高考卷 05高考数学（辽宁卷）试题及答案 13页

‎2005年高考数学辽宁卷试题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) ‎ 如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径 如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么n次独立重复试验中恰好发生k ‎ ‎ 次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数在复平面内，z所对应的点在（ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．极限存在是函数在点处连续的（ ）‎ ‎ A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若； ‎ ‎②若；‎ ‎ ③若；‎ ‎ ④若m、n是异面直线，‎ ‎ 其中真命题是（ ）‎ ‎ A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④‎ ‎5．函数的反函数是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在R上定义运算若不等式对任意实数成立，‎ ‎ 则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范 ‎ 围是（ ）‎ ‎ A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞ D．（3，+∞）‎ ‎9．若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为（ ）‎ ‎ A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8‎ ‎10．已知是定义在R上的单调函数，实数，‎ ‎ ，若，则 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，‎ ‎ 则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是（ ）‎ ‎ A．2+ B． C． D．21‎ ‎12．一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）‎ A B C D 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.‎ ‎13．的展开式中常数项是 .‎ ‎14．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 . ‎ ‎15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）‎ ‎16．是正实数，设是奇函数}，若对每个实数，的元素不超过2个，且有使含2个元素，则的取值范围是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点,△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.‎ ‎ （Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；‎ ‎ （Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的 ‎ 球面上，求△ABC的边长.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、‎ 邻边互相垂直的十字形，其中 ‎ （Ⅰ）将十字形的面积表示为的函数；‎ ‎ （Ⅱ）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数设数列}满足，数列}满足 ‎ （Ⅰ）用数学归纳法证明；‎ ‎ （Ⅱ）证明 ‎20．（本小题满分12分）‎ 工序 产品 第一工序 第二工序 甲 ‎0.8‎ ‎0.85‎ 乙 ‎0.75‎ ‎0.8‎ 概 率 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.‎ ‎ （Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 ‎ 果为A级的概率如表一所示，分别求生产 ‎ 出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；‎ ‎ （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、‎ 等级 产品 一等 二等 甲 ‎5（万元）‎ ‎2.5（万元）‎ 乙 ‎2.5（万元）‎ ‎1.5（万元）‎ 利 润 ‎ η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 ‎ （I）的条件下，求ξ、η的分布列及 Eξ、Eη；‎ ‎ （Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 ‎ 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.‎ 项目 产品 工人（名）‎ 资金（万元）‎ 甲 ‎8‎ ‎8‎ 乙 ‎2‎ ‎10‎ ‎ 金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产 用 量 ‎ 品的数量，在（II）的条件下，x、y为何 ‎ 值时，最大？最大值是多少？‎ ‎ （解答时须给出图示）‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 ‎ （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；‎ ‎ （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；‎ ‎ （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，‎ ‎ 使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2‎ ‎ 的正切值；若不存在，请说明理由.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎ 函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设 是曲线在点（）得的切线方程，并设函数 ‎ （Ⅰ）用、、表示m；‎ ‎ （Ⅱ）证明：当；‎ ‎ （Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，‎ ‎ 求b的取值范围及a与b所满足的关系.‎ ‎2005年高考数学辽宁卷试题及答案 参考答案 说明：‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.‎ ‎1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分 ‎13．－160 14． 15．576 ‎ ‎16．‎ 解： ①是奇函数}‎ ‎②对每个实数，的元素不超过2个，且有使含2个元素，也就是说中任意相邻的两个元素之间隔必小于1，并且中任意相邻的三个元素的两间隔之和必大于等于1 ‎ 三、解答题 ‎17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考 查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.‎ ‎（Ⅰ）证明： 连结CF.‎ ‎……4分 ‎（Ⅱ）解法一：‎ 为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则 ‎……………………8分 解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ≌≌‎ 得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 为所求二面角的平面角.‎ 设AB=a，则 ………8分 ‎（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R. ‎ ‎，的边长为.……12分 解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.‎ 连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R.‎ ‎.……12分 ‎18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和 三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分. ‎ ‎（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则 ‎ ‎………………4分 ‎（Ⅱ）解法一：‎ 其中………8分 当最大.……10分 所以，当最大. S的最大值为…………12分 解法二： 因为 所以 ‎……………………8分 令S′=0，即 可解得 ………………10分 所以，当时，S最大，S的最大值为 …………12分 ‎19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分 ‎ （Ⅰ）证明：当 因为a1=1，‎ 所以 ………………2分 下面用数学归纳法证明不等式 ‎ （1）当n=1时，b1=，不等式成立，‎ ‎ （2）假设当n=k时，不等式成立，即 那么 ………………6分 ‎ ‎ 所以，当n=k+1时，不等也成立 根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立 …………8分 ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， ‎ 所以 ‎ ‎…………10分 ‎ 故对任意………………（12分）‎ ‎20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建 立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12‎ 分.‎ ‎（Ⅰ）解：…………2分 ‎（Ⅱ）解：随机变量、的分别列是 ‎5‎ ‎2.5‎ P ‎0.68‎ ‎0.32‎ ‎2.5‎ ‎1.5‎ P ‎0.6‎ ‎0.4‎ ‎ …………6分 ‎（Ⅲ）解：由题设知 目标函数为 ……8分 作出可行域（如图）：‎ 作直线 ‎ 将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上 的点M点与原点距离最大，‎ 此时 …………10分 取最大值. 解方程组 ‎ ‎ 得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 .……………12分 ‎21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应 用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.‎ ‎（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为 由P在椭圆上，得 由，所以 ………………………3分 证法二：设点P的坐标为记 则 由 证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 ‎ 由椭圆第二定义得，即 ‎ 由，所以…………………………3分 ‎（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为 ‎ ‎ 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.‎ 当|时，由，得.‎ 又，所以T为线段F2Q的中点.‎ 在△QF1F2中，，所以有 综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分 解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.‎ ‎ 当|时，由，得.‎ ‎ 又，所以T为线段F2Q的中点. ‎ ‎ 设点Q的坐标为（），则 ‎ 因此 ①‎ ‎ 由得 ②‎ ‎ 将①代入②，可得 ‎ 综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分 ‎③‎ ‎④‎ ‎ （Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 ‎ ‎ ‎ 由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=；‎ ‎ 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ‎ 当时，，‎ ‎ 由，‎ ‎ ，‎ ‎ ，得 解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 ‎③‎ ‎④‎ ‎ ‎ ‎ 由④得 上式代入③得 ‎ 于是，当时，存在点M，使S=；‎ ‎ 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ‎ 当时，记，‎ ‎ 由知，所以…………14分 ‎22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 ‎ （Ⅰ）解：…………………………………………2分 ‎ （Ⅱ）证明：令 ‎ 因为递减，所以递增，因此，当；‎ ‎ 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的 最小值为0，因此即…………………………6分 ‎ （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.‎ ‎ 对任意成立的充要条件是 ‎ ‎ ‎ 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为 ‎ 于是的充要条件是…………………………10分 ‎ 综上，不等式对任意成立的充要条件是 ‎ ①‎ ‎ 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②‎ ‎ 有解、解不等式②得 ③‎ ‎ 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分 ‎（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.‎ ‎ 对任意成立的充要条件是 ‎ ………………………………………………………………8分 ‎ 令，于是对任意成立的充要条件是 ‎ 由 ‎ 当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分 ‎ 综上，不等式对任意成立的充要条件是 ‎ ①‎ ‎ 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②‎ ‎ 有解、解不等式②得 ‎ 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分