎ 由x-y+m=0‎x‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=1‎得x‎2‎‎-2mx-m‎2‎-2=0‎(判别式‎△>0‎),‎ ‎∴ x‎0‎‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=m,y‎0‎‎=x‎0‎+m=2m,‎ ‎∵ 点M(x‎0‎, y‎0‎)‎在圆x‎2‎‎+y‎2‎=5‎上,‎ ‎∴ m‎2‎‎+(2m‎)‎‎2‎=5‎,∴ m=±1‎.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)由题意,得a‎2‎c‎=‎‎3‎‎3‎ca‎=‎‎3‎,解得a=1,c=‎‎3‎,‎ ‎∴ b‎2‎‎=c‎2‎-a‎2‎=2‎,‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎∴ 所求双曲线C的方程为x‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=1‎.‎ ‎(2)设A、B两点的坐标分别为‎(x‎1‎, y‎1‎)‎,‎(x‎2‎, y‎2‎)‎,线段AB的中点为M(x‎0‎, y‎0‎)‎,‎ 由x-y+m=0‎x‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=1‎得x‎2‎‎-2mx-m‎2‎-2=0‎(判别式‎△>0‎),‎ ‎∴ x‎0‎‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=m,y‎0‎‎=x‎0‎+m=2m,‎ ‎∵ 点M(x‎0‎, y‎0‎)‎在圆x‎2‎‎+y‎2‎=5‎上,‎ ‎∴ m‎2‎‎+(2m‎)‎‎2‎=5‎,∴ m=±1‎.‎ ‎20.(1)由题意,得an‎=‎1‎‎2‎n-‎‎1‎‎3‎,‎ 解‎1‎‎2‎n-‎1‎‎3‎≥3‎,得n≥‎‎20‎‎3‎.‎ ‎∴ ‎1‎‎2‎n-‎1‎‎3‎≥3‎成立的所有n中的最小正整数为‎7‎,即b‎3‎=‎7‎.‎ ‎(2)由题意,得an=‎2n-1‎,‎ 对于正整数m,由an‎≥m,得n≥‎m+1‎‎2‎.‎ 根据bm的定义可知 当m=‎2k-1‎时,bm=k(k∈N‎*‎)‎;‎ 当m=‎2k时,bm=k+1(k∈N‎*‎)‎.‎ ‎∴ b‎1‎‎+b‎2‎+...+‎b‎2m=‎(b‎1‎+b‎3‎+...+b‎2m-1‎)+(b‎2‎+b‎4‎+...+b‎2m)‎=‎(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m+1)]=m(m+1)‎‎2‎+m(m+3)‎‎2‎=m‎2‎+2m.‎ ‎(‎Ⅲ‎)‎假设存在p和q满足条件,由不等式pn+q≥m及p>0‎得n≥‎m-qp.‎ ‎∵ bm=‎3m+2(m∈N‎*‎)‎,根据bm的定义可知,对于任意的正整数m都有‎3m+10‎(或‎3p-1<0‎)时,得m<-‎p+q‎3p-1‎(或m≤-‎‎2p+q‎3p-1‎),这与上述结论矛盾!‎ 当‎3p-1‎=‎0‎,即p=‎‎1‎‎3‎时,得‎-‎2‎‎3‎-q≤0<-‎1‎‎3‎-q,‎ 解得‎-‎2‎‎3‎≤q<-‎‎1‎‎3‎.(经检验符合题意)‎ ‎∴ 存在p和q,使得bm=‎3m+2(m∈N‎*‎)‎;p和q的取值范围分别是p=‎‎1‎‎3‎,‎-‎2‎‎3‎≤q<-‎‎1‎‎3‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)由题意,得an‎=‎1‎‎2‎n-‎‎1‎‎3‎,‎ 解‎1‎‎2‎n-‎1‎‎3‎≥3‎,得n≥‎‎20‎‎3‎.‎ ‎∴ ‎1‎‎2‎n-‎1‎‎3‎≥3‎成立的所有n中的最小正整数为‎7‎,即b‎3‎=‎7‎.‎ ‎(2)由题意,得an=‎2n-1‎,‎ 对于正整数m,由an‎≥m,得n≥‎m+1‎‎2‎.‎ 根据bm的定义可知 当m=‎2k-1‎时,bm=k(k∈N‎*‎)‎;‎ 当m=‎2k时,bm=k+1(k∈N‎*‎)‎.‎ ‎∴ b‎1‎‎+b‎2‎+...+‎b‎2m=‎(b‎1‎+b‎3‎+...+b‎2m-1‎)+(b‎2‎+b‎4‎+...+b‎2m)‎=‎(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m+1)]=m(m+1)‎‎2‎+m(m+3)‎‎2‎=m‎2‎+2m.‎ ‎(‎Ⅲ‎)‎假设存在p和q满足条件,由不等式pn+q≥m及p>0‎得n≥‎m-qp.‎ ‎∵ bm=‎3m+2(m∈N‎*‎)‎,根据bm的定义可知,对于任意的正整数m都有‎3m+10‎(或‎3p-1<0‎)时,得m<-‎p+q‎3p-1‎(或m≤-‎‎2p+q‎3p-1‎),这与上述结论矛盾!‎ 当‎3p-1‎=‎0‎,即p=‎‎1‎‎3‎时,得‎-‎2‎‎3‎-q≤0<-‎1‎‎3‎-q,‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 解得‎-‎2‎‎3‎≤q<-‎‎1‎‎3‎.(经检验符合题意)‎ ‎∴ 存在p和q,使得bm=‎3m+2(m∈N‎*‎)‎;p和q的取值范围分别是p=‎‎1‎‎3‎,‎-‎2‎‎3‎≤q<-‎‎1‎‎3‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页