河北省沧州市七校联盟2021届高三数学上学期期中试题（Word版附答案） 16页

沧州市七校联盟高三年级 2020-2021 学年上学期期中考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容（除双曲线、抛物线外）． 第 I 卷 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 { 2 4}A x x   ∣ ， { 2}B x x   ，则 A B  （ ） A．{ 2 4}x x  ∣ B．{ 2 4}x x ∣ C．{ 2 2}x x  ∣ D．{ 2 4}x x ∣ 2．复数 3 1 2 iz i   的虚部是（ ） A． 6 5 i B． 3 5 i C． 3 5 D． 6 5  3． 5 2 3x x     的展开式中 x 的系数是（ ） A．90 B．80 C．70 D．60 4．若 0mn  ， 3m n  ，则 1 4 m n  的最小值为（ ） A．2 B．6 C．9 D．3 5．2020 年 10 月 1 日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交 通部门为了解从 A 城到 B 城实际通行所需时间，随机抽取了 n 台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通 行时间（单位：分钟）都在[30,55]内，按通行时间分为[30,35) ，[35,40) ，[40,45) ，[45,50) ，[50,55] 五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[30,35) 内的车辆有 235 台，则通行时间在[45,50) 内 的车辆台数是（ ） A．450 B．325 C．470 D．500 6．在矩形 ABCD 中， 3 5AB  ， 2 2AD  ，点 E 满足3 2DE DC  ，则 AE BD   （ ） A．21 B． 18 6 C．-22 D．18 10 7．如图，在三棱锥 D-ABC 中， AC BD ，一平面截三棱锥 D-ABC 所得截面为平行四边形 EFGH．已知 2EF  ， 5EH  ，则异面直线 EG 和 AC 所成角的正弦值是（ ） A． 14 7 B． 7 7 C． 35 7 D． 2 7 8 ． 定 义 在 R 上 的 函 数 ( )f x 的 导 函 数 为 ( )f x ， 若 ( ) ( )f x f x  ， (2) 1008f  ， 则 不 等 式 2 1e ( 1) 1008e 0xf x    的解集为（ ） A． ( 1, )  B． (2, ) C． ( ,1) D． (1, ) 二、选择题；本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，公差为 d，且 3 5a  ， 7 3a  ，则（ ） A． 1d  B． 1d   C． 9 18S  D． 9 36S  10．已知函数 2 3( ) sin cos 3sin ( 0)2f x x x x       ，若将函数 ( )f x 的图象平移后能与函数 sin 2y x 的图象完全重合，则下列说法正确的有（ ） A．函数 ( )f x 的最小正周期为 B．将函数 ( )f x 的图象向左平移 12  个单位长度后，得到的函数图象关于 y 轴对称 C．当 ,4 4x       时，函数 ( )f x 的值域为 1 ,12      D．当函数 ( )f x 取得最值时， ( )12 2 kx k   Z 11．已知 ( 2)y f x  为奇函数，且 (3 ) (3 )f x f x   ，当 [0,1]x 时， 4( ) 2 log ( 1) 1xf x x    ，则 （ ） A． ( )f x 的图象关于 ( 2,0) 对称 B． ( )f x 的图象关于 (2,0) 对称 C． 4(2021) 3 log 3f   D． 3(2021) 2f  12．椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ， 1F ， 2F 分别为左、右焦点， 1A ， 2A 分别为左、右顶点，P 为椭圆上 的动点，且 1 2 1 2 0PF PF PA PA       恒成立，则椭圆 C 的离心率可能为（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 3 D． 3 2 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知函数 3 2 , 0( ) ln( ), 0 x x xf x x x       ，则 ( (1))f f ________． 14．若 2sin 6 3      ，则sin 2 6      ________． 15．若 P 为直线 4 0x y   上一个动点，从点 P 引圆 2 2: 4 0C x y x   的两条切线 PM，PN（切点为 M，N），则| |MN 的最小值是________． 16．在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，中，E，F 分别为棱 1 1A B ， 1 1B C 的中点，点 P 在线段 EF 上， 则三棱锥 1P D AC 的体积为________． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 ．（ 10 分 ） 在 ① (sin sin )( ) (sin sin )A B a b C B c    ， ② sin cos 6a B b A      ， ③ sin sin2 B Cb a B  这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2 3b c  ， 6a  ，________．求 ABC 的面积． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 18．（12 分）设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 2 n n Sa  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 2 1 n n ba n   ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 19．（12 分）某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽取了 200 位以前的客户进 行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有 80 人，不准备买该品牌手机的男性有 40 人， 准备买该品牌手机的女性有 40 人． （1）完成下列 2×2 列联表，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为这 200 位参与调查者是否准备 购买该品牌手机与性别有关． 准备买该品牌手机 不准备买该品牌手机 合计 男性 女性 合计 （2）该电商将这 200 个样本中准备购买该品牌手机的被调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人给予 500 元优惠券的奖励，另外 3 人给予 200 元优惠券的奖励， 求获得 500 元优惠券与获得 200 元优惠券的被调查者中都有女性的概率． 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b a c c d b d      ， n a b c d    ．  2 0P K k 0.50 0.25 0.05 0.025 0.010 0k 0.455 1.321 3.840 5.024 6.635 20．（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， 90ADP   ， PD AD ， 二面角 P AD B  为 60°，E 为 PD 的中点． （1）证明：CE  平面 PAD． （2）求平面 ADE 与平面 ABE 所成锐二面角的余弦值． 21．（12 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b      的离心率为 5 5 ，焦距为 2． （1）求  的标准方程． （2）过  的右焦点 F 作相互垂直的两条直线 1l ， 2l （均不垂直于 x 轴）， 1l 交  于 A，B 两点， 2l 交  于 C，D 两点．设线段 AB，CD 的中点分别为 M，N，证明：直线 MN 过定点． 22．（12 分）已知函数 2( ) ln (1 2 ) 1f x x mx m x     ． （1）若 1m  ，求 ( )f x 的极值； （2）若对任意 0x  ， ( ) 0f x  恒成立，求整数 m 的最小值． 沧州市七校联盟高三年级 2020~2021 学年上学期期中考试 数学试题参考答案 1．B { 2 4}A B x x   ∣ ． 2．C 因为 3 3 (1 2 ) 3 6 6 3 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 5 5 i i i i ii i i         ， 所以复数 z 的虚部是 3 5 ． 3．A  52 10 3 1 5 5 3C C 3 r rr r r r rT x xx          ， 令10 3 4r  ，得 2r  ，则 4x 的系数为 2 2 5C 3 90  ． 4．D 因为 0mn  ， 3m n  ， 所以 1 4 1 1 4 1 4( ) 53 3 n mm nm n m n m n                 1 45 2 33 n m m n         ． 当且仅当 4n m m n  时取等号， 此时 4 3 n m m n m n      ，解得 1 2 m n    ． 5．C 因为[30,35) ，[35,40) ，[40,45) ，[50,55]四组通行时间的频率分别是 0.1，0.25，0.4，0.05， 所以通行时间在[45,50) 内的频率是1 0.1 0.25 0.4 0.05 0.2     ， 通过的车辆台数是 235 2 470  ． 6．C 分别以 AB，AD 所在直线为 x，y 轴建立平面直角坐标系（图略）， 因为 3 5AB  ， 2 2AD  ，3 2DE DC  ， 所以 (2 5,2 2)AE  ， ( 3 5,2 2)BD   ， 故 2 5 ( 3 5) 2 2 2 2 22AE BD         ． 7．A EFGH 是平行四边形，由线面平行的性质定理可得， //AC EH ，直线 EG 和 AC 所成角， 即直线 EG 和 EH 所成角． 因为 AC BD ，所以 90EHG   ． 因为 2EF  ， 5EH  ，所以 7EG  ， 故 14sin 7GEH  ． 8．D 令 ( )( ) ex f xg x  ，则 ( ) ( )( ) 0ex f x f xg x     ， 所以 ( )g x 在 R 上单调递增． 因为 2 1008(2) eg  ，所以不等式 2 1e ( 1) 1008e 0xf x    ， 可变形得 1 2 ( 1) (2) (2)e ex f x f g    ，所以 1 2x   ， 解得 1x  ． 9．BD 因为 1 9 3 7 5 3 8a a a a      ， 所以  1 9 9 9 9 8 362 2 a aS     ． 因为 3 5a  ， 7 3a  ，所以公差 7 5 17 5 a ad    ． 10．ABD 由题意得， 2 3( ) sin cos 3sin 2f x x x x      23 1 2sin1 sin 22 2 x x      1 3sin 2 cos22 2x x   sin 2 3x      ． 因为函数 ( )f x 的图象平移后能与函数 sin 2y x 的图象完全重合， 所以 1  ．因为 ( ) sin 2 3f x x      ， 所以函数 ( )f x 的最小正周期 2 2T    ，故 A 正确． 将 ( )f x 的图象向左平移 12  个单位长度， 得到曲线 sin 2 sin 2 cos212 3 2y x x x                    ， 其图象关于 y 轴对称，故 B 正确． 当 ,4 4x       时， 52 ,3 6 6x         ， 1sin 2 ,13 2x             ，即 ( )f x 的值域为 1 ,12     ， 故 C 错误． 令 2 ( )3 2x k k     Z ，解得 ( )12 2 kx k   Z ， 所以当 ( )f x 取得最值时， ( )12 2 kx k   Z ，故 D 正确． 11．BD ( 2)y f x  为奇函数， (2 ) (2 )f x f x     ， (3 ) (1 )f x f x     ， 同时说明 ( )f x 的图象关于 (2,0) 对称． (3 ) (3 )f x f x   ， (1 ) (3 )f x f x    ， 即 ( ) ( 2)f x f x   ，可得 ( 4) ( )f x f x  ， 函数 ( )f x 的周期为 4， 故 4 3(2021) (4 505 1) (1) 2 log 2 1 2f f f        ． 12．AC 设  0 0,P x y ， 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c ， 则  1 0 0,PF c x y    ，  2 0 0,PF c x y   ，  1 0 0,PA a x y    ，  2 0 0,PA a x y   ． 因为 2 2 2 2 1 2 1 2 0 02 2PF PF PA PA x y a c          2 2 2 2 2 2 0 022 2 bx b x a ca         2 2 2 2 2 2 02 2 3 3 0c x a c a ca       恒成立， 所以离心率 3 3 ce a   ． 13．0 (1) 1 2 1f     ， ( 1) ln1 0f    ． 14． 1 9  2sin 6 3      ， 2 1cos 2 1 2sin3 6 9                  ． 2 23 2 6           ， 1sin 2 sin 2 cos 26 3 2 3 9                                  ． 15． 4 7 3 如图，由题可知圆 C 的圆心为 (2,0)C ，半径 2r  ． 要使| |MN 的长度最小，即要 MCN 最小，则 MCP 最小． 因为 | | | |tan 2 PM PMMCP r    ， 所以当| |PM 最小时，| |MN 最小因为 2| | 4PM PC ∣ ， 所以当| PC 最小时，| |MN 最小． 因为 min 6| | 3 2 1 1 PC    ， 所以 2 2cos 33 2 MCP   ， 2 5cos 2cos 1 9MCN MCP      ， 则 2 2 min 5 4 7| | 2 2 2 2 2 9 3MN            ． 16．2 因为 //EF AC ， AC  平面 1D AC ， 所以 //EF EF∥平面 1D AC ， 所以无论点 P 在线段 EF 上什么位置，它到平面 1D AC 的距离不变． 当点 P 是 EF 与 1 1D B 的交点时， 1 1 1 3 4PD D B ， 则 P 到平面 1D AC 的距离是 1B 到平面 1D AC 距离的 3 4 ． 因为 1B 到平面 1D AC 的距离为 1 2 2 4 32 33 3 3B D    ， 所以 P 到平面 1D AC 的距离是 3 4 3 34 3   ， 因为 1D AC 的面积 1 23 (2 2) 2 34D ACS    ， 所以三棱锥 1P D AC 的体积 1 2 3 3 23V     ． 17．解：若选①，由正弦定理，得 ( )( ) ( )a b a b c b c    ， 即 2 2 2b c a bc   ，所以 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc     ， 因为 (0, )A  ，所以 3A  ． 因为 2 2 2 2( ) 3a b c bc b c bc      ， 6a  ， 2 3b c  ， 所以 2bc  ， 所以 1 1 3sin 2 sin2 2 3 2ABCS bc A      ． 若选②，由正弦定理，得sin sin sin cos 6A B B A      ． 因为 0 B   ， 所以sin 0B  ，所以sin cos 6A A      ， 化简得 3 1sin cos sin2 2A A A  ， 所以 cos 06A      ． 因为 0 A   ，所以 3A  ． 因为 2 2 2 2 cos 3a b c bc    ， 6a  ， 2 3b c  ， 所以 2bc  ， 所以 1 1 3sin 2 sin2 2 3 2ABCS bc A      ． 若选③，由正弦定理，得sin sin sin sin2 B CB A B  ． 因为 0 B   ， 所以sin 0B  ，所以sin sin2 B C A  ． 因为 2 2 2 B C A   ，所以 cos 2sin cos2 2 2 A A A ． 因为 0 A   ， 0 2 2 A   ， 所以 cos 02 A  ，所以 1sin 2 2 A  ，所以 3A  ． 因为 2 2 2 2( ) 3a b c bc b c bc      ， 6a  ， 2 3b c  ，所以 2bc  ， 所以 1 1 3sin 2 sin2 2 3 2ABCS bc A      ． 18．解：（1）当 1n  时， 1 1 1 2 Sa  ，解得 1 1a  ． 因为 2 1n nS a  ，① 所以当 2n  时， 1 12 1n nS a   ，② ①-②得， 1 12 2n n n nS S a a    ，所以 12n na a  ． 故数列 na 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，其通项公式为 12n na  ． （2）由题知， ( 1)2n nb n  ， 所以 1 2 32 2 3 2 4 2 ( 1)2n nT n        ，③ 2 3 4 12 2 2 3 2 4 2 ( 1)2n nT n         ，④ ③-④得，  1 2 3 12 2 2 2 2 ( 1)2n n nT n           1 12 1 2 2 ( 1)2 21 2 n n nn n          ． 所以 12n nT n   ． 19．解：（1）由题意得 2×2 列联表如下： 准备买该品牌手机 不准备买该品牌手机 合计 男性 80 40 120 女性 40 40 80 合计 120 80 200 因为 2 2 200(40 80 40 40) 5.556 5.024120 80 80 120K        ， 所以有 97.5%的把握认为这 200 位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关． （2）由题意可知，用分层抽样的方法抽取的 6 人中， 男性有 80 6 4120   人，女性有 40 6 2120   人． 设“获得 500 元优惠券者与获得 200 元优惠券者都有女性”为事件 A， 则 1 2 2 4 3 3 6 3 12 3( ) 20 5 C CP A C C    ， 即获得 500 元优惠券与获得 200 元优惠券的被调查者中都有女性的概率为 3 5 ． 20．（1）证明：四边形 ABCD 为正方形， AD CD  ． 90ADP   ，CD DP D  ， AD 平面 PCD． CE  平面 PCD， AD CE  ． 二面角 P-AD-B 为 60°， 60PDC   ． PD AD ，CD AD ， PCD 为等边三角形． E 为 PD 的中点， CE DP  ． AD DP D  ， CE 平面 PAD． （2）解：过 P 作 PO CD ，垂足为 O，易知 O 为 CD 的中点． 平面 PCD  平面 ABCD， 平面 PCD  平面 ABCD CD ， PO  平面 PDC， PO  平面 ABCD． 设 AB 的中点为 Q，连接 OQ， 则 //OQ AD，OQ  平面 PDC． 以 O 为坐标原点， OQ  的方向为 x 轴正方向， DC  的方向为 y 轴正方向， OP  的方向为 z 轴 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz． 正方形 ABCD 的边长为 2， (2, 1,0)A  ， (2,1,0)B ， (0,1,0)C ， (0, 1,0)D  ， (0,0, 3)P ， 1 30, ,2 2E      ， (0,2,0)AB  ， 1 32, ,2 2AE        ， 3 30, ,2 2CE        ， CE  平面 PAD， CE 为平面 ADE 的一个法向量． 设 ( , , )n x y z 是平面 ABE 的法向量， 则 2 0 1 32 02 2 n AB y n AE x y z             ， 令 4z  ，得 ( 3,0,4)n  ． 2 3 2 19cos , 19| | 3 19 CE nCE n CE n             ． 平面 ADE 与平面 ABE 所成锐二面角的余弦值为 2 19 19 ． 21．（1）解：因为离心率 5 5 ce a   ， 2 2c  ，且 2 2 2a b c  ， 所以 1c  ， 5a  ， 2b  ， 故  的标准方程为 2 2 15 4 x y  ． （2）证明：由（1）知 (1,0)F ． 设直线 AB 的方程为 ( 1)( 0)y k x k   ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 联立方程组 2 2 ( 1) 15 4 y k x x y     ，消去 y 得  2 2 2 25 4 10 5 20 0k x k x k     ， 则 2 1 2 2 10 5 4 kx x k    ， 1 2 2 8 5 4 ky y k    ， 所以 M 的坐标为 2 2 2 5 4,5 4 5 4 k k k k       ． 因为 CD AB ，所以 CD 的斜率为 1 k  ． 将 M 坐标中的 k 换为 1 k  ，可得 N 的坐标为 2 2 5 4,4 5 4 5 k k k       ． 当 1k   时，设直线 MN 的斜率为 MNk ， 则 2 9 5 5 N M MN N M y y kk x x k     ， 所以直线 MN 的方程为 2 2 2 4 9 5 4 5 5 5 4 5 k ky xk k k          ， 即 2 9 5 5 5 9 ky xk        ，则直线 MN 过定点 5 ,09      ． 当 1k   时，直线 MN 的方程为 5 9x  ，也过点 5 ,09      ． 综上所述，直线 MN 过定点 5 ,09      ． 22．解：（1）当 1m  时， 2( ) ln 1f x x x x    ， 1 ( 1)(2 1)( ) 2 1 x xf x xx x        ． 当 10 2x  时， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 10, 2      上单调递增； 当 1 2x  时， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 1 ,2     上单调递减． 所以 ( )f x 在 1 2x  时取得极大值且极大值为 1 1 ln 22 4f       ，无极小值． （2）因为对任意 0x  ， ( ) 0f x  恒成立， 所以  2ln 1 2x x m x x    在 (0, ) 上恒成立， 即 2 ln 1 2 x xm x x    在 (0, ) 上恒成立． 设 2 ln 1( ) 2 x xF x x x    ，则  22 ( 1)( 2ln )( ) 2 x x xF x x x      ． 设 ( ) ( 2ln )x x x    ， 显然 ( )x 在 (0, ) 上单调递减， 因为 (1) 1 0    ， 1 1 1 12ln 2ln 2 02 2 2 2                 ， 所以 0 1 ,12x      ，使得  0 0x  ，即 0 02ln 0x x  ． 当  00,x x 时， ( ) 0x  ； 当  0 ,x x  时， ( ) 0x  ． 所以 ( )F x 在 00, x 上单调递增，在 0 ,x  上单调递减， 所以   0 0 max 0 2 0 0 0 ln 1 1( ) 2 2 x xF x F x x x x     ． 因为 0 1 ,12x     ，所以 0 1 1 ,12 2x     ， 故整数 m 的最小值为 1．