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- 2021-07-01 发布
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数学试卷(文史类)
考试说明:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,字迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.
第I卷 (选择题,共60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数是纯虚数,则实数
A. B. C. D.
2.已知向量,,若,则实数
A. B. C. D.
3.已知集合,集合,则集合的子集个数
为
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设,,,则的大小关系是
A. B. C. D.
5. 设公比为3的等比数列的前项和为,若,则
A. B. C. D.
6. 某几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图
都是边长分别为1和2的矩形,俯视图为半径为1的
四分之一个圆,则该几何体的体积为
正视图
侧视图
俯视图
- 10 -
A. B.
C. D.
7. 若圆与圆外切,则实数
A. B. C. D.
8. 设,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”,就
是现在我们熟悉的“进位制”,右图所示的是一位母亲记录的孩子自
出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满五进一,
根据图示可知,孩子已经出生的天数是
A. B.
C. D.
10.已知函数,,,,…,
依此类推,
A. B. C. D.
11.正方体的棱长为2,是棱的中点,则平面截该正方体所得的截面面积为
A. B. C. D.
- 10 -
12.已知点在直线上,点在曲线上,则的最小值为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知双曲线的离心率为2,则渐近线方程为 .
14.设为等差数列的前项和,若,则= .
15.若在不等式所表示的平面区域内随机投一点,则该点落在不等式组所表示的平面区域内的概率为 .
16.函数为奇函数,当时,,则不等式的解集为 .
三、解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(本小题满分12分)
已知的内角的对边分别为,满足.
(1)求;
(2)若,求的面积.
18.(本小题满分12分)
如图①,在平面五边形中,是梯形,//,==,
- 10 -
,,是等边三角形.现将沿折起,连接,得到如图②的几何体.
A
C
B
E
D
图①
C
B
A
D
M
E
图②
(1)若点是的中点,求证://平面;
(2)若平面平面,求四棱锥的体积.
0.0375
0.0250
0.0125
O
20
28
36
44
52
60
年龄
19.(本小题满分12分)
为抑制房价过快上涨和过度炒作,各地政府响应中央号召,因地制宜出台了系列房价调控政策.某市拟定出台“房产限购的年龄政策”.为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度,在年龄为岁的人群中随机调查100人,调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示:
年龄
[20,28)
[28,36)
[36,44)
[44,52)
[52,60)
支持的人数
15
5
15
28
17
(1)由以上统计数据填列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异?
44岁以下
44岁及44岁以上
总计
支持
不支持
总计
(2)若以44岁为分界点,从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会,现从这8人中随机抽2人,求抽到的2人中恰有1人是44岁以下的概率.
- 10 -
参考公式:.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
20.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)当时,证明:时,;
(2)若对任意,均有成立,求的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.
(1)求抛物线的方程;
(2)设为抛物线上的不同三点,,且,
求证:直线过定点.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,),以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程,直线在轴正半轴及轴正半轴上的截距相等时的直角坐标方程;
(2)若,设直线与曲线交于不同的两点,点,求
- 10 -
的值.
23.[选修4-5:不等式选讲] (本小题满分10分)
已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若的最小值为,求证:.
数学试卷(文史类)答案及评分标准
一、选择题:
- 10 -
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
C
C
B
D
A
B
A
B
D
二、填空题:
13. 14. 15. 16.
三、解答题:
17. (1)由题知,……………………………………2分
则,则
,在中,,所以,………………………4分
则………………6分
(2) 由余弦定理得,
从而得,……………………………………9分
又,所以,所以的面积为.…………………………12分
18.(1)取中点,连接,,则是的中位线,
………………6分
(2)取中点,连接,是等边三角形,得,
因为平面平面,平面平面
所以平面平面 ………………8分
直角梯形的面积为 …………10分
四棱锥的体积 ………………12分
- 10 -
19.(1)由统计数据填列联表如下:
44岁以下
44岁及44岁以上
总计
支持
35
45
80
不支持
15
5
20
总计
50
50
100
计算观测值,..................................4分
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异; ..............................................................................................5分
(2)由题意可知不支持“房产限购”的人44岁以下有15人,44岁及以上有5人,
按分层抽样的方法抽取8人,其中44岁以下抽取6人,用表示
44岁及以上抽取2人分别用表示, ……………………..… 6分
设“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”为事件A ……………………..…7分
从这8人中抽取2人所有可能出现的结果有:
,,,,,,,
,,,,,,
,,,,,
,,,,,,,
,, 共28种 ………………………………..…9分
抽取的2人中恰有1人44岁以下的结果有:
,,,,,,,,,,,,共12种 ……………………..…11分
所以,抽取“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”的概率为 … 12分
20.(1)当时,,
- 10 -
由于在上单调递减,存在唯一零点
知:
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减
知时,,即恒成立
所以为上的减函数,
时,, 证毕 …………………………………………6分
(2)等价于,设函数,
,知:
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减
,,
实数的取值范围是 ………………………………………………12分
21.(1)依题意,,所以………………………………4分
(2)设直线的方程为,与抛物线联立得,
设,由得………6分
化简得,…………………………8分
解得或(舍)…………………………10分
所以直线过定点………………………………………………12分
22.(1),所以,
由,得曲线的直角坐标方程为…………….…….3分
当直线在轴正半轴及轴正半轴截距相等时,,
- 10 -
由得,所以,
即此时直线的直角坐标方程为…………………………………..………5分
(2)当时,直线的参数方程为(为参数)
将直线的参数方程带入,得,
,,………..……………...…….8分
故…………………………………...…..10分
23.(1)依题意,解集为 ………………………………5分
(2),所以…7分
……………10分
- 10 -
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