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- 2021-07-01 发布
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等比数列的概念与通项公式
一、考点突破
知识点
课标要求
题型
说明
等差数列的前n项和
1. 掌握等差数列前n项和的公式,并能运用公式解决一些简单问题;
2. 体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系
选择题
填空题
等差数列前n项和还要注意两点:公式推导的方法和函数的思想
二、重难点提示
重点:运用等差数列前n项和的公式解决一些问题。
难点:等差数列前n项和公式与二次函数间的关系。
考点一:等差数列前n项和公式及推导
(1)等差数列的前n项和公式
Sn==na1+
(2) 等差数列的前n项和公式的推导:
∵Sn=a1+a2+…+an,
Sn=an+an-1+…+a1,
∴2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1),
=n(a1+an),
∴Sn=n(a1+an)
这种推导方法称为倒序求和法。
【核心突破】
(1)由等差数列的前n项和公式及通项公式可知,若已知a1、d、n、an、Sn中三个便可求出其余两个,即“知三求二”。“知三求二”的实质是方程思想,即建立方程组求解。
(2)在运用等差数列的前n项和公式来求和时,一般地,若已知首项a1及末项an用公式Sn=较方便;若已知首项a1及公差d用公式Sn=na1+d较好。
(3)在运用公式Sn=求和时,要注意性质“设m、n、p、q均为正整数,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”的运用。
(4)在求和时除了直接用等差数列的前n项和公式求和(即已知数列是等差数列)外,还要注意创设运用公式条件(即将非等差数列问题转化为等差数列问题),以利于求和。
考点二:等差数列前n项和的性质
4
数列{an}为等差数列,前n项和为Sn,则有如下性质:
(1)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,也是等差数列,公差为m2d。
(2)若项数为偶数2n(n∈N*),则S偶-S奇=nd,=。
(3)若项数为奇数2n+1(n∈N*),则S奇-S偶=an+1,=。
(4)若{an}、{bn}均为等差数列,前n项和分别为Sn和Tn,则。
考点三:等差数列前n项和的最值
解决等差数列前n项和的最值的基本思想是利用前n项和公式与函数的关系解决问题,即:
(1)二次函数法:用求二次函数的最值的方法来求前n项和的最值,但要注意的是:。
(2)图象法:利用二次函数的对称性来确定的值,使取最值。
(3)通项法:当时,为使成立的最大的自然数时,最大。这是因为当时,,即递增;当时,,即递减。
类似的,当时,则为使成立的最大的自然数时,最小。
例题1(等差数列前n项和公式的应用)
在等差数列{an}中,前n项和为Sn。
(1)已知S8=48,S12=168,求a1和d;
(2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8;
(3)已知a3+a15=40,求S17。
思路分析:(1)利用前n项和公式,建立关于a1、d的方程组,解方程组求a1、d;
(2)根据前n项和公式求a1、d,再求a8和S8;
(3)先根据等差数列的性质求a1+a17,再求S17。
答案:(1)由等差数列的前n项和公式,
得 解得
(2)∵a6=S6-S5,∴S6=S5+a6=15,
∴×6=15,即3(a1+10)=15,
∴a1=-5,∴d==3,
∴a8=a6+2d=16,S8=×8=44;
(3)根据等差数列的性质,有a3+a15=a1+a17=40,
4
∴S17==340。
技巧点拨:
1. 本题第(3)问看似缺少条件,但注意到a3+a15与a1+a17的联系,便可以很容易地求出结果,所以应注意各元素之间的某些特殊联系。
2. 对于两个求和公式Sn=和Sn=na1+,要根据题目的已知条件灵活选用。
例题2(等差数列前n项和的最值)
已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取得最大值?并求出Sn的最大值。
思路分析:先根据前n项和公式求公差d,再求出Sn的表达式,转化成二次函数在N*上的最值问题;也可求出公差d后,利用通项公式an的符号解决。
答案:方法一 设公差为d,由S3=S11得3×13+d=11×13+d,d=-2,又a1=13,∴Sn=n2+(a1-)n=-n2+14n=-(n-7)2+49,
∴当n=7时,Sn取得最大值,最大值是S7=49;
方法二 同方法一得
d=-2,an=13-2(n-1)=15-2n,
由 即
解得6.5≤n≤7.5,
∴当n=7时,Sn取得最大值,
∴Sn的最大值是S7==49;
方法三 同方法一得d=-2
又由S3=S11知a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=4(a7+a8)=0,
∵a1=13>0,
∴a7≥0,a8≤0,知数列的前7项和最大,
∴S7=7×13+×(-2)=49。
技巧点拨:
1. 本题中方法一利用二次函数的最值确定n值;方法二利用等差数列的通项公式确定n值;方法三利用等差数列的性质,由条件本身的特点确定n值。
2. 求等差数列前n项和的最值的常见方法:
(1)方法一:利用通项公式确定n值
①若a1>0,d<0,则Sn有最大值,n可由不等式组来确定;
②若a1<0,d>0,则Sn有最小值,n可由不等式组来确定。
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(2)方法二:利用二次函数的最值确定n值
等差数列的前n项和为Sn,当d≠0时,点(n,Sn)是二次函数y=ax2+bx(a≠0)上的间断点,因此可利用二次函数的最值确定n值。
一类与等差数列有关的含绝对值的数列的求和
【满分训练】已知数列为等差数列,,求
思路分析:所求和中关键是去掉绝对值,故根据的正负去掉绝对值。先确定各项的正负,再根据正负去掉绝对值,然后求和。
答案:由于有正也有负,当≥0时,;当<0时,。
当≥0时,,所以
技巧点拨:
这类数列的求和问题的易错点是未考虑的情形,或者考虑了,但认为它是一个常数。
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