2020高中数学 课时分层作业18 函数的极值与导数 新人教A版选修1-1 6页

课时分层作业(十八) 函数的极值与导数 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的极大值是(　　)‎ A.＋　　　　　 B．－＋ C.＋ D．1＋ C　[f′(x)＝cos x＋，x∈(0，π)，由f′(x)＝0得cos x＝－，x＝π，且x∈时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0，∴x＝π时，f(x)有极大值f＝＋.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)‎ A．(2,3) B．(3，＋∞)‎ C．(2，＋∞) D．(－∞，3)‎ B　[因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．]‎ ‎3．设函数f(x)＝xex，则(　　)‎ A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 D　[∵f(x)＝xex，‎ ‎∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．‎ ‎∴当f′(x)≥0时，‎ ex(1＋x)≥0，即x≥－1，‎ ‎∴x≥－1时，函数f(x)为增函数．‎ 同理可求，x<－1时，函数f(x)为减函数．‎ ‎∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．]‎ 6‎ ‎4．函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是(　　) ‎ ‎【导学号：97792156】‎ A．a＞1或a≤0　　　　 B．a＞1‎ C．0＜a＜1 D．a＞1或a＜0‎ D　[f(x)有极值的充要条件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即‎4a2－‎4a＞0，解得a＜0或a＞1.故选D.]‎ ‎5．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则(　　)‎ A．a<－1 B．a>－1‎ C．a<－ D．a>－ A　[因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.‎ 令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.]‎ 二、填空题 ‎6．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于__________．‎ ‎－19　[y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．‎ 由y′＝0，得x＝0或4.‎ 且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′<0；x∈(0,4)时，y′>0.‎ 所以x＝4时函数取到极大值，故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.]‎ ‎7．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝_______，‎ b＝________. ‎ ‎【导学号：97792157】‎ ‎－2　－　[f′(x)＝＋2bx＋3＝，‎ ‎∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，‎ ‎∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．‎ ‎∴由根与系数的关系知解得]‎ ‎8．函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是__________．‎ 　[∵f(x)＝x3－4x＋4，‎ ‎∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．‎ 6‎ 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ↘‎ 极小值 ↗‎ ‎∴当x＝－2时，‎ 函数取得极大值f(－2)＝；‎ 当x＝2时，‎ 函数取得极小值f(2)＝－.‎ 且f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增．‎ 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，‎ 结合图象知－0，当－11时，f′(x)>0，因此当x＝1时，f(x)有极小值．]‎ ‎3．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为__________．‎ ‎[1,5)　[f′(x)＝3x2＋2x－a，由题意知 即解得1≤a<5.]‎ ‎4．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1处有极值，则＋的最小值为__________．‎ 　[f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－‎2a－2b＝0‎ 即a＋b＝6，则＋＝(a＋b)‎ ‎＝≥＝.‎ 当且仅当＝且a＋b＝6，即a＝4，b＝2时等号成立．]‎ ‎5．若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围. ‎ ‎【导学号：97792159】‎ ‎[解]　f(x)＝2x3－6x＋k，‎ 则f′(x)＝6x2－6，‎ 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，‎ 可知f(x)在(－1,1)上是减函数，‎ f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，‎ f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.‎ 要使函数f(x)只有一个零点，‎ 只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)，‎ 6‎ 即k＜－4或k＞4.‎ ‎∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞).‎ 6‎