2020_2021学年新教材高中数学第十章概率10 30页

10.2 　事件的相互独立性 课标阐释 思维脉络 1 . 理解相互独立事件的意义 , 弄清事件 “ 互斥 ” 与 “ 相互独立 ” 是两个不同的概念 . ( 数学抽象 ) 2 . 掌握两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式 . ( 数学运算 ) 3 . 能够综合运用相互独立事件的概率乘法公式解决一些较简单的相关概率计算问题 . ( 数学运算 ) 4 . 培养学生分析问题、解决问题的能力 , 提高学生数学转化与化归的能力 . ( 逻辑推理 ) 激趣诱思 知识点拨 问题一 :“ 常言道 , 三个臭皮匠能抵诸葛亮 . ” 怎样从数学上来解释呢 ? 将问题具体化 : 假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为 0 . 88, 三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为 0 . 6 、 0 . 5 、 0 . 5 . 问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗 ? 问题二 : 2010 年 1 月 26 日上午 ,NBA 常规赛进行了一场焦点之战 —— 勒布朗 · 詹姆斯领衔的克利夫兰骑士在客场挑战由韦德率领的迈阿密热火 . 比赛非常激烈 , 直到终场前 3 . 1 秒比分打成 90 平 , 热火队犯规 , 詹姆斯获两次罚篮机会 , 已知詹姆斯的罚篮命中率为 77 . 6%, 问骑士队此时获胜的概率是多少 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、两个事件相互独立 对任意两个事件 A 与 B , 如果 P ( AB ) =P ( A ) P ( B ) 成立 , 则称事件 A 与事件 B 相互独立 , 简称为 独立 . 名师点析 (1) 如果 A 与 B 相互独立 , 那么 A 与 也 都相互独立 . (2) 必然事件 Ω 、不可能事件 ⌀ 都与任意事件相互独立 . 因为必然事件 Ω 总会发生 , 不会受任何事件是否发生的影响 , 不可能事件 ⌀ 总不会发生 , 也不受任何事件是否发生的影响 . 当然 , 它们也不影响其他事件是否发生 . (3) 对于 n 个事件 A 1 , A 2 , … , A n , 如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响 , 则称 n 个事件 A 1 , A 2 , … , A n 相互独立 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 分别抛掷两枚质地均匀的硬币 , 事件 A= “ 第一枚硬币正面朝上 ”, 事件 B= “ 第二枚硬币反面朝上 ” . 你觉得事件 A 发生与否会影响事件 B 的发生吗 ? P ( A ), P ( B ) 与 P ( AB ) 有怎样的关系 ? 激趣诱思 知识点拨 微练习 若事件 A 与 B 相互独立 , 则下面的事件不相互独立的是 ( 　　 ) 答案 : A 激趣诱思 知识点拨 知识点二、两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式 若 A , B 是两个相互独立事件 , 则有 P ( AB ) =P ( A ) P ( B ) 成立 . 名师点析 (1) 三个事件 A , B , C 两两互斥 , 则 P ( A ∪ B ∪ C ) =P ( A ) +P ( B ) +P ( C ) 成立 . 但三个事件 A , B , C 两两独立时 , 等式 P ( ABC ) =P ( A ) P ( B ) P ( C ) 一般不成立 . (2) A , B , C 相互独立的充要条件是 : P ( AB ) =P ( A ) P ( B ), P ( BC ) =P ( B ) P ( C ), P ( CA ) =P ( C ) P ( A ), P ( ABC ) =P ( A ) P ( B ) ·P ( C ),4 个条件每个都必不可少 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 如果连续 10 次掷一枚骰子 , 结果都是出现 1 点 , 你认为这枚骰子的质地均匀吗 ? 为什么 ? 提示 : 可以推测这枚骰子的质地不均匀 , 并且很有可能是标有 6 点的那面比较重 , 使得出现 1 点的概率最大 , 才会连续 10 次都出现 1 点 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 若事件 E 与 F 相互独立 , 且 P ( E ) =P ( F ) = , 则 P ( EF ) 的值等于 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 相互独立事件的判断 例 1 抛掷一枚均匀的骰子一次 , 记事件 A= “ 出现偶数点 ”, B= “ 出现 3 点或 6 点 ”, 则事件 A 与 B 的关系是 ( 　　 ) A. 互斥 B . 相互独立 C. 既互斥又相互独立 D. 既不互斥又不相互独立 解析 : 因为 A= {2,4,6}, B= {3,6}, A ∩ B= {6 }, 答案 : B 反思感悟 判断两个事件 A , B 是否相互独立 , 一般有两种思路 , 一种是直接法 , 即从是否相互影响其发生 ( 偏感性认识 ) 判断 ; 第二种是定义法 , 即利用定义 P ( AB ) =P ( A ) P ( B ) 进行理性判断 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 袋内有 3 个白球和 2 个黑球 , 从中不放回地摸球 , 记 A= “ 第一次摸的白球 ”, B= “ 第二次摸的白球 ”, 则 A 与 B ( 　　 ) A. 互斥 B. 相互独立 C. 对立 D. 不相互独立 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 相互独立事件和互斥事件的概率问题 例 2 已知甲袋中装有大小、形状、质地相同的 3 个白球和 2 个红球 , 乙袋中装有 1 个白球和 4 个红球 . 现从甲、乙两袋中各摸一个球 , 试求 : (1) 两球都是红球的概率 ; (2) 恰有一个是红球的概率 ; (3) 至少有一个是红球的概率 . 分析 判断基本事件的构成 , 及各事件间的关系 , 选择合适的公式计算 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 记事件 A 表示 “ 从甲袋中摸出一个红球 ”, 事件 B 表示 “ 从乙袋中摸出一个红球 ”, 事件 C 表示 “ 从甲、乙两袋中各摸一个球 , 恰好摸出一个红球 ”, 事件 D 表示 “ 至少摸出一个红球 ” . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求复杂事件的概率 , 应先列出题中涉及的各事件 , 并用适当的符号表示 , 再理清各事件之间的关系 , 最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 甲、乙两人独立地破译一个密码 , 他们能译出密码的概率分别 为 (1)2 人都译不出密码的概率 ; (2) 恰有 1 人译出密码的概率 ; (3) 至多有 1 人译出密码的概率 ; (4) 至少有 1 人译出密码的概率 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 相互独立事件同时发生的概率 例 3 某项选拔共有四轮考核 , 每轮设有一个问题 , 能正确回答问题者进入下一轮考核 , 否则即被淘汰 . 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别 为 , 且各轮问题能否正确回答互不影响 . (1) 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率 ; (2) 求该选手至多进入第三轮考核的概率 . 分析 把所求事件分解成几个独立事件或互斥事件 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求相互独立事件同时发生的概率时 , 可运用公式 P ( AB ) =P ( A ) P ( B ) . 在解决问题时 , 要搞清事件是否独立 , 把复杂事件分解为若干简单事件来处理 , 同时还要注意运用对立事件把问题简单化 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 如图 , 用 K , A 1 , A 2 三类不同的元件连接成一个系统 . 当 K 正常工作且 A 1 , A 2 至少有一个正常工作时 , 系统正常工作 . 已知 K , A 1 , A 2 正常工作的概率依次为 0 . 9,0 . 8,0 . 8, 则系统正常工作的概率为 ( 　　 ) A.0 . 960 B.0 . 864 C.0 . 720 D.0 . 576 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 概率问题中的数学思想 典 例 在 一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关 , 只要其中有 1 个开关能够闭合 , 线路就能正常工作 . 假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是 0 . 7, 计算在这段时间内线路正常工作的概率 . 分析 该线路是并联电路 , 当且仅当三个开关都不闭合时 , 线路才不通 , 故本题可采用对立事件求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 分别记这段时间内开关 J A , J B , J C 能够闭合为事件 A , B , C. 由题意知 , 这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间没有影响 . 根据相互独立事件概率的乘法公式 , 得这段时间内 3 个开关都不能闭合的 概率 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 概率问题中的数学思想 (1) 正难则反 . 灵活应用对立事件的概率关系 ( P ( A ) +P ( ) = 1) 简化问题 , 是求解概率问题最常用的方法 . (2) 化繁为简 . 将复杂事件的概率转化为简单事件的概率 , 即寻找所求事件与已知事件之间的关系 . 弄清 “ 所求事件 ” 是分几类 ( 考虑加法公式 , 转化为互斥事件 ) 还是分几步 ( 考虑乘法公式 , 转化为相互独立事件 ) . (3) 方程思想 . 利用有关的概率公式和问题中的数量关系 , 建立方程 ( 组 ), 通过解方程 ( 组 ) 使问题获解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 一件产品要经过 2 道独立的加工程序 , 第一道工序的次品率为 a , 第二道工序的次品率为 b , 则产品的正品率为 ( 　　 ) A.1 -a-b B.1 -ab C.(1 -a )(1 -b ) D.1 - (1 -a )(1 -b ) 解析 : 设 A 表示 “ 第一道工序的产品为正品 ”, B 表示 “ 第二道工序的产品为正品 ”, 且 P ( AB ) =P ( A ) P ( B ) = (1 -a )(1 -b ) . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 某天上午 , 李明要参加 “ 青年文明号 ” 活动 . 为了准时起床 , 他用甲、乙两个闹钟叫醒自己 . 假设甲闹钟准时响的概率是 0 . 80, 乙闹钟准时响的概率是 0 . 90, 则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 　　　　　 .  解析 : 至少有一个准时响的概率为 1 - (1 - 0 . 90) × (1 - 0 . 80 ) = 1 - 0 . 10 × 0 . 20 = 0 . 98 . 答案 : 0 . 98