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2014·全国新课标卷Ⅰ(文科数学)
1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－2＜x＜1}，则M∩N＝( )
A．(－2，1) B．(－1，1)
C．(1，3) D．(－2，3)
1．B [解析]利用数轴可知M∩N＝{x|－10，所以选C.
3．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设z＝＋i，则|z|＝( )
A.B.C.D．2
3．B [解析]z＝＋i＝＋i＝＋i，则|z|＝.
4．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝( )
A．2B.C.D．1
4．D [解析]因为c2＝a2＋3，所以e＝＝＝2，得a2＝1，所以a＝1.
5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
5．C [解析]因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x)·
g(－x)＝－f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A错；
|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数，B错；
f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C正确；
|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)为偶函数，所以D也错．
6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A.B.
C.D.
6．A [解析] EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝AC＋AB＝AD.
7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y＝
cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③B．①③④
C．②④D．①③
7．A [解析]函数y＝cos|2x|＝cos2x，其最小正周期为π，①正确；将函数y＝cosx的图像中位于x轴上方的图像不变，位于x轴下方的图像对称地翻转至x轴上方，即可得到y＝|cosx|的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y＝cos的最小正周期为π，③正确；函数y＝tan的最小正周期为，④不正确．
8．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图11，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥B．三棱柱
C．四棱锥D．四棱柱
8．B [解析]从俯视图为矩形可以看出，此几何体不可能是三棱锥或四棱锥，其直观图如图，是一个三棱柱．
9．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 执行如图11的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝( )
图11
A.B.C.D.
9．D [解析]第一次循环后，M＝，a＝2，b＝，n＝2；
第二次循环后，M＝，a＝，b＝，n＝3；
第三次循环后，M＝，a＝，b＝，n＝4，
此时n>k(n＝4，k＝3)，结束循环，输出M＝.
10．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1B．2C．4D．8
10．A [解析]由抛物线方程y2＝x，知p＝，又因为|AF|＝x0＋＝x0＋＝x0，所以得x0＝1.
11．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5B．3
C．－5或3D．5或－3
11．B [解析]当a<0时，作出相应的可行域，可知目标函数z＝x＋ay不存在最小值．
当a≥0时，作出可行域如图，易知当－＞－1，即a＞1时，目标函数在A点取得最小值．由A，知zmin＝＋＝7，解得a＝3或－5(舍去)．
图225
12．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0
，且x0＞0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)
12．C [解析]显然a＝0时，函数有两个不同的零点，不符合．当a≠0时，由f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x1＝0，x2＝.当a>0时，函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减，又f(0)＝1，所以函数f(x)存在小于0的零点，不符合题意；当a<0时，函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递减，在上单调递增，所以只需f>0，解得a<－2，所以选C.
13．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
13. [解析]2本数学书记为数1，数2，3本书共有(数1数2语)，(数1语数2)，(数2数1语)，(数2语数1)，(语数1数2)，(语数2数1)6种不同的排法，其中2本数学书相邻的排法有4种，对应的概率为P＝＝.
14．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
14．A [解析]由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市．
15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
15．(－∞，8] [解析]当x<1时，由ex－1≤2，得x<1；当x≥1时，由x≤2，解得1≤x≤8，综合可知x的取值范围为x≤8.
16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图13，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.
图13
16．150 [解析]在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，所以AC＝100.在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝45°，由正弦定理有＝，即AM
＝×100＝100，于是在Rt△AMN中，有MN＝sin60°×100＝150.
17．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
17．解：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.
由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，
故d＝，从而得a1＝.
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
(2)设的前n项和为Sn，由(1)知＝，
则Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减得
Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.
18．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标
值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95
的产品至少要占全部产品80%”的规定？
18．解：(1)频率分布直方图如下：
(2)质量指标值的样本平均数为
x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋
(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.8＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
19．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图14，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
图14
(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABCA1B1C1的高．
19．解：(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．
因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，
由于BC1∩AO＝O，故B1C⊥平面ABO.
由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.
(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.
由于BC⊥AO，BC⊥OD，且AO∩OD＝O，
故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.
又OH⊥AD，且AD∩BC＝D，
所以OH⊥平面ABC.
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC＝1，可得OD＝.
因为AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.
由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得OH＝.
又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABCA1B1C1的高为.
20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
20．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．
由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，
故l的方程为y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，O到直线l的距离为，
故|PM|＝，所以△POM的面积为.
21．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，
f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜，求a的取值范围．
21．解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1，
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝alnx＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
(i)若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－11，
故当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f<.
而f＝aln＋＋>，所以不合题意．
(iii)若a>1, 则f(1)＝－1＝<，符合题意．
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．
22．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲
如图15，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
图15
(1)证明：∠D＝∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．
22．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，
所以∠D＝∠CBE.
由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.
(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故点O在直线MN上．
又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，
故OM⊥AD，即MN⊥AD，
所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.
又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.
由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．
23．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程、直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
23．解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)，
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到直线l的距离d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tanα＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，
最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，
最小值为.
24．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－5：不等式选讲
若a＞0，b＞0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？请说明理由．
24．解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，
当且仅当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4>6，从而不存在a，b，使2a＋3b＝6.
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