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  • 2021-07-01 发布

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(53)直线与圆锥曲线的位置关系B

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课时作业(五十三)B [第53讲 直线与圆锥曲线的位置关系]‎ ‎ [时间:45分钟 分值:100分]‎ ‎1.双曲线-=1上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是(  )‎ A.2 B.‎3 C.4 D.5‎ ‎2.斜率为1的直线被椭圆+y2=1截得的弦长的最大值为(  )‎ A. B. C. D. ‎3.过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为135°的弦AB,则AB的长度是(  )‎ A.4 B.‎4 C.8 D.8 ‎4.设抛物线C的顶点为原点,焦点F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点,若AB的中点(2,2),则直线l的方程为________. ‎5.动圆M的圆心M在抛物线y2=4x上移动,且动圆恒与直线l:x=-1相切,则动圆M恒过点(  )‎ A.(-1,0) B.(-2,0)‎ C.(1,0) D.(2,0)‎ ‎6.若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为(  )‎ A.至多1个 B.2个 C.1个 D.0个 ‎7.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2作倾斜角为150°的直线交双曲线左支于M点,若MF1垂直于x轴,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D. ‎8.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为(  )‎ A. B. C. D. ‎9.过原点的直线l被双曲线y2-x2=1截得的弦长为2,则直线l的倾斜角为(  )‎ A.30°或150° B.45°或135°‎ C.60°或120° D.75°或105°‎ ‎10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A1、A2,一个虚轴端点为B,若它的焦距为4,则△A‎1A2B面积的最大值为________.‎ ‎11.如图K53-1,在平面直角坐标系xOy中,点A为椭圆E:+=1(a>b>0)的左顶点,B,C在椭圆E上,若四边形OABC为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆E的离心率等于________.‎ 图K53-1‎ ‎12.抛物线y2=4x过焦点的弦的中点的轨迹方程是________.‎ ‎13. 双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(1,2)在“上”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是________.‎ ‎14.(10分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过焦点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明:直线AC经过原点O.‎ ‎15.(13分) 在直角坐标系xOy中,点M到点F1(-,0)、F2(,0)的距离之和是4,点M的轨迹是C,直线l:y=kx+与轨迹C交于不同的两点P和Q.‎ ‎(1)求轨迹C的方程;‎ ‎(2)是否存在常数k,使以线段PQ为直径的圆过原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.‎ 图K53-2‎ ‎16.(12分) 设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|PF2|=|F‎1F2|.‎ ‎(1)求椭圆的离心率e;‎ ‎(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆(x+1)2+(y-)2=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.‎ 课时作业(五十三)B ‎【基础热身】‎ ‎1.A [解析] 双曲线的右顶点到右焦点的距离最小,最小值为2.故选A.‎ ‎2.B [解析] 当直线经过椭圆中心时,被椭圆截得的弦最长,将此时直线方程y=x代入椭圆方程,得弦的一个端点的坐标为M,,于是弦长为2|OM|=.故选B.‎ ‎3.C [解析] 抛物线的焦点为(1,0),设弦AB所在的直线方程为y=-x+1代入抛物线方程,得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,由弦长公式,得|AB|==8.故选C.‎ ‎4.y=x [解析] 由题意知,抛物线C的方程y2=4x.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2, y-y=4(x1-x2),所以==1,‎ l:y-2=x-2,即y=x.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5.C [解析] 因为直线l是抛物线的准线,根据抛物线的定义,圆心M到F的距离等于M到抛物线准线l的距离.所以动圆M恒过抛物线的焦点F(1,0).故选C.‎ ‎6.B [解析] 依题意,圆心到直线的距离大于半径,即>2,所以m2+n2<4,该不等式表明点(m,n)在以原点为圆心,2为半径的圆内,而这个圆又在椭圆+=1内,所以过点(m,n)的直线与椭圆有2个交点.故选B.‎ ‎7.C [解析] 由题意知△F1MF2是直角三角形,且|F‎1F2|=‎2c,∠MF‎2F1=30°,‎ 所以|MF1|=,于是点M坐标为.所以-=1,即-=1,将e=代入,化简整理,得3e4-10e2+3=0,解得e2=(舍去),或e2=3,所以e=.故选C.‎ ‎8.A [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=1-x代入椭圆方程,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,则=,即线段AB中点的横坐标为,代入直线方程y=1-x得纵坐标为,所以过原点与线段AB中点的直线的斜率为=.故选A.‎ ‎9.C [解析] 设直线l方程为y=kx,代入双曲线方程得(k2-1)x2=1,∴x=±,y=±,‎ ‎∴两交点的坐标为A,‎ B,‎ 由两点间距离公式得,|AB|2=2+2=(2)2,解得k=±,‎ ‎∴倾斜角为60°或120°.‎ ‎10.2 [解析] 依题意,S△A‎1A2B=ab≤==2,所以△A‎1A2B面积的最大值为2.‎ ‎11. [解析] 设椭圆的半焦距为c.因为四边形OABC为平行四边形,∵BC∥OA,|BC|=|OA|,所以点C的横坐标为,代入椭圆方程得纵坐标为.因为∠OAB=30°,‎ 所以=×,即a=3b,a2=‎9a2-‎9c2,‎ 所以‎8a2=‎9c2,所以离心率e=.‎ ‎12.y2=2(x-1) [解析] 抛物线焦点为F(1,0),设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),中点P(x,y),则y=4x1,y=4x2,作差得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)①.将y1+y2=2y,=代入①式,得2y·=4,‎ 即y2=2(x-1).‎ ‎13.(1,) [解析] 双曲线的渐近线为bx±ay=0,依题意有即b<‎2a,所以c2-a2<‎4a2,那么e=<.又e>1,所以e∈(1,).‎ ‎14.[解答] 证明:设过焦点F的直线AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由消去x,得y2-2pmy-p2=0,‎ ‎∴y1y2=-p2.‎ ‎∵BC∥x轴,且点C在准线x=-上,‎ ‎∴点C的坐标为.‎ kCO====kOA,故AC过原点O.‎ ‎15.[解答] (1)∵点M到(-,0),(,0)的距离之和是4,‎ ‎∴M的轨迹C是长轴长为4,焦点在x轴上,焦距为2的椭圆,‎ 其方程为+y2=1.‎ ‎(2)将y=kx+代入曲线C的方程,‎ 消去y,整理得(1+4k2)x2+8kx+4=0.①‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由方程①,‎ 得x1+x2=-,x1x2=.②‎ 又y1·y2=(kx1+)(kx2+)=k2x1x2+k(x1+x2)+2.③‎ 若以PQ为直径的圆过原点,则·=0,‎ 所以x1x2+y1y2=0,‎ 将②、③代入上式,解得k=±.‎ 又因k的取值应满足Δ>0,即4k2-1>0(*),将k=±代入(*)式知符合题意.∴k=±.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16.[解答] (1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),因为|PF2|=|F‎1F2|,所以=‎2c,整理得22+-1=0,得=-1(舍),或=,所以e=.‎ ‎(2)由(1)知a=‎2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=‎12c2,直线PF2的方程为y=(x-c).‎ A,B两点的坐标满足方程组消去y并整理,得5x2-8cx=0.解得x1=0,x2=c.得方程组的解不妨设A,B(0,-c),所以|AB|==c.‎ 于是|MN|=|AB|=‎2c.‎ 圆心(-1,)到直线PF2的距离 d==.‎ 因为d2+2=42,‎ 所以(2+c)2+c2=16,整理得‎7c2+‎12c-52=0.‎ 得c=-(舍),或c=2.所以椭圆方程为+=1.‎ ‎ ‎