【数学】2021届一轮复习北师大版（理）14导数的概念及运算作业 6页

导数的概念及运算 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．函数y＝ln(2x2＋1)的导数是(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. B　[y′＝·4x＝，故选B.]‎ ‎2．(2019·成都模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．－e D．－e－1‎ D　[由已知得f′(x)＝‎2f′(e)＋，令x＝e，可得f′(e)＝‎2f′(e)＋，则f′(e)＝－.‎ 故选D.]‎ ‎3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是(　　)‎ A．1秒末 B．1秒末和2秒末 C．4秒末 D．2秒末和4秒末 D　[∵s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]‎ ‎4．(2019·贵阳模拟)曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝2x－e B．y＝－2x－e C．y＝2x＋e D．y＝－x－1‎ A　[对y＝xln x求导可得y′＝ln x＋1，则曲线在点(e，e)处的切线斜率为ln e＋1＝2，因此切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.故选A.]‎ ‎5．已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a＝(　　)‎ A.　　　 B. ‎ C.　　　 D. C　[设切点坐标为(x0，ln x0)，由y＝ln x的导函数为y′＝知切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，即y＝＋ln x0－1.由题意可知解得a＝.故选C.]‎ 二、填空题 ‎6.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．‎ x－y－2＝0　[根据导数的几何意义及图像可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.]‎ ‎7．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(－∞，0)　[由题意，可知f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x＞0)，故a∈(－∞，0)．]‎ ‎8．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为______．‎ ‎(1，－1)或(－1,1)　[由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3x＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且解得或 所以当时，点P的坐标为(1，－1)；‎ 当时，点P的坐标为(－1,1)．]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.‎ ‎(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．‎ ‎[解]　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，‎ 又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，‎ 即x－y－4＝0.‎ ‎(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，‎ ‎∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，‎ ‎∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，‎ 又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，‎ ‎∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，‎ 解得x0＝2或1，‎ ‎∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图像为曲线C.‎ ‎(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；‎ ‎(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，‎ 则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，‎ 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论可知，‎ 解得－1≤k＜0或k≥1，‎ 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，‎ 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x D　[因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，‎ 所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.]‎ ‎2．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)‎ A．e2 B．4e2‎ C．2e2 D．e2‎ D　[易知曲线y＝e在点(4，e2)处的切线斜率存在，设其为k.∵y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.]‎ ‎3．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ex的切线，则b＝________.‎ ‎0或1　[设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2的切点为(x1，y1)，与曲线y＝ex的切点为(x2，y2)，y＝ln x＋2的导数为y′＝，y＝ex的导数为y′＝ex，可得k＝ex2＝.又由k＝＝，消去x2，可得(1＋ln x1)(x1－1)＝0，则x1＝或x1＝1，则直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2的切点为或(1,2)，与曲线y＝ex的切点为(1，e)或(0,1)，所以k＝＝e或k＝＝1，则切线方程为y＝ex或y＝x＋1，可得b＝0或1.]‎ ‎4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ ‎[解]　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.‎ 又因为f′(x)＝a＋，‎ 所以解得所以f(x)＝x－.‎ ‎(2)证明：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．‎ 令x＝0，得y＝－，所以切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0|＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.‎ ‎1．定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f″(x)＝[f′(x)]′.‎ 定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f″(x)＞0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数．已知函数f(x)＝x3－x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________．‎ 　[因为f(x)＝x3－x2＋1，所以f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3，‎ 令f″(x)＞0得x＞，故x的取值范围是.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，‎ 依题意⇒ 又f′(0)＝－3，‎ 所以c＝－3，所以a＝1，‎ 所以f(x)＝x3－3x.‎ ‎(2)设切点为(x0，x－3x0)，‎ 因为f′(x)＝3x2－3，‎ 所以f′(x0)＝3x－3，‎ 所以切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．‎ 又切线过点A(2，m)，‎ 所以m－(x－3x0)＝(3x－3)(2－x0)，‎ 所以m＝－2x＋6x－6，‎ 令g(x)＝－2x3＋6x2－6，‎ 则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)，‎ 由g′(x)＝0得x＝0或x＝2，g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2，‎ 画出草图知，当－6＜m＜2时，g(x)＝－2x3＋6x2－6有三个解，所以m的取值范围是(－6,2)．‎