2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第三章 三角函数、解三角形 第5节 5页

第三章 第5节 ‎1．(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　 )‎ A．－　　　　　　　　　 B．－ C. D. 解析：A　[sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.故选A.]‎ ‎2．已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝， 则α＋β等于(　　)‎ A. B. C.和 D．－和－ 解析：A　[由于α，β都为锐角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.‎ 所以cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，‎ 所以α＋β＝.]‎ ‎3．(2020·新乡市三模)已知<α<π且sin ＝，则cos 等于(　　 )‎ A. B. C. D. 解析：D　[∵<α<π，sin ＝，‎ ‎∴＜α＋＜，可得cos ‎＝－＝－，‎ ‎∴cos ＝cos ‎＝cos cos＋sin sin ‎＝×＋×＝.]‎ ‎4．若函数f(x)＝4sin sin ωx＋cos (2π－2ωx)在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　 )‎ A. B. C. D. 解析：B　[因为f(x)＝4·sin ωx＋cos 2ωx＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋2·＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1.由函数y＝f(x)在区间上单调递增知，所以－≤＝，即3π≤，结合ω>0，可得0<ω≤.所以正数ω的最大值为，故选B.]‎ ‎5．若锐角φ满足sin φ－cos φ＝，则函数f(x)＝cos2(x＋φ)的单调增区间为(　　 )‎ A.，(k∈Z)‎ B.，(k∈Z)‎ C.，(k∈Z)‎ D.，(k∈Z)‎ 解析：D　[锐角φ满足sin φ－cos φ＝，‎ ‎∴1－2sin φcos φ＝，∴sin 2φ＝；‎ 又sin φ＞，∴2φ＝，解得φ＝；‎ ‎∴函数f(x)＝cos2(x＋φ)＝＝＋cos ，‎ ‎∴2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z；‎ ‎∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)，即，k∈Z.]‎ ‎6．已知θ是第四象限角，且sin＝，‎ 则tan＝　________　.‎ 解析：∵θ是第四象限角，‎ ‎∴－＋2kπ<θ<2kπ，则－＋2kπ<θ＋<＋2kπ，k∈Z.‎ 又sin＝，‎ ‎∴cos ＝＝＝，‎ ‎∴cos ＝sin ＝，sin＝cos ＝，‎ ‎∴tan ＝－tan ＝－ ‎＝－＝－.‎ 答案：－ ‎7．(2020·贵阳市一模)已知tan(π＋α)＝2，则cos 2α＋sin 2α＝　________　.‎ 解析：∵tan (π＋α)＝tan α＝2，‎ ‎∴sin 2α＋cos 2α＝ ‎＝＝＝.‎ 答案： ‎8.＝　________　.‎ 解析：原式＝ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝＝－4.‎ 答案：－4 ‎9．(2020·泉州市模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．‎ ‎(1)求sin 2α－tan α的值；‎ ‎(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－‎2f 2(x)在区间上的值域．‎ 解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.‎ ‎∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.‎ ‎(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，‎ ‎∴g(x)＝cos－2cos2x ‎＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，‎ ‎∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ ‎∴－2≤2sin－1≤1，‎ 故函数g(x)＝f－‎2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．‎ ‎10．(2020·南京市模拟)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为.‎ ‎(1)求cos 2α的值；‎ ‎(2)求2α－β的值．‎ 解：(1)因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，‎ 所以cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.‎ ‎(2)因为点Q的纵坐标为，所以sin β＝.‎ 又因为β为锐角，所以cos β＝.‎ 因为cos α＝，且α为锐角，所以sin α＝，‎ 因此sin 2α＝2sin αcos α＝，‎ 所以sin (2α－β)＝×－×＝.‎ 因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝.‎