数学北师大版（2019）必修第二册：单元素养评价 第五章 复数 学案与作业 10页

单元素养评价（四） (120 分钟 150 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2020·浙江高考)已知 a∈R,若 a-1+(a-2)i(i 为虚数单位)是实数, 则 a=( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 【解析】选 C.因为(a-1)+(a-2)i 为实数,所以 a-2=0,所以 a=2. 2.(2020·全国Ⅲ卷)复数 的虚部是( ) A.- B.- C. D. 【解析】选 D.因为 = = + i,所以复数 的虚部为 . 3.设 i 是虚数单位,则复数 z= 在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选 C.因为 1+ =1+ =1-i, 所以 z= =(1-i)3=1-3i+3i2-i3=-2-2i, 所以复数 z= 在复平面内对应的点的坐标为(-2,-2),位于第三 象限. 4.(2020·天津高一检测)复数 的共轭复数是( ) A.-i B.i C.- i D. i 【解析】选 A. = =i,故其共轭复数为-i. 5.已知 是纯虚数,则 =( ) A. B. C.3 D.5 【解析】选 B. =a2-4+4ai, 因为 是纯虚数, 所以 所以 a=±2,所以 = = . 6.设 z 的共轭复数是 ,若 z+ =4,z· =8,则 等于( ) A.i B.-i C.±1 D.±i 【解析】选 D.设 z=x+yi(x,y∈R),则 =x-yi,由 z+ =4,z· =8 得 ⇒ ⇒ 所 以 = = =±i. 7.如图所示,在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 1+2i,-2+i, 0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( ) A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i 【解析】选 D. = + =1+2i-2+i=-1+3i,所以 C 对应的复数为-1+3i. 8.设 z1,z2 为复数,则下列四个结论中正确的是( ) A.若 + >0,则 >- B.|z1-z2|= C. + =0⇔z1=z2=0 D.z1- 是纯虚数或零 【 解 析 】 选 D. 举 例 说 明 : 若 z1=4+i,z2=2-2i, 则 =15+8i, =-8i, + >0,但 与- 都是虚数,不能比较大小,故 A 错;因为|z1-z2|2 不一定等于(z1-z2)2,故|z1-z2|与 不一定相等,B 错;若 z1=2+i,z2=1-2i,则 =3+4i, =-3-4i, + =0, 但z1=z2=0不成立,故C错;设z1=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi,故z1- =2bi, 当 b=0 时是零,当 b≠0 时,是纯虚数.故 D 正确. 二、多选题(每小题 5 分,共 20 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 9.已知 i 为虚数单位,复数 z= ,则以下真命题的是( ) A.z 的共轭复数为 - B.z 的虚部为 C. =3 D.z 在复平面内对应的点在第一象限 【解析】选 AD.z= = = = + ,故 = - ,故 A 正确.z 的 虚部为 ,故 B 错, = = ≠3,故 C 错, z 在复平面内对应的点为 ,故 D 正确. 10.(2020· 三 亚 高 一 检 测 ) 已 知 x,y∈R,i 为 虚 数 单 位 , 且 i-y=-1+2i,复数 z= ,则以下结论正确的是( ) A.z 的虚部为-2i B.z 的模为 2 C.z 的共轭复数为 2i D.z 对应的点在第四象限 【解析】选 BC.因为 i-y=-1+2i,所以 解得 所以 z= =-2i. 对于 A,z 的虚部为-2,A 错误;对于 B, =2,B 正确;对于 C,z 的共轭复 数为 2i,C 正确; 对于 D,z 对应 ,不在第四象限,D 错误. 11.已知 i 为虚数单位,则下面命题正确的是( ) A.若复数 z=3+i,则 = - B. 复 数 z 满 足 =1,z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为 , 则 x2+ =1 C.若复数 z1,z2 满足 z1= ,则 z1z2≥0 D.复数 z=1-3i 的虚部是 3. 【解析】选 ABC.由 = = = - ,故 A 正确;由 z 在复平面内对 应的点为 ,则 = =1,即 =1,则 x2+ =1,故 B 正确; 设复数 z1=a+bi,则 z2=a-bi(a,b∈R),所以 z1z2= =a2+b2 ≥0,故 C 正确; 复数 z=1-3i 的虚部是-3,故 D 不正确. 12.已知复数 z0=1+2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为 P0,复数 z 满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是( ) A.P0 点的坐标为(1,2) B.复数 z0 的共轭复数的虚部为-2i C.复数 z 对应的点 Z 在一条直线上 D.P0 与 z 对应的点 Z 间的距离的最小值为 【解析】选 ACD.对于 A,由复数 z0=1+2i 在复平面内对应的点为 P0 可得 P0 ,故 A 正确; 对于 B,复数 z0 的共轭复数为 =1-2i, 的虚部为-2,故 B 错误;对于 C, 设 z=x+yi(x,y∈R),则点 Z ,由|z-1|=|z-i|可得 = , 所以 = ,整理得y=x,所以Z点在直线y=x 上,故 C 正确; 对于 D,易知点 P0 到直线 y=x 的垂线段的长度即为 P0,Z 之间距离的最小 值,点 P0 到直线 y=x 的距离 d= = ,故 D 正确. 三、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.(2020·天津高考)i 是虚数单位,复数 =________. 【解析】 = = =3-2i. 答案:3-2i 14.(2020· 北 京 高 一 检 测 ) 已 知 i 为 虚 数 单 位 , 若 复 数 z 满 足 z+ =1+ i,则实数 a 的值为________. 【 解 析 】 设 z=m+ni, =m-ni,m,n∈R, 则 可 得 2m=1+ i, 所 以 a=5,m= . 答案:5 15.设 z-2i= ,则 =________,z· =________. 【解析】因为 z-2i= = =-i, 所以 z=2i-i=i,则|z|=1,z· =i·(-i)=1. 答案:1 1 16.(2020·全国Ⅱ卷)设复数 z1,z2 满足|z1|=|z2|=2,z1+z2= +i,则 |z1-z2|=__________. 【解析】因为|z1|=|z2|=2, 可设 z1=2cos θ+2sin θ·i, z2=2cos α+2sin α·i, 所以 z1+z2=2(cos θ+cos α)+2(sin θ+sin α)·i= +i, 所以 ,两式平方作和得: 4(2+2cos θcos α+2sin θsin α)=4, 化简得 cos θcos α+sin θsin α=- , 所以|z1-z2|=|2(cos θ-cos α)+2(sin θ-sin α)·i| = = = =2 . 答案:2 四、解答题(共 70 分) 17.(10 分)已知复数 z1=1-i,z1·z2+ =2+2i,求复数 z2. 【解析】因为 z1=1-i,所以 =1+i, 所以 z1·z2=2+2i- =2+2i-(1+i)=1+i. 设 z2=a+bi(a,b∈R),由 z1·z2=1+i, 得(1-i)(a+bi)=1+i,所以(a+b)+(b-a)i=1+i, 所以 解得 a=0,b=1,所以 z2=i. 18.(12 分)已知复数 z 满足|z|= ,z2 的虚部是 2. (1)求复数 z; (2)设 z,z2,z-z2 在复平面上的对应点分别为 A,B,C,求△ABC 的面积. 【解析】(1)设 z=a+bi(a,b∈R),则 z2=a2-b2+2abi,由题意得 a2+b2=2 且 2ab=2, 解得 a=b=1 或 a=b=-1, 所以 z=1+i 或 z=-1-i. (2)当 z=1+i 时,z2=2i,z-z2=1-i, 所以 A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以 S△ABC=1. 当 z=-1-i 时,z2=2i,z-z2=-1-3i, 所以 A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以 S△ABC=1. 19.(12 分)复数 z=- +(6m-16)i.(i 为虚数单位) (1)若复数 z 为纯虚数,求实数 m 的值; (2)若复数 z 对应的点在第三象限或第四象限,求实数 m 的取值范围. 【解析】 (1)z=- +(6m-16)i, 因为复数 z 为纯虚数,所以 所以 m=-2; (2)因为复数 z 对应的点在第三、四象限, 所以 解得 因此实数 m 的取值范围为 ∪ ∪ . 20.(12 分)已知 z 为虚数,z+ 为实数. (1)若 z-2 为纯虚数,求虚数 z; (2)求|z-4|的取值范围. 【解析】设 z=x+yi(x,y∈R,y≠0). (1)z-2=x-2+yi, 由 z-2 为 纯 虚 数 得 x=2, 所 以 z=2+yi, 则 z+ =2+yi+ =2+ i∈R,得 y- =0,y=±3,所以 z=2+3i 或 z=2-3i. (2)因为 z+ =x+yi+ =x+ + i∈R,所以 y- =0,因为 y≠0,所以(x-2)2+y2=9, 由(x-2)2<9 得 x∈(-1,5), 所以|z-4|=|x+yi-4|= = = ∈(1,5). 21.(12 分 )(2020· 上 海 高 一 检 测 ) 设 两 复 数 集 合 M= ,N={z|z=2cos θ+i(λ+3sin θ),θ∈R}(i 为虚数单位),且 M∩N≠∅,求实数λ的取值范围. 【解析】由 M∩N≠∅,可知至少存在一个复数 z 同时属于集合 M 和 N, 即 m+i =2cos θ+i(λ+3sin θ), 故 从而λ=4-4cos2θ-3sin θ=4sin2θ-3sin θ =4 - , 由-1≤sin θ≤1,得- ≤λ≤7. 22.(12 分)(2020·南京高一检测)已知 z 是复数,z+2i 与 均为实数(i 为虚数单位),且复数 在复平面上对应点在第一象限. (1)求复数 z;(2)求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)设 z=x+yi , 又 z+2i=x+ i,且为实数,所以 y+2=0,解得 y=-2.所以 = = = ,因为 为实数,所以 =0,解得 x=4.所以 z=4-2i. (2)因为复数 = =16- +8 i = + i, 所以 ,解得 2