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- 2021-07-01 发布
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10.1.2 复数的几何意义
[课程目标] 1.理解复数集和复平面上点集的一一对应关系;会用向量表示复数;2.了解复数的几何意义;3.理解复数的模等有关概念.
知识点一 复平面
[填一填]
建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为实轴;y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y轴为虚轴.
知识点二 复数的几何意义
[填一填]
因为平面直角坐标系中的点Z(a,b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量,所以复数也可用向量来表示,这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi↔向量=(a,b).
如图:
由此可知复数的表示形式有三种:①代数形式:a+bi;②复平面内的点Z(a,b);③平面向量(O为坐标原点).
[答一答]
1.怎样理解复数的几何意义?
提示:(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点O,若起点不统一,是原点以外的点,复数与向量就不能建立一一对应关系.
(2)Z(a,b)与向量是复数z=a+bi(a,b∈R)的另外两种表示形式,它们都是复数z的几何表示.
(3)为方便起见,我们常把复数z=a+bi(a,b∈R)说成点Z或说成向量,并且规定:相等向量表示同一个复数.
知识点三 共轭复数
[填一填]
如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数,复数z的共轭复数用表示,因此,当z=a+bi(a,b∈R)时,有=a-bi.
显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共轭复数.
[答一答]
2.共轭复数有哪些性质?
提示:(1)当复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部b=0时,有z=,即任一实数的共轭复数仍然是它本身.当b≠0时,a+bi与a-bi叫做互为共轭虚数.显然,在复平面内,表示两个共轭虚数的点关于实轴对称,并且它们的模相等,如图.
(2)共轭复数的性质:①z∈R⇔z=;②z是纯虚数⇔z+=0,且z≠0;③对任意复数z都有z+∈R.
知识点四 复数的模
[填一填]
向量=(a,b)的长度称为复数z=a+bi的模(或绝对值),复数z的模用|z|表示,因此|z|=.
当b=0时,|z|==|a|,这说明复数的模是实数绝对值概念的推广.
[答一答]
3.如何理解和应用复数的模?
提示:(1)复数的模是一个非负实数,任意两个复数的模都可以比较大小.
(2)复数的模的几何意义:复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示z对应的点Z(a,b)到原点的距离.
(3)复数的模、复数对应的点到原点的距离、复数所对应向量的模三者是一致的.
(4)虚数的模是实数,可以比较大小,但虚数不能比较大小.
类型一 复数与复平面内对应点的关系
[例1] 实数a取什么值时,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点:
(1)位于第二象限;
(2)位于直线y=x上.
[分析] 位于第二象限的点的横坐标小于0,纵坐标大于0;位于直线y=x上的点的横坐标等于纵坐标.
[解] 根据复数的几何意义可知,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点就是点Z(a2+a-2,a2-3a+2).
(1)由点Z位于第二象限,得
解得-2
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