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  • 2021-07-01 发布

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(1)

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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一)‎ 姓名: 班级 : 分数 : ‎ 一、填空题(本题满分56分,每小题7分。)‎ ‎1.已知复数满足,则 .‎ ‎2.设,,则的值域为 .‎ ‎3.设等差数列的前n项和为,若,则中最大的是 .‎ ‎4.已知O是锐角△ABC的外心,,若,且,则 .‎ ‎5.已知正方体的棱长为1,O为底面ABCD的中心,M,N分别是棱A1D1和CC1的中点.则四面体的体积为 .‎ ‎6.设,且,,则符合条件的共有 组.(注:顺序不同视为不同组.)‎ ‎7.设,则的最小值为 .‎ ‎8.设p是给定的正偶数,集合的所有元素的和是 .‎ 二、解答题(本题满分64分,第9题14分,第10题15分,第11题15分,第12题20分。)‎ ‎9.设数列满足,,其中.‎ ‎(1)证明:对一切,有;‎ ‎(2)证明:.‎ ‎ 10.求不定方程的正整数解的组数.‎ ‎11.已知抛物线C:与直线l:没有公共点,设点P为直线l上的动点,过P作抛物线C的两条切线,A,B为切点.‎ ‎(1)证明:直线AB恒过定点Q;‎ ‎12.设为正实数,且.证明:‎ ‎.‎ ‎ ‎ 湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一)‎ 参考答案 一、填空题(本题满分56分,每小题7分。)‎ ‎1.已知复数满足,则 0 .‎ ‎2.设,,则的值域为.‎ ‎3.设等差数列的前n项和为,若,则中最大的是.‎ ‎4.已知O是锐角△ABC的外心,,若,且,则.‎ ‎5.已知正方体的棱长为1,O为底面ABCD的中心,M,N分别是棱A1D1和CC1的中点.则四面体的体积为.‎ ‎6.设,且,,则符合条件的共有 1600 组.(注:顺序不同视为不同组.)‎ ‎7.设,则的最小值为.‎ ‎8.设p是给定的正偶数,集合的所有元素的和是.‎ 二、解答题(本题满分64分,第9题14分,第10题15分,第11题15分,第12题20分。)‎ ‎9.设数列满足,,其中.‎ ‎(1)证明:对一切,有;‎ ‎(2)证明:.‎ 证明 (1)在已知关系式中,令,可得;‎ 令,可得 ‎ ①‎ 令,可得 ‎ ②‎ 由①得,,,,‎ 代入②,化简得. ------------------------------------------7分 ‎(2)由,得,故数列是首项为,公差为2的等差数列,因此.‎ 于是.‎ 因为,所以 ‎.‎ ‎ ------------------------------14分 ‎10.求不定方程的正整数解的组数.‎ 解 令,,,则.‎ 先考虑不定方程满足的正整数解.‎ ‎,,.-----------------------5分 当时,有,此方程满足的正整数解为.‎ 当时,有,此方程满足的正整数解为.‎ 所以不定方程满足的正整数解为 ‎. ---------------------------------------10分 又方程的正整数解的组数为,方程的正整数解的组数为,故由分步计数原理知,原不定方程的正整数解的组数为 ‎. -------------------------------15分 ‎11.已知抛物线C:与直线l:没有公共点,设点P为直线l上的动点,过P作抛物线C的两条切线,A,B为切点.‎ ‎(1)证明:直线AB恒过定点Q;‎ ‎(2)若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线C于M,N两点,证明:.‎ 证明 (1)设,则.‎ 由得,所以.‎ 于是抛物线C在A点处的切线方程为,即.‎ ‎  设,则有.‎ ‎  设,同理有.‎ 所以AB的方程为,即,‎ 所以直线AB恒过定点. ------------------------------------------7分 ‎ (2)PQ的方程为,与抛物线方程联立,消去y,得 ‎.‎ 设,,则 ‎ ①‎ 要证,只需证明,即 ‎ ②‎ 由①知,‎ ‎②式左边=‎ ‎.‎ 故②式成立,从而结论成立. ------------------------------------------15分 ‎12.设为正实数,且.证明:‎ ‎.‎ 证明 因为,要证原不等式成立,等价于证明 ‎ ① ---------------5分 事实上,‎ ‎ ②--------------10分 由柯西不等式知 ‎ ‎ ‎ ③--------------15分 又由知 ‎ ④‎ 由②,③,④,可知①式成立,从而原不等式成立. ------------------------------------20分 ‎ ‎